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Feuille d'activités de la leçon : Formule de Moivre Mathématiques

Dans cette feuille d'activités, nous nous entraînerons à déterminer les puissances et les racines des nombres complexes, et à utiliser la formule de Moivre pour simplifier le calcul des puissances et des racines.

Q1:

Sachant que 𝑍=π‘Ÿ(πœƒ+π‘–πœƒ)cossin, dΓ©termine π‘οŠβ€‰?

  • Aπ‘Ÿο€½πœƒπ‘›+π‘–πœƒπ‘›ο‰cossin
  • Bπ‘Ÿ(π‘›πœƒ+π‘–π‘›πœƒ)cossin
  • Cπ‘Ÿ(πœƒ+π‘–πœƒ)cossin
  • Dπ‘Ÿ(π‘›πœƒ+π‘–π‘›πœƒ)cossin

Q2:

Γ‰tant donnΓ© 𝑧=√32βˆ’32𝑖, dΓ©termine π‘§οŠ«, en donnant ta rΓ©ponse sous forme exponentielle.

  • A9√3𝑒οŽ₯
  • B9√3π‘’ο‘½οŽ’οƒ
  • C√3π‘’ο‘½οŽ’οƒ
  • D5√3π‘’ο‘½οŽ’οƒ

Q3:

Γ‰tant donnΓ© 𝑍=5√22βˆ’5√22𝑖, calcule 1𝑍 sous forme trigonomΓ©trique.

  • A1𝑍=5ο“ο€»πœ‹4+π‘–ο€»πœ‹4ο‡οŸcossin
  • B1𝑍=153πœ‹4+𝑖3πœ‹4cossin
  • C1𝑍=1255πœ‹4+𝑖5πœ‹4cossin
  • D1𝑍=15ο“ο€»πœ‹4+π‘–ο€»πœ‹4ο‡οŸcossin
  • E1𝑍=125ο“ο€»πœ‹4+π‘–ο€»πœ‹4ο‡οŸcossin

Q4:

Simplifie

ο€Όβˆš5ο€Όο€Ό3πœ‹14+𝑖3πœ‹14οˆοˆοˆο€Όβˆš3ο€Όο€Ό5πœ‹22+𝑖5πœ‹22cossincossin.

  • A30375√15
  • B30375√15ο€»ο€»βˆ’πœ‹2+π‘–ο€»βˆ’πœ‹2cossin
  • C922640625√15ο€»ο€»βˆ’πœ‹2+π‘–ο€»βˆ’πœ‹2cossin
  • D30375√15ο€»ο€»πœ‹2+π‘–ο€»πœ‹2cossin
  • Eβˆ’922640625√15

Q5:

Sachant que 𝑧=2πœ‹3+𝑖2πœ‹3cossin et 𝑧=πœ‹6+π‘–πœ‹6cossin, dΓ©termine π‘§π‘§οŠ«οŠ§οŠ¨οŠ¨.

  • Acossin5πœ‹3+𝑖5πœ‹3
  • Bsincos5πœ‹3+𝑖5πœ‹3
  • Ccossinπœ‹2+π‘–πœ‹2
  • Dcossinπœ‹+π‘–πœ‹
  • Esincosπœ‹+π‘–πœ‹

Q6:

Simplifie 18(βˆ’π‘–+1)(𝑖+1)οŠͺ.

Q7:

Sachant que 𝑍=ο€»βˆš3βˆ’π‘–ο‡οŠ et |𝑍|=32, dΓ©termine l'argument principal de 𝑍.

  • Aπœ‹3
  • Bπœ‹2
  • Cπœ‹6
  • Dβˆ’5πœ‹6

Q8:

Que vaut (βˆ’2+2𝑖)βˆ’(βˆ’2βˆ’2𝑖)οŠͺοŠͺ ?

  • A0
  • Bβˆ’8𝑖
  • Cβˆ’128
  • Dβˆ’2+2𝑖

Q9:

ConsidΓ¨re l'Γ©quation 𝑧=2√3+2π‘–οŠ©.

Exprime 2√3+2𝑖 sous forme trigonomΓ©trique en conservant la forme gΓ©nΓ©rale de l'argument.

  • A2√3+2𝑖=4ο€½ο€½πœ‹+2πœ‹π‘˜3+π‘–ο€½πœ‹+2πœ‹π‘˜3cossin pour π‘˜βˆˆβ„€
  • B2√3+2𝑖=4ο€½ο€½πœ‹+2πœ‹π‘˜6+π‘–ο€½πœ‹+2πœ‹π‘˜6cossin pour π‘˜βˆˆβ„€
  • C2√3+2𝑖=4ο€»ο€»πœ‹6+πœ‹π‘˜ο‡+π‘–ο€»πœ‹6+πœ‹π‘˜ο‡ο‡cossin pour π‘˜βˆˆβ„€
  • D2√3+2𝑖=4ο€»ο€»πœ‹6+2πœ‹π‘˜ο‡+π‘–ο€»πœ‹6+2πœ‹π‘˜ο‡ο‡cossin pour π‘˜βˆˆβ„€
  • E2√3+2𝑖=4ο€»ο€»πœ‹3+πœ‹π‘˜ο‡+π‘–ο€»πœ‹3+πœ‹π‘˜ο‡ο‡cossin pour π‘˜βˆˆβ„€

En appliquant la formule de Moivre au membre gauche, réécris l'équation sous forme trigonométrique.

  • Aπ‘Ÿ(3πœƒ+𝑖3πœƒ)=4ο€»ο€»πœ‹6+2πœ‹π‘˜ο‡+π‘–ο€»πœ‹6+2πœ‹π‘˜ο‡ο‡οŠ©cossincossin
  • Bπ‘Ÿ(3πœƒ+𝑖3πœƒ)=4ο€½ο€½πœ‹+2πœ‹π‘˜6+π‘–ο€½πœ‹+2πœ‹π‘˜6ο‰ο‰οŠ©cossincossin
  • Cπ‘Ÿ(πœƒ+π‘–πœƒ)=4ο€»3ο€»πœ‹6+2πœ‹π‘˜ο‡+𝑖3ο€»πœ‹6+2πœ‹π‘˜ο‡ο‡cossincossin
  • Dπ‘Ÿ(πœƒ+π‘–πœƒ)=√4ο€½ο€½πœ‹+2πœ‹π‘˜18+π‘–ο€½πœ‹+2πœ‹π‘˜18cossincossin
  • Eπ‘Ÿ(πœƒ+π‘–πœƒ)=√4ο€½ο€½πœ‹+2πœ‹π‘˜2+π‘–ο€½πœ‹+2πœ‹π‘˜2cossincossin

En dΓ©terminant les modules et les arguments, et en considΓ©rant les diffΓ©rentes valeurs de l'argument gΓ©nΓ©ral, dΓ©termine les 3 racines cubiques de 2√3+2𝑖, en les exprimant sous forme exponentielle.

  • A𝑧=√4π‘’οŽ’ο‘½οŽ οŽ§οƒ, οŽ’οŽ οŽ’ο‘½οŽ οŽ§βˆš4𝑒, οŽ’οŽ οŽ ο‘½οŽ οŽ§βˆš4π‘’οŠ±οƒ
  • B𝑧=√4π‘’οŽ’οŽ‘ο‘½οŽ¨οƒ, οŽ’οŽ§ο‘½οŽ¨βˆš4𝑒, οŽ’οŽ£ο‘½οŽ¨βˆš4π‘’οŠ±οƒ
  • C𝑧=√4π‘’οŽ’ο‘½οŽ¨οƒ, οŽ’οŽ¦ο‘½οŽ¨βˆš4𝑒, οŽ’οŽ€ο‘½οŽ¨βˆš4π‘’οŠ±οƒ
  • D𝑧=√4π‘’οŽ’ο‘½οŽ οŽ§οƒ, οŽ’οŽ’ο‘½οŽ οŽ§βˆš4𝑒, οŽ₯ο‘½οŽ οŽ§βˆš4𝑒
  • E𝑧=√4π‘’οŽ’ο‘½οŽ‘οƒ, √4π‘’οƒοŽ„, οŽ’ο‘½οŽ‘βˆš4π‘’οŠ±οƒ

Q10:

DΓ©termine les quatre racines de βˆ’1, en donnant tes rΓ©ponses sous forme trigonomΓ©trique.

  • A𝑍=ο€Όο€Ό3πœ‹4οˆβˆ’π‘–ο€Ό3πœ‹4sincos, 𝑍=ο€Όο€Ό5πœ‹4οˆβˆ’π‘–ο€Ό5πœ‹4sincos, 𝑍=ο€Όο€Ό7πœ‹4οˆβˆ’π‘–ο€Ό7πœ‹4sincos, 𝑍=ο€Όο€Ό9πœ‹4οˆβˆ’π‘–ο€Ό9πœ‹4οŠͺsincos
  • B𝑍=2ο€Όο€Ό3πœ‹4οˆβˆ’π‘–ο€Ό3πœ‹4sincos, 𝑍=2ο€Όο€Ό5πœ‹4οˆβˆ’π‘–ο€Ό5πœ‹4sincos, 𝑍=2ο€Όο€Ό7πœ‹4οˆβˆ’π‘–ο€Ό7πœ‹4sincos, 𝑍=2ο€Όο€Ό9πœ‹4οˆβˆ’π‘–ο€Ό9πœ‹4οŠͺsincos
  • C𝑍=2ο€»ο€»πœ‹4+π‘–ο€»πœ‹4ο‡ο‡οŠ§cossin, 𝑍=2ο€Όο€Ό3πœ‹4+𝑖3πœ‹4cossin, 𝑍=2ο€»ο€»βˆ’πœ‹4+π‘–ο€»βˆ’πœ‹4ο‡ο‡οŠ©cossin, 𝑍=2ο€Όο€Όβˆ’3πœ‹4+π‘–ο€Όβˆ’3πœ‹4οŠͺcossin
  • D𝑍=ο€»ο€»πœ‹4+π‘–ο€»πœ‹4ο‡ο‡οŠ§cossin, 𝑍=ο€Όο€Ό3πœ‹4+𝑖3πœ‹4cossin, 𝑍=ο€»ο€»βˆ’πœ‹4+π‘–ο€»βˆ’πœ‹4ο‡ο‡οŠ©cossin, 𝑍=ο€Όο€Όβˆ’3πœ‹4+π‘–ο€Όβˆ’3πœ‹4οŠͺcossin

Cette leçon comprend 22 questions additionnelles et 230 variantes de questions additionnelles pour les abonnés.

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