Feuille d'activités de la leçon : Produit mixte Mathématiques

Dans cette feuille d'activités, nous nous entraînerons à calculer le produit mixte, et comment appliquer cette notion dans des situations géométriques.

Question 1

On pose ⃑𝑒=(βˆ’3;0;βˆ’2), βƒ‘π‘Ÿ=(βˆ’1;βˆ’3;3) et ⃑𝑀=(2;βˆ’2;βˆ’1). DΓ©termine ⃑𝑒+βƒ‘π‘€ο…β‹…ο‘ο€Ήβƒ‘π‘’βˆ§βƒ‘π‘Ÿο…βˆ§ο€Ήβƒ‘π‘Ÿβˆ§βƒ‘π‘€ο…ο.

Question 2

Sachant que ⃑𝐴=(1;5;βˆ’5), ⃑𝐡=(2;4;3) et ⃑𝐢=(0;5;βˆ’4), dΓ©termine ⃑𝐴⋅(βƒ‘π΅βˆ§βƒ‘πΆ).

Question 3

DΓ©termine βƒ‘π‘–β‹…ο€»βƒ‘π‘—Γ—βƒ‘π‘˜ο‡+βƒ‘π‘—β‹…ο€»βƒ‘π‘˜Γ—βƒ‘π‘–ο‡+βƒ‘π‘˜β‹…ο€Ίβƒ‘π‘–Γ—βƒ‘π‘—ο†.

Question 4

Γ‰tant donnΓ©s ⃑𝐴=βˆ’2⃑𝑖+⃑𝑗, ⃑𝐡=2βƒ‘π‘–βˆ’4⃑𝑗 et ⃑𝐢=βˆ’9⃑𝑖+3⃑𝑗, calcule (βƒ‘π΄βˆ§βƒ‘πΆ)βŠ™βƒ‘π΅.

Question 5

Si ⃑𝐴=βˆ’3⃑𝑖+7⃑𝑗, ⃑𝐡=βˆ’2βƒ‘π‘–βˆ’2⃑𝑗 et ⃑𝐢=βƒ‘π‘–βˆ’4⃑𝑗, calcule (βƒ‘π΅βŠ™βƒ‘πΆ)βˆ§βƒ‘π΄.

Question 6

Calcule le volume du parallΓ©lΓ©pipΓ¨de oΓΉ trois cΓ΄tΓ©s adjacents sont reprΓ©sentΓ©s par les vecteurs ⃑𝐴=(3;βˆ’2;βˆ’5), ⃑𝐡=(1;7;8) et ⃑𝐢=(βˆ’7;βˆ’2;5).

Question 7

Le parallΓ©lΓ©pipΓ¨de sur les vecteurs de coordonnΓ©es (βˆ’2;βˆ’2;π‘š), (2;0;βˆ’2) et (βˆ’5;1;0) est de volume 48. Que peut valoir π‘šβ€‰?

  • A16 ou βˆ’32
  • B16 ou βˆ’12
  • C36 ou βˆ’32
  • D36 ou βˆ’12

Question 8

DΓ©termine la valeur de π‘˜ pour laquelle les quatre points de coordonnΓ©es (1,7,βˆ’2), (3,5,6), (βˆ’1,6,βˆ’4) et (βˆ’4,βˆ’3,π‘˜) se situent tous dans un mΓͺme plan.

  • A8
  • Bβˆ’8
  • Cβˆ’3
  • Dβˆ’10

Question 9

Supposons que les vecteurs (3,βˆ’4,5), (βˆ’1,2,βˆ’3) et (βˆ’3,π‘˜,3) sont tous dans le mΓͺme plan. Quelle est la valeur de π‘˜β€‰?

Question 10

Sachant que ⃑𝐴=(βˆ’4;5;1), ⃑𝐡=(βˆ’4;βˆ’1;βˆ’5) et ⃑𝐢=(5;1;βˆ’1), dΓ©termine ⃑𝐴⋅(βƒ‘π΅βˆ§βƒ‘πΆ).

Question 11

Γ‰tant donnΓ©s ⃑𝐴=5βƒ‘π‘–βˆ’5⃑𝑗, ⃑𝐡=⃑𝑖+⃑𝑗 et ⃑𝐢=8βƒ‘π‘–βˆ’5⃑𝑗, calcule (βƒ‘πΆβˆ§βƒ‘π΅)βŠ™βƒ‘π΄.

Question 12

Γ‰tant donnΓ©s ⃑𝐴=βˆ’2⃑𝑖+5⃑𝑗, ⃑𝐡=βˆ’βƒ‘π‘–+2⃑𝑗 et ⃑𝐢=4⃑𝑖+9⃑𝑗, calcule (βƒ‘π΅βˆ§βƒ‘π΄)βŠ™βƒ‘πΆ.

Question 13

Γ‰tant donnΓ©s ⃑𝐴=3βƒ‘π‘–βˆ’βƒ‘π‘—, ⃑𝐡=βˆ’3⃑𝑖+2⃑𝑗 et ⃑𝐢=8⃑𝑖+8⃑𝑗, calcule (βƒ‘π΅βˆ§βƒ‘πΆ)βŠ™βƒ‘π΄.

Question 14

DΓ©termine le volume du parallΓ©lΓ©pipΓ¨de ayant comme cΓ΄tΓ©s adjacents βƒ‘π‘ˆ=(1;1;3), ⃑𝑉=(2;1;4) et οƒŸπ‘Š=(5;1;βˆ’2).

Question 15

DΓ©termine le volume du parallΓ©lΓ©pipΓ¨de ayant comme cΓ΄tΓ©s adjacents βƒ‘π‘ˆ=(1;3;2), ⃑𝑉=(7;2;βˆ’10) et οƒŸπ‘Š=(1;0;1).

Question 16

Si 𝑣, 𝑀 et 𝑒 sont trois vecteurs linΓ©airement indΓ©pendants dans β„οŠ©, alors le volume du parallΓ©lΓ©pipΓ¨de dΓ©terminΓ© par 𝑣, 𝑀 et 𝑒 est .

  • A|𝑣⋅(𝑀×𝑒)|
  • B|𝑣|+|𝑀|+|𝑒|
  • C|𝑣|+|𝑀|+|𝑒|
  • D|𝑣|β‹…|𝑀|β‹…|𝑒|

Question 17

De l'origine 𝑂 aux points 𝐴=(0;2;3),𝐡=(1;3;1) et 𝐢=(2;0;3), les vecteurs 𝑂𝐴,οƒŸπ‘‚π΅ et 𝑂𝐢 forment un parallΓ©lΓ©pipΓ¨de. Calcule son volume.

Question 18

ConsidΓ¨re les Γ©quations suivantes :

  1. βƒ‘π‘Žβ‹…ο€»βƒ‘π‘βˆ§βƒ‘π‘ο‡=βƒ‘π‘β‹…ο€Ήβƒ‘π‘βˆ§βƒ‘π‘Žο…
  2. βƒ‘π‘Žβ‹…ο€»βƒ‘π‘βˆ§βƒ‘π‘ο‡=βƒ‘π‘β‹…ο€»βƒ‘π‘Žβˆ§βƒ‘π‘ο‡
  3. βƒ‘π‘Žβ‹…ο€»βƒ‘π‘βˆ§βƒ‘π‘ο‡=βƒ‘π‘Žβ‹…ο€»βƒ‘π‘βˆ§βƒ‘π‘ο‡
  4. βƒ‘π‘Žβ‹…ο€»βƒ‘π‘βˆ§βƒ‘π‘ο‡=βˆ’βƒ‘π‘β‹…ο€Ήβƒ‘π‘Žβˆ§βƒ‘π‘ο…

Laquelle de ces Γ©quations est incorrecte ?

  • A3
  • B1
  • C2
  • D4

Question 19

Vrai ou faux : Le produit mixte des vecteurs est Γ©gal au dΓ©terminant de la matrice formΓ©e Γ  partir de ces vecteurs.

  • Avrai
  • Bfaux

Question 20

Vrai ou faux : Les vecteurs de coordonnΓ©es (1;3;βˆ’1), (10;1;2) et (2;6;βˆ’2) sont coplanaires.

  • Avrai
  • Bfaux

Question 21

ComplΓ¨te ce qui suit : ο€»βƒ‘π‘Žβˆ§βƒ‘π‘ο‡β‹…βƒ‘π‘=.

  • Aο€Ήβƒ‘π‘Žβˆ§βƒ‘π‘ο…β‹…βƒ‘π‘
  • Bο€»βƒ‘π‘βˆ§βƒ‘π‘Žο‡β‹…βƒ‘π‘
  • Cο€»βƒ‘π‘βˆ§βƒ‘π‘ο‡β‹…βƒ‘π‘Ž
  • Dο€»βƒ‘π‘βˆ§βƒ‘π‘ο‡β‹…βƒ‘π‘Ž

Question 22

Γ‰tant donnΓ© que βƒ‘π‘Ž=(1;2;4), ⃑𝑏=(2;4;βˆ’1) et ⃑𝑐=(βˆ’1;4;2), dΓ©termine βƒ‘π‘Žβ‹…ο€»βƒ‘π‘βˆ§βƒ‘π‘ο‡+βƒ‘π‘β‹…ο€Ήβƒ‘π‘βˆ§βƒ‘π‘Žο…+βƒ‘π‘β‹…ο€»βƒ‘π‘Žβˆ§βƒ‘π‘ο‡.

Question 23

DΓ©termine la valeur absolue du produit mixte des vecteurs βƒ‘π‘Ž=(0;0;0),⃑𝑏=(1;βˆ’2;2) et ⃑𝑐=(3;2;0).

Question 24

ConsidΓ¨re βƒ—π‘Ž=(1;2;3), ⃗𝑏=(βˆ’4;βˆ’5;3) et ⃗𝑐=(1;2;βˆ’2).

DΓ©termine βƒ—π‘Žβ‹…ο€»βƒ—π‘βˆ§βƒ—π‘ο‡.

DΓ©termine βƒ—π‘β‹…ο€Ήβƒ—π‘Žβˆ§βƒ—π‘ο….

Question 25

Vrai ou faux : Si le produit mixte ο€»βƒ‘π‘ŽΓ—βƒ‘π‘ο‡.⃑𝑐 entre les trois vecteurs non nuls βƒ‘π‘Ž,⃑𝑏 et ⃑𝑐 est nul, alors les vecteurs sont coplanaires.

  • Afaux
  • Bvrai

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