Feuille d'activités : Racines réelles et complexes de polynômes

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer le nombre et la nature des racines de polynômes et comment déterminer des coefficients inconnus si les racines sont données.

Q1:

Détermine la nature des racines de l'équation ( 2 𝑥 4 ) + 1 7 = 0 .

  • Aréelles et différentes
  • Bréelles et égales
  • Ccomplexes et non réelles

Q2:

Si 𝑎 + 𝑏 𝑖 est une racine du polynôme 𝑓 ( 𝑥 ) , quelle est la valeur de 𝑓 ( 𝑎 + 𝑏 𝑖 ) ?

Q3:

Est-il possible qu'un polynôme à coefficients réels ait exactement 3 racines non réelles?

  • A non
  • B oui

Q4:

Combien de racines le polynôme ( 3 𝑥 1 ) ( 𝑥 + 4 𝑥 2 ) 2 3 possède-t-il?

Q5:

Combien de racines réelles le polynôme 𝑝 ( 𝑥 ) = 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 𝑥 + 𝑑 𝑥 + 𝑒 𝑥 + 𝑓 5 4 3 2 possède-t-il sachant que 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 , 𝑑 , 𝑒 et 𝑓 sont tous réels?

  • A seulement 1
  • B 4 ou 2
  • C seulement 2
  • D 5, 3 ou 1
  • E4, 2 ou 1

Q6:

Sachant que 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 admet un zéro en 3 4 𝑖 et que 𝑓 ( 0 ) = 1 0 0 , détermine les valeurs de 𝑎 , 𝑏 et 𝑐 .

  • A 𝑎 = 3 , 𝑏 = 4 , 𝑐 = 1 0 0
  • B 𝑎 = 1 4 , 2 9 , 𝑏 = 8 5 , 7 4 , 𝑐 = 1 0 0
  • C 𝑎 = 4 , 𝑏 = 2 4 , 𝑐 = 8 0
  • D 𝑎 = 4 , 𝑏 = 2 4 , 𝑐 = 1 0 0
  • E 𝑎 = 1 4 , 2 9 , 𝑏 = 8 5 , 7 4 , 𝑐 = 1 0 0

Q7:

Sachant que 7 et que 6 sont les racines de l'équation 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑏 = 0 2 , quelles sont les valeurs de 𝑎 et 𝑏 ?

  • A 𝑎 = 4 2 , 𝑏 = 1 3
  • B 𝑎 = 1 3 , 𝑏 = 4 2
  • C 𝑎 = 2 3 , 𝑏 = 4 2
  • D 𝑎 = 1 3 , 𝑏 = 4 2
  • E 𝑎 = 2 3 , 𝑏 = 4 2

Q8:

Si la différence entre les racines de l'équation 𝑥 + 1 3 𝑥 + 𝑚 = 0 2 vaut 3, alors quelle est la valeur de 𝑚 ?

Q9:

Détermine l'équation du second degré dont les racines sont 9 + 7 𝜔 𝑖 et 9 + 7 𝜔 𝑖 2 .

  • A 𝑥 ( 1 8 7 𝑖 ) 𝑥 + 3 2 + 6 3 𝑖 = 0 2
  • B 𝑥 + ( 1 8 7 𝑖 ) 𝑥 + 3 2 6 3 𝑖 = 0 2
  • C 𝑥 + ( 1 8 7 𝑖 ) 𝑥 + 3 2 + 6 3 𝑖 = 0 2
  • D 𝑥 ( 1 8 7 𝑖 ) 𝑥 + 3 2 6 3 𝑖 = 0 2

Q10:

Détermine la nature des racines de l'équation ( 𝑥 1 0 ) ( 𝑥 + 1 0 ) = 2 ( 𝑥 + 8 ) ( 𝑥 + 6 ) .

  • Aréelles et distinctes
  • Bcomplexes et non réelles
  • Créelles et égales

Q11:

Détermine la nature des racines de l'équation 𝑥 + 4 𝑥 + 1 = 3 .

  • Aréelles et distinctes
  • Bcomplexes et non réelles
  • Créelles et égales

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