Feuille d'activités : Déterminer la matrice de la transformation linéaire qui réfléchit les vecteurs par rapport à un axe donné

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer la matrice de la transformation linéaire qui réfléchit les vecteurs par rapport à un axe donné.

Q1:

Un vecteur de 2 est tourné dans le sens trigonométrique autour de l'origine du repère selon un angle de 2 𝜋 3 , puis le résultat est réfléchi par rapport à l'axe des 𝑥 . Détermine, dans la base canonique, la matrice de cette combinaison de transformations.

  • A 1 2 3 2 3 2 1 2
  • B 3 2 1 2 3 2 1 2
  • C 1 2 3 2 3 2 1 2
  • D 1 2 3 2 3 2 1 2
  • E 3 2 1 2 1 2 3 2

Q2:

Quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes sur 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 et 𝑑 pour que la matrice 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 représente une symétrie axiale?

  • A 𝑏 = 𝑐 , 𝑑 = 𝑎 , 𝑎 𝑐 = 1
  • B 𝑏 = 𝑐 , 𝑑 = 𝑎 , 𝑎 + 𝑐 = 1
  • C 𝑏 = 𝑐 , 𝑑 = 𝑎 , 𝑎 + 𝑐 = 1
  • D 𝑏 = 𝑐 , 𝑑 = 𝑎 , 𝑎 + 𝑐 = 1
  • E 𝑏 = 𝑐 , 𝑑 = 𝑎 , 𝑎 𝑐 = 1

Q3:

Une symétrie d'axe une droite passant par l'origine du repère transforme le vecteur 3 4 en 4 3 . Détermine la représentation matricielle de cette symétrie axiale.

  • A 4 5 3 5 3 5 4 5
  • B 2 4 2 5 7 2 5 7 2 5 2 4 2 5
  • C 2 4 2 5 7 2 5 7 2 5 2 4 2 5
  • D 0 1 1 0
  • E 1 1 0 1

Q4:

Une symétrie d'axe une droite passant par l'origine du repère transforme le vecteur 3 4 en 4 3 . Détermine la représentation matricielle de cette symétrie axiale.

  • A 4 5 3 5 3 5 4 5
  • B 2 4 2 5 7 2 5 7 2 5 2 4 2 5
  • C 0 1 1 0
  • D 2 4 2 5 7 2 5 7 2 5 2 4 2 5
  • E 4 5 3 5 3 5 4 5

Q5:

Suppose que 𝐴 et 𝐵 sont des matrices de taille 2 × 2 , avec 𝐴 représentant une rotation en sens trigonométrique 3 0 autour de l'origine du repère et 𝐵 représentant une symétrie par rapport à l'axe des 𝑥 . Que représente la matrice 𝐵 𝐴 ?

  • Aune symétrie par rapport à la droite passant par l'origine avec une inclinaison de 7 5
  • Bune symétrie par rapport à la droite passant par l'origine avec une inclinaison de 1 5
  • Cune symétrie par rapport à la droite passant par l'origine avec une inclinaison de 7 5
  • Dune symétrie par rapport à la droite passant par l'origine avec une inclinaison de 1 5
  • Eune symétrie par rapport à la droite passant par l'origine avec une inclinaison de 4 5

Q6:

Considère la symétrie d'axe 𝑦 = 1 2 𝑥 .

Détermine la matrice qui représente cette transformation.

  • A 3 5 4 5 4 5 3 5
  • B 4 5 3 5 3 5 4 5
  • C 1 2 1 2 1 2 1 2
  • D 3 5 4 5 4 5 3 5
  • E 1 2 1 2 1 2 1 2

Quelle est l'image du point ( 1 2 , 5 ) par cette symétrie axiale?

  • A 5 6 5 , 3 3 5
  • B 1 7 2 , 7 2
  • C 5 6 5 , 6 3 5
  • D 6 3 5 , 1 6 5
  • E 7 2 , 1 7 2

Q7:

Considère la transformation linéaire qui associe à un point son image par la symétrie par rapport à l'axe des 𝑥 .

Détermine la matrice 𝐴 qui représente cette transformation.

  • A 𝐴 = 1 0 0 1
  • B 𝐴 = 1 0 1 1
  • C 𝐴 = 1 0 1 1
  • D 𝐴 = 1 0 0 1
  • E 𝐴 = 1 1 0 1

Quelle est l'image du point de coordonnées ( 2 , 3 ) ?

  • A ( 2 , 3 )
  • B ( 2 , 3 )
  • C ( 2 , 3 )
  • D ( 2 , 3 )
  • E ( 2 , 3 )

Q8:

Soient 𝐴 et 𝐵 des matrices de taille 2 × 2 , avec 𝐴 représentant une rotation dans le sens trigonométrique d'angle 3 0 par rapport à l'origine et 𝐵 représentant une symétrie par rapport à l'axe des 𝑥 . Que représente la matrice 𝐴 𝐵 ?

  • Aune symétrie par rapport à la droite passant par l'origine et avec 7 5 d'inclinaison
  • Bune symétrie par rapport à la droite passant par l'origine et avec 1 5 d'inclinaison
  • Cune symétrie par rapport à la droite passant par l'origine et avec 7 5 d'inclinaison
  • Dune symétrie par rapport à la droite passant par l'origine et avec 1 5 d'inclinaison
  • Eune symétrie par rapport à la droite passant par l'origine et avec 4 5 d'inclinaison

Q9:

Soit 𝑇 une transformation linéaire qui réfléchie tous les vecteurs de par rapport à l'axe 𝑥 𝑦 . Représente 𝑇 sous forme de matrice et détermine ses valeurs propres et vecteurs propres.

  • A 𝑇 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . Sa seule valeur propre est 1, de vecteurs propres associés 0 1 0 et 1 1 1 .
  • B 𝑇 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . Sa seule valeur propre est 1, de vecteurs propres associés 0 1 0 et 1 0 0 .
  • C 𝑇 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . Ses valeurs propres sont 1 , de vecteur propre associé 0 0 1 , et 1, de vecteurs propres associés 0 1 1 et 1 0 0 .
  • D 𝑇 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . Ses valeurs propres sont 1 , de vecteur propre associé 0 0 1 , et 1, de vecteurs propres associés 0 1 0 et 1 0 0 .
  • E 𝑇 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . Ses valeurs propres sont 1 , de vecteur propre associé 0 0 1 , et 1, de vecteurs propres associés 0 1 0 et 1 0 0 .

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