Feuille d'activités : Racines réelles et complexes de polynômes

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer le nombre et la nature des racines de polynômes et comment déterminer des coefficients inconnus si les racines sont données.

Q1:

Si 𝑎+𝑏𝑖 est une racine du polynôme 𝑓(𝑥), quelle est la valeur de 𝑓(𝑎+𝑏𝑖)?

Q2:

Est-il possible qu'un polynôme à coefficients réels ait exactement 3 racines non réelles?

  • A non
  • B oui

Q3:

Combien de racines le polynôme (3𝑥1)(𝑥+4𝑥2) possède-t-il?

Q4:

Combien de racines réelles le polynôme 𝑝(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐𝑥+𝑑𝑥+𝑒𝑥+𝑓 possède-t-il sachant que 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒 et 𝑓 sont tous réels?

  • A seulement 1
  • B4, 2 ou 1
  • C 4 ou 2
  • D seulement 2
  • E 5, 3 ou 1

Q5:

Détermine la nature des racines de l'équation (𝑥10)(𝑥+10)=2(𝑥+8)(𝑥+6).

  • Acomplexes et non réelles
  • Bréelles et distinctes
  • Créelles et égales

Q6:

Détermine la nature des racines de l'équation 𝑥+4𝑥+1=3.

  • Acomplexes et non réelles
  • Bréelles et distinctes
  • Créelles et égales

Q7:

Résous l'équation 𝑥+1=0, avec 𝑥.

  • A 1 2 + 3 2 𝑖 , 1 2 3 2 𝑖 , 1
  • B 1 2 + 3 2 𝑖 , 1 2 + 3 2 𝑖 , 1
  • C 1 2 + 3 2 𝑖 , 1 , 1 2 3 2 𝑖
  • D 1 2 + 3 2 𝑖

Q8:

On sait que 2 est l’une des solutions de l’équation 𝑥+6𝑥+20=0. Quelles sont les deux autres?

  • A 2 ± 6 𝑖
  • B 3 ± 𝑖
  • C 1 ± 3 𝑖
  • D 6 ± 2 𝑖

Q9:

Détermine l'ensemble solution de 𝑥+16=0 sur l'ensemble des nombres complexes.

  • A { 2 , 2 𝑖 }
  • B { 4 , 4 𝑖 }
  • C { 2 , 2 }
  • D { 2 , 2 , 2 𝑖 , 2 𝑖 }
  • E { 2 , 2 , 4 𝑖 , 4 𝑖 }

Q10:

Sachant que 𝑖 est l'une des racines de l'équation 𝑥5𝑥+𝑥5=0, détermine les deux autres racines.

  • A 1 et 5
  • B 𝑖 et 0
  • C 𝑖 et 5
  • D 1 et 5
  • E 𝑖 et 5

Q11:

Sachant que 2+𝑖3 est une racine de l'équation 𝑥12𝑥+55𝑥120𝑥+112=0, détermine toutes les autres racines.

  • A 𝑥 = 4 , 2 + 𝑖 3 , 2 𝑖 3
  • B 𝑥 = 4 , 3 + 𝑖 2 , 3 𝑖 2
  • C 𝑥 = 4 , 2 + 𝑖 3 , 2 𝑖 3
  • D 𝑥 = 4 , 3 + 𝑖 2 , 3 𝑖 2
  • E 𝑥 = 4 , 2 + 1 1 , 2 1 1

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