Feuille d'activités de la leçon : Taux de variation et dérivées Mathématiques

Dans cette feuille d'activités, nous nous entraînerons à déterminer le taux de variation instantané d'une fonction en utilisant les dérivées, et à appliquer cette notion dans des problèmes de la vie courante.

Question 1

Évalue le taux de variation de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥−3𝑥+2 en 𝑥=5.

Question 2

Détermine le taux de variation de 5𝑥−18 par rapport à la variable 𝑥 lorsque 𝑥=2.

Question 3

Évalue le taux de variation de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=−94𝑥−7 en 𝑥=4.

  • A49
  • B−49
  • C−1
  • D4

Question 4

On pose 𝑓(𝑥)=5𝑥+74𝑥+2. Détermine la valeur de la dérivée en 𝑥=2.

  • A−950
  • B1710
  • C18289
  • D−95
  • E5950

Question 5

Quel est le taux de variation de la fonction d’équation 𝑦=4𝑥+7 ?

Question 6

Détermine le nombre dérivé pour la fonction définie par 𝑓(𝑥)=59𝑥 en 𝑥=√2.

  • A−518
  • B−536
  • C536
  • D518

Question 7

Évalue la dérivée de 𝑓(𝑥)=9𝑥−47𝑥 en 𝑥=3.

  • A57163
  • B9
  • C57121
  • D5719
  • E463

Question 8

Évalue la dérivée de 𝑓(𝑥)=√6𝑥+7 en 𝑥=3.

  • A65
  • B110
  • C3
  • D5
  • E35

Question 9

Détermine le nombre dérivé de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=7𝑥+9 en 𝑥=𝑥.

  • A7𝑥+14𝑥ℎ+7ℎ+9
  • B7ℎ+14𝑥
  • C7ℎ+14𝑥ℎ
  • D14𝑥

Question 10

Calcule le taux de change de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=4𝑥−𝑥−3 lorsque 𝑥=1, et détermine, à la minute d’arc près, la mesure de l’angle positif formé par la tangente en le point de coordonnées (1;0) et l'axe des 𝑥.

  • A𝑓(1)=15, 𝜃=8611′∘
  • B𝑓(1)=7, 𝜃=8152′∘
  • C𝑓(1)=1, 𝜃=450′∘
  • D𝑓(1)=3, 𝜃=7134′∘

Question 11

Un disque préserve sa forme lorsqu'il se rétracte. Quel est le taux de variation de son aire en fonction du rayon lorsque le rayon vaut 59 cm ?

  • A−59𝜋 cm2/cm
  • B59𝜋 cm2/cm
  • C118𝜋 cm2/cm
  • D−118𝜋 cm2/cm

Question 12

Quel est le taux de variation de la fonction définie par 𝑦=−5𝑥−9 ?

Question 13

Évalue la dérivée de 𝑓(𝑥)=6𝑥+77𝑥 en 𝑥=3.

  • A4763
  • B6163
  • C4721
  • D6121

Question 14

La population d’une culture de bactéries, calculée en milligrammes, comme fonction du temps, exprimé en minutes, est définie par 𝑓(𝑡)=71𝑡+63. Quel est le taux d'accroissement de la culture lorsque 𝑡=2minutes ?

Question 15

Soit la fonction définie par 𝑓(𝑥)=5+𝑎𝑥+𝑏𝑥. Supposons que la variation en 𝑓(𝑥) lorsque 𝑥 change de −1 à 2 est égale à 6, et que le taux d’accroissement de 𝑓(𝑥) en 𝑥=2 est égal à 17, détermine 𝑎 et 𝑏.

  • A𝑎=−6, 𝑏=10
  • B𝑎=6, 𝑏=−2
  • C𝑎=−1, 𝑏=3
  • D𝑎=−3, 𝑏=5

Question 16

Une particule se déplace le long de la courbe d’équation 𝑦=3𝑥−2𝑥−6. Quelles sont les coordonnées du point en lequel le taux de variation de son ordonnée 𝑦 est égal à quatre fois celui de son abscisse 𝑥 ?

  • A(2;2)
  • B(0;−6)
  • C(1;−5)
  • D(−2;10)

Question 17

Évalue la dérivée de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=5𝑥+17 en 𝑥=3.

Question 18

Le produit d’une réaction chimique, exprimé en mg, est une fonction du temps 𝑡 secondes, exprimé en secondes, définie par : 𝑦=4𝑡. Quel est le taux de production de cette réaction chimique à 𝑡=2 secondes ?

Question 19

La distance, exprimée en mètres, parcourue par un corps en 𝑡 secondes est donnée par la relation 𝑆=9𝑡+5𝑡+7. Quelle est la dérivée de 𝑆 par rapport à la variable 𝑡 lorsque 𝑡=11 ?

Question 20

Une population, après 𝑡 jours, est donnée par 𝑓(𝑡)=11𝑡+35923. Calcule le taux de variation de la population lorsque 𝑡=12.

Question 21

Détermine le coefficient directeur de la tangente à la courbe d’équation 𝑦=95𝑥1−5𝑥tantan en 𝑥=−𝜋6.

  • A45
  • B180
  • C225
  • D90

Question 22

Détermine le coefficient directeur de la tangente à la courbe d'équation 𝑦=(−𝑥+1) en 𝑥=0.

Question 23

Détermine le coefficient directeur de la normale à la courbe d'équation 𝑦=72𝑥sin en le point dont l'abscisse 𝑥 égale 𝜋3.

  • A27
  • B17
  • C−72
  • D−7
  • E−17

Question 24

Calcule le coefficient directeur de la tangente à la courbe d’équation −𝑦=8𝑥−6𝑥+5 en 𝑥=−5.

Question 25

Détermine les coordonnées des points appartenant à la courbe d'équation 𝑦=(𝑥−3)𝑥−2 où le coefficient directeur de la tangente est −2.

  • A(2,−2),(0,6)
  • B(2,−7),(−3,1)
  • C(0,−2),(−3,6)
  • D(2,6),(0,−2)

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