Feuille d'activités : Pouvoirs et racines de nombres complexes

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer des puissances et des racines de nombres complexes et comment utiliser le théorème de Moivre pour simplifier les calculs de puissances et de racines.

Q1:

Que vaut ( 1 โˆ’ 2 ๐‘– ) ๏Šช โ€‰?

  • A 5 + 1 0 ๐‘–
  • B โˆ’ 3 โˆ’ 4 ๐‘–
  • C 4 โˆ’ 8 ๐‘–
  • D โˆ’ 7 + 2 4 ๐‘–
  • E 1 โˆ’ 2 ๐‘–

Q2:

Utilise la formule de Moivre pour calculer les deux racines carrรฉes de 9 ๏€ผ 2 ๐œ‹ 3 + ๐‘– 2 ๐œ‹ 3 ๏ˆ c o s s i n .

  • A { โˆ’ 3 , 3 }
  • B ๏ฏ 3 2 + 3 โˆš 3 2 ๐‘– , โˆ’ 3 2 + 3 โˆš 3 2 ๐‘– ๏ป
  • C ๏ฏ โˆš 3 2 โˆ’ 1 2 ๐‘– , โˆ’ โˆš 3 2 + 1 2 ๐‘– ๏ป
  • D ๏ฏ 3 2 + 3 โˆš 3 2 ๐‘– , โˆ’ 3 2 โˆ’ 3 โˆš 3 2 ๐‘– ๏ป
  • E ๏ฌ โˆ’ 1 2 โˆ’ 1 2 ๐‘– , 1 2 + 1 2 ๐‘– ๏ธ

Q3:

Sachant que ๐‘ = ๐‘Ÿ ( ๐œƒ + ๐‘– ๐œƒ ) c o s s i n , dรฉtermine ๐‘ ๏Š โ€‰?

  • A ๐‘Ÿ ( ๐‘› ๐œƒ + ๐‘– ๐‘› ๐œƒ ) c o s s i n
  • B ๐‘Ÿ ( ๐œƒ + ๐‘– ๐œƒ ) ๏Š c o s s i n
  • C ๐‘Ÿ ๏€ฝ ๐œƒ ๐‘› + ๐‘– ๐œƒ ๐‘› ๏‰ c o s s i n
  • D ๐‘Ÿ ( ๐‘› ๐œƒ + ๐‘– ๐‘› ๐œƒ ) ๏Š c o s s i n

Q4:

Quelle est la valeur de ( 1 + ๐‘– ) ๏Šง ๏Šฆ โ€‰?

  • A2
  • B 1 0 ๐‘–
  • C 2 + 2 ๐‘–
  • D 3 2 ๐‘–
  • E 1 + ๐‘–

Q5:

Que vaut ( โˆ’ 1 โˆ’ 3 ๐‘– ) ๏Šช โ€‰?

  • A โˆ’ 1 0 + 3 0 ๐‘–
  • B โˆ’ 8 + 6 ๐‘–
  • C โˆ’ 4 โˆ’ 1 2 ๐‘–
  • D 2 8 โˆ’ 9 6 ๐‘–
  • E โˆ’ 1 โˆ’ 3 ๐‘–

Q6:

Utilise la formule de Moivre pour calculer les deux racines carrรฉes de c o s s i n ๐œ‹ 3 + ๐‘– ๐œ‹ 3 .

  • A { ๐‘– , โˆ’ ๐‘– }
  • B ๏ฏ โˆš 3 2 + 1 2 ๐‘– , ๐‘– ๏ป
  • C ๏ฏ 1 2 โˆ’ โˆš 3 2 ๐‘– , โˆ’ 1 2 + โˆš 3 2 ๐‘– ๏ป
  • D ๏ฏ โˆš 3 2 + 1 2 ๐‘– , โˆ’ โˆš 3 2 โˆ’ 1 2 ๐‘– ๏ป
  • E ๏ฌ 1 2 + โˆš 2 ๐‘– , โˆ’ 1 2 โˆ’ โˆš 2 ๐‘– ๏ธ

Q7:

Utilise la formule de Moivre pour calculer les deux racines carrรฉes de 9 ๏€ป ๐œ‹ 3 + ๐‘– ๐œ‹ 3 ๏‡ c o s s i n .

  • A { 3 ๐‘– , โˆ’ 3 ๐‘– }
  • B ๏ฏ 3 โˆš 3 2 + 3 2 ๐‘– , 3 ๐‘– ๏ป
  • C { โˆ’ 1 , 1 }
  • D ๏ฏ 3 โˆš 3 2 + 3 2 ๐‘– , โˆ’ 3 โˆš 3 2 โˆ’ 3 2 ๐‘– ๏ป
  • E ๏ฌ 1 2 + โˆš 2 ๐‘– , โˆ’ 1 2 โˆ’ โˆš 2 ๐‘– ๏ธ

Q8:

Quelle est la valeur de ( โˆ’ 1 + ๐‘– ) ๏Šฎ โ€‰?

  • A2
  • B โˆ’ 8 ๐‘–
  • C โˆ’ 8 + 8 ๐‘–
  • D16
  • E โˆ’ 1 + ๐‘–

Q9:

Sachant que ๐‘ฅ + ๐‘ฆ ๐‘– = ๏€ผ 1 โˆ’ 1 ๐‘– ๏ˆ ๏Šฌ , oรน ๐‘ฅ et ๐‘ฆ sont deux nombres rรฉels, dรฉtermine les valeurs de ๐‘ฅ et ๐‘ฆ .

  • A ๐‘ฅ = 0 โ€‰; ๐‘ฆ = 2
  • B ๐‘ฅ = 0 โ€‰; ๐‘ฆ = 8
  • C ๐‘ฅ = 0 โ€‰; ๐‘ฆ = โˆ’ 2
  • D ๐‘ฅ = 0 โ€‰; ๐‘ฆ = โˆ’ 8

Q10:

Simplifie 1 8 ( โˆ’ ๐‘– + 1 ) ( ๐‘– + 1 ) ๏Šฉ ๏Šฏ ๏Šช ๏Šง .

  • A โˆ’ 9
  • B 9 ๐‘–
  • C โˆ’ 9 ๐‘–
  • D9

Q11:

Considรจre le nombre complexe ๐‘ง = 3 โˆ’ ๐‘– .

Calcule le module de ๐‘ง .

  • A1
  • B3
  • C โˆš 8
  • D โˆš 1 0
  • E โˆš 2

Ainsi, dรฉtermine le module de ๐‘ง ๏Šซ .

  • A 1 0 0 โˆš 1 0
  • B10
  • C 1 0 โˆš 1 0
  • D243
  • E โˆš 1 0

Q12:

Dรฉtermine, sous forme trigonomรฉtrique, les racines carrรฉes de ๏€ฝ โˆ’ 5 โˆ’ 5 ๐‘– โˆ’ 5 + 5 ๐‘– ๏‰ ๏Šฏ .

  • A ๏€ป ๏€ป ๐œ‹ 4 ๏‡ + ๐‘– ๏€ป ๐œ‹ 4 ๏‡ ๏‡ c o s s i n , ๏€ผ ๏€ผ 3 ๐œ‹ 4 ๏ˆ + ๐‘– ๏€ผ 3 ๐œ‹ 4 ๏ˆ ๏ˆ c o s s i n
  • B ๏€ผ ๏€ผ 3 ๐œ‹ 4 ๏ˆ + ๐‘– ๏€ผ 3 ๐œ‹ 4 ๏ˆ ๏ˆ c o s s i n , ๏€ป ๏€ป โˆ’ ๐œ‹ 4 ๏‡ + ๐‘– ๏€ป โˆ’ ๐œ‹ 4 ๏‡ ๏‡ c o s s i n
  • C ๏€ป ๏€ป โˆ’ ๐œ‹ 4 ๏‡ + ๐‘– ๏€ป โˆ’ ๐œ‹ 4 ๏‡ ๏‡ c o s s i n , ๏€ป ๏€ป ๐œ‹ 4 ๏‡ + ๐‘– ๏€ป ๐œ‹ 4 ๏‡ ๏‡ c o s s i n
  • D ๏€ป ๏€ป ๐œ‹ 4 ๏‡ + ๐‘– ๏€ป ๐œ‹ 4 ๏‡ ๏‡ c o s s i n , ๏€ผ ๏€ผ โˆ’ 3 ๐œ‹ 4 ๏ˆ + ๐‘– ๏€ผ โˆ’ 3 ๐œ‹ 4 ๏ˆ ๏ˆ c o s s i n

Q13:

Simplifie ( โˆ’ 1 โˆ’ ๐‘– ) ๏Šฌ , et รฉcris ta rรฉponse sous forme trigonomรฉtrique.

  • A 8 ( 2 7 0 + ๐‘– 2 7 0 ) s i n c o s โˆ˜ โˆ˜
  • B โˆ’ 8 ( 2 7 0 + ๐‘– 2 7 0 ) c o s s i n โˆ˜ โˆ˜
  • C 8 ( 1 8 0 + ๐‘– 1 8 0 ) s i n c o s โˆ˜ โˆ˜
  • D 8 ( 2 7 0 + ๐‘– 2 7 0 ) c o s s i n โˆ˜ โˆ˜
  • E 8 ( 9 0 + ๐‘– 9 0 ) c o s s i n โˆ˜ โˆ˜

Q14:

Considรจre le nombre complexe ๐‘ง = 1 + โˆš 3 ๐‘– .

Calcule le module de ๐‘ง .

Dรฉtermine l'argument principal de ๐‘ง .

  • A ๐œ‹ 3
  • B 2 ๐œ‹ 3
  • C โˆš 1 0
  • D ๐œ‹ 6
  • E2

Par consรฉquent, utilise les propriรฉtรฉs de la multiplication sur les nombres complexes sous forme exponentielle pour dรฉtermine le module et l'argument de ๐‘ง ๏Šฉ .

  • Amodule = โˆš 3 , argument= ๐œ‹
  • Bmodule = โˆš 1 0 , argument = ๐œ‹ 2
  • Cmodule = 8, argument = ๐œ‹
  • Dmodule = 8, argument = ๐œ‹ 2
  • Emodule = โˆš 1 0 , argument = ๐œ‹

Ainsi, dรฉtermine la valeur de ๐‘ง ๏Šฉ .

Q15:

ร‰tant donnรฉ ๐‘ง = 7 ( 3 1 5 + ๐‘– 3 1 5 ) s i n c o s โˆ˜ โˆ˜ , dรฉtermine ๐‘ง ๏Šจ , en donnant ta rรฉponse sous la forme exponentielle.

  • A 4 9 ๐‘’ ๏Žฆ ๏‘ฝ ๏Žฃ ๏ƒ
  • B 4 9 ๐‘’ ๏Žข ๏‘ฝ ๏Žฃ ๏ƒ
  • C 7 ๐‘’ ๏Žข ๏‘ฝ ๏Žก ๏ƒ
  • D 4 9 ๐‘’ ๏Žข ๏‘ฝ ๏Žก ๏ƒ
  • E 1 4 ๐‘’ ๏Žข ๏‘ฝ ๏Žก ๏ƒ

Q16:

ร‰tant donnรฉ ๐‘ง = 3 โˆš 2 ( 2 2 5 โˆ’ ๐‘– 2 2 5 ) c o s s i n โˆ˜ โˆ˜ , calcule ๐‘ง ๏Šจ , en donnant ta rรฉponse sous forme exponentielle.

  • A 3 โˆš 2 ๐‘’ ๏Žข ๏‘ฝ ๏Žก ๏ƒ
  • B 1 8 ๐‘’ ๏Žข ๏‘ฝ ๏Žฃ ๏ƒ
  • C 6 โˆš 2 ๐‘’ ๏Žข ๏‘ฝ ๏Žก ๏ƒ
  • D 1 8 ๐‘’ ๏Žข ๏‘ฝ ๏Žก ๏ƒ

Q17:

Si ๐‘ง = 6 ( 2 2 5 + ๐‘– 2 2 5 ) ๏Šง โˆ˜ โˆ˜ c o s s i n , ๐‘ง = 9 0 + ๐‘– 9 0 ๏Šจ โˆ˜ โˆ˜ c o s s i n et ๐‘ง = 2 7 0 + ๐‘– 2 7 0 ๏Šฉ โˆ˜ โˆ˜ c o s s i n , quelle est la forme exponentielle de ( ๐‘ง ๐‘ง ๐‘ง ) ๏Šง ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šจ โ€‰?

  • A 3 6 ๐‘’ ๏Žค ๏‘ฝ ๏Žฃ ๏ƒ
  • B 6 ๐‘’ ๏‘ฝ ๏Žก ๏ƒ
  • C 6 ๐‘’ ๏Žก ๏‘ฝ ๏Žข ๏ƒ
  • D 3 6 ๐‘’ ๏‘ฝ ๏Žก ๏ƒ
  • E 3 6 ๐‘’ ๏Žข ๏‘ฝ ๏Žก ๏ƒ

Q18:

ร‰tant donnรฉ ๐‘ง = 2 โˆš 3 ( 2 4 0 + ๐‘– 2 4 0 ) c o s s i n โˆ˜ โˆ˜ , dรฉtermine ๐‘ง ๏Šจ sous forme exponentielle.

  • A ๐‘ง = 2 โˆš 3 ๐‘’ ๏Šจ ๏ƒ ๏Žก ๏‘ฝ ๏Žข
  • B ๐‘ง = 1 2 ๐‘’ ๏Šจ ๏ƒ ๏Žฃ ๏‘ฝ ๏Žข
  • C ๐‘ง = 4 โˆš 3 ๐‘’ ๏Šจ ๏ƒ ๏Žก ๏‘ฝ ๏Žข
  • D ๐‘ง = 1 2 ๐‘’ ๏Šจ ๏ƒ ๏Žก ๏‘ฝ ๏Žข
  • E ๐‘ง = 1 2 ๐‘’ ๏Šจ ๏ƒ ๏Žฆ ๏‘ฝ ๏Žฅ

Q19:

Si ๐‘ง = 3 ( 4 5 + ๐‘– 4 5 ) c o s s i n โˆ˜ โˆ˜ , que vaut ๐‘ง ๏Šจ โ€‰?

  • A 9 ( 4 5 + ๐‘– 4 5 ) c o s s i n โˆ˜ โˆ˜
  • B 6 ( 9 0 + ๐‘– 9 0 ) c o s s i n โˆ˜ โˆ˜
  • C 3 ๏€บ 4 5 + ๐‘– 4 5 ๏† c o s s i n ๏Šจ โˆ˜ ๏Šจ โˆ˜
  • D 9 ( 9 0 + ๐‘– 9 0 ) c o s s i n โˆ˜ โˆ˜
  • E 6 ๏€บ 4 5 + ๐‘– 4 5 ๏† c o s s i n ๏Šจ โˆ˜ ๏Šจ โˆ˜

Q20:

ร‰tant donnรฉ ๐‘ง = โˆš 3 2 โˆ’ 3 2 ๐‘– , dรฉtermine ๐‘ง ๏Šซ , en donnant ta rรฉponse sous forme exponentielle.

  • A 5 โˆš 3 ๐‘’ ๏‘ฝ ๏Žข ๏ƒ
  • B โˆš 3 ๐‘’ ๏‘ฝ ๏Žข ๏ƒ
  • C 9 โˆš 3 ๐‘’ ๏‘ฝ ๏Žฅ ๏ƒ
  • D 9 โˆš 3 ๐‘’ ๏‘ฝ ๏Žข ๏ƒ

Q21:

Sachant que ๐‘ง = 8 ( 2 4 0 + ๐‘– 2 4 0 ) ๏Šง โˆ˜ โˆ˜ c o s s i n , ๐‘ง = 4 ๏€ผ 5 ๐œ‹ 4 + ๐‘– 5 ๐œ‹ 4 ๏ˆ ๏Šจ c o s s i n et ๐‘ง = 8 ( 4 5 + ๐‘– 4 5 ) ๏Šฉ โˆ˜ โˆ˜ c o s s i n , dรฉtermine ๐‘ง ๐‘ง ๐‘ง ๏Šง ๏Šฌ ๏Šจ ๏Šช ๏Šฉ . Exprime ta rรฉponse sous la forme exponentielle.

  • A 8 ๐‘’ ๏‘ฝ ๏Žข ๏ƒ
  • B 4 ๐‘’ ๏Ž  ๏Ž  ๏‘ฝ ๏Žฅ ๏ƒ
  • C 3 2 7 6 8 ๐‘’ ๏Ž  ๏Ž  ๏‘ฝ ๏Žฅ ๏ƒ
  • D 8 ๐‘’ ๏Ž  ๏Ž  ๏‘ฝ ๏Žฅ ๏ƒ
  • E 8 ๐‘’ ๏Žค ๏‘ฝ ๏Žฅ ๏ƒ

Q22:

ร‰tant donnรฉs ๐‘ = 8 ๏€ผ ๏€ผ 1 9 ๐œ‹ 1 2 ๏ˆ โˆ’ ๐‘– ๏€ผ 1 9 ๐œ‹ 1 2 ๏ˆ ๏ˆ ๏Šง ๏Šจ c o s s i n et ๐‘ = 3 ๐‘’ ๏Šจ ๏ƒ ๏Ž  ๏Ž  ๏‘ฝ ๏Žฅ , oรน ๐‘– = โˆ’ 1 ๏Šจ , exprime ๐‘ = ๐‘ ๐‘ ๏Šง ๏Šจ ๏Šจ sous forme trigonomรฉtrique.

  • A ๐‘ = ๏€ป ๏€ป ๐œ‹ 2 ๏‡ + ๐‘– ๏€ป ๐œ‹ 2 ๏‡ ๏‡ c o s s i n
  • B ๐‘ = 7 2 ๏€ป ๏€ป โˆ’ ๐œ‹ 2 ๏‡ + ๐‘– ๏€ป โˆ’ ๐œ‹ 2 ๏‡ ๏‡ c o s s i n
  • C ๐‘ = ๏€ป ๏€ป โˆ’ ๐œ‹ 2 ๏‡ + ๐‘– ๏€ป โˆ’ ๐œ‹ 2 ๏‡ ๏‡ c o s s i n
  • D ๐‘ = 7 2 ๏€ป ๏€ป ๐œ‹ 2 ๏‡ + ๐‘– ๏€ป ๐œ‹ 2 ๏‡ ๏‡ c o s s i n

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expรฉrience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialitรฉ.