Feuille d'activités : Champs conservatifs et théorème fondamental des intégrales curvilignes

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer si un champ de vecteurs est conservatif en déterminant une fonction appropriée qui produit le champ de vecteurs ainsi que son gradient.

Q1:

Existe-t-il une fonction potentielle 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) pour la fonction dΓ©finie par βƒ— 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘₯ βƒ— 𝚀 βˆ’ 𝑦 βƒ— πš₯  ? Si oui, trouves-en une.

  • A oui, 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘₯  2 + 𝑦  2
  • B non
  • C oui, 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘₯  βˆ’ 𝑦 
  • D oui, 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘₯  2 βˆ’ 𝑦  2
  • E oui, 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘₯  + 𝑦 

Q2:

Y a-t-il un potentiel 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) pour βƒ— 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) = ο€Ή 𝑦  + 3 π‘₯   βƒ— 𝚀 + 2 π‘₯ 𝑦 βƒ— πš₯  ? Si oui, trouves-en un.

  • A oui, 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘₯  + π‘₯ 
  • B non
  • C oui, 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘₯  βˆ’ π‘₯ 
  • D oui, 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘₯  + π‘₯ 
  • E oui, 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘₯  + 𝑦 

Q3:

Existe-t-il une fonction potentielle 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) pour la fonction dΓ©finie par 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) = ο€Ή π‘₯  c o s π‘₯ + 2 π‘₯ s i n π‘₯  βƒ— 𝚀 + π‘₯  𝑦 βƒ— πš₯  ? Si oui, trouves-en une.

  • A non
  • B oui, 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘₯  s i n π‘₯ βˆ’ 2 c o s π‘₯

Q4:

Existe-t-il une fonction potentielle 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) pour la fonction dΓ©finie par βƒ— 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘₯  βƒ— 𝚀 βˆ’ π‘₯  𝑦 βƒ— πš₯  ? Si oui, trouves-en une.

  • A oui, 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘₯  𝑦  2 βˆ’ π‘₯  𝑦  2
  • B oui, 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘₯  𝑦  2 + π‘₯  𝑦  2
  • C oui, 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘₯  𝑦 
  • D non
  • E oui, 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) = βˆ’ π‘₯  𝑦 

Q5:

Indique si le champ vectoriel βƒ— 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) = π‘Ž βƒ— 𝚀 + 𝑏 βƒ— πš₯ + 𝑐 βƒ— π‘˜ (oΓΉ π‘Ž , 𝑏 , 𝑐 sont des constantes) admet un potentiel dans ℝ 3 .

  • Aoui
  • Bnon

Q6:

Indique si le champ vectoriel βƒ— 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) = π‘₯ 𝑦 βƒ— 𝚀 βˆ’ ο€Ή π‘₯ βˆ’ 𝑦 𝑧  βƒ— πš₯ + 𝑦 𝑧 βƒ— π‘˜ 2 2 admet un potentiel dans ℝ 3 .

  • Anon
  • Boui

Q7:

Laquelle des affirmations suivantes est vraie concernant le champ vectoriel βƒ— 𝑉 ∢ ℝ  β†’ ℝ  dΓ©fini par βƒ— 𝑉 ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) = 𝑦 βƒ— 𝚀 βˆ’ π‘₯ βƒ— π‘˜  ?

  • A βƒ— 𝑉 a une divergence positive Γ  chaque point ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) ∈ ℝ  .
  • B βƒ— 𝑉 ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) β‰  0 , pour tout ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) ∈ ℝ  .
  • C βƒ— 𝑉 est un champ vectoriel conservatif.
  • D βƒ— 𝑉 ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) est orthogonal au vecteur βƒ— 𝑗 ⟨ 0 , 1 , 0 ⟩ , pour tout ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) ∈ ℝ  .

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