Fiche d'activités de la leçon : Formule de Moivre Mathématiques

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer des puissances et des racines de nombres complexes et comment utiliser le théorème de Moivre pour simplifier les calculs de puissances et de racines.

Q1:

Utilise la formule de Moivre pour calculer les deux racines carrรฉes de 9๏€ผ2๐œ‹3+๐‘–2๐œ‹3๏ˆcossin.

  • A๏ฏ32+3โˆš32๐‘–,โˆ’32โˆ’3โˆš32๐‘–๏ป
  • B๏ฏโˆš32โˆ’12๐‘–,โˆ’โˆš32+12๐‘–๏ป
  • C๏ฌโˆ’12โˆ’12๐‘–,12+12๐‘–๏ธ
  • D{โˆ’3,3}
  • E๏ฏ32+3โˆš32๐‘–,โˆ’32+3โˆš32๐‘–๏ป

Q2:

Sachant que ๐‘=๐‘Ÿ(๐œƒ+๐‘–๐œƒ)cossin, dรฉtermine ๐‘๏Šโ€‰?

  • A๐‘Ÿ๏€ฝ๐œƒ๐‘›+๐‘–๐œƒ๐‘›๏‰cossin
  • B๐‘Ÿ(๐‘›๐œƒ+๐‘–๐‘›๐œƒ)๏Šcossin
  • C๐‘Ÿ(๐œƒ+๐‘–๐œƒ)๏Šcossin
  • D๐‘Ÿ(๐‘›๐œƒ+๐‘–๐‘›๐œƒ)cossin

Q3:

Quelle est la valeur de (1+๐‘–)๏Šง๏Šฆโ€‰?

  • A1+๐‘–
  • B32๐‘–
  • C2+2๐‘–
  • D10๐‘–
  • E2

Q4:

Utilise la formule de Moivre pour calculer les deux racines carrรฉes de cossin๐œ‹3+๐‘–๐œ‹3.

  • A{๐‘–,โˆ’๐‘–}
  • B๏ฏโˆš32+12๐‘–,๐‘–๏ป
  • C๏ฌ12+โˆš2๐‘–,โˆ’12โˆ’โˆš2๐‘–๏ธ
  • D๏ฏโˆš32+12๐‘–,โˆ’โˆš32โˆ’12๐‘–๏ป
  • E๏ฏ12โˆ’โˆš32๐‘–,โˆ’12+โˆš32๐‘–๏ป

Q5:

Utilise la formule de Moivre pour calculer les deux racines carrรฉes de 9๏€ป๐œ‹3+๐‘–๐œ‹3๏‡cossin.

  • A{3๐‘–,โˆ’3๐‘–}
  • B๏ฏ3โˆš32+32๐‘–,3๐‘–๏ป
  • C๏ฌ12+โˆš2๐‘–,โˆ’12โˆ’โˆš2๐‘–๏ธ
  • D๏ฏ3โˆš32+32๐‘–,โˆ’3โˆš32โˆ’32๐‘–๏ป
  • E{โˆ’1,1}

Q6:

Quelle est la valeur de (โˆ’1+๐‘–)๏Šฎโ€‰?

  • Aโˆ’1+๐‘–
  • B16
  • Cโˆ’8+8๐‘–
  • Dโˆ’8๐‘–
  • E2

Q7:

Sachant que ๐‘ฅ+๐‘ฆ๐‘–=๏€ผ1โˆ’1๐‘–๏ˆ๏Šฌ, oรน ๐‘ฅ et ๐‘ฆ sont deux nombres rรฉels, dรฉtermine les valeurs de ๐‘ฅ et ๐‘ฆ.

  • A๐‘ฅ=0โ€‰; ๐‘ฆ=โˆ’8
  • B๐‘ฅ=0โ€‰; ๐‘ฆ=8
  • C๐‘ฅ=0โ€‰; ๐‘ฆ=โˆ’2
  • D๐‘ฅ=0โ€‰; ๐‘ฆ=2

Q8:

Simplifie 18(โˆ’๐‘–+1)(๐‘–+1)๏Šฉ๏Šฏ๏Šช๏Šง.

Q9:

Considรจre le nombre complexe ๐‘ง=3โˆ’๐‘–.

Calcule le module de ๐‘ง.

  • Aโˆš2
  • Bโˆš8
  • C1
  • D3
  • Eโˆš10

Ainsi, dรฉtermine le module de ๐‘ง๏Šซ.

  • A10
  • B100โˆš10
  • C243
  • Dโˆš10
  • E10โˆš10

Q10:

Dรฉtermine, sous forme trigonomรฉtrique, les racines carrรฉes de ๏€ฝโˆ’5โˆ’5๐‘–โˆ’5+5๐‘–๏‰๏Šฏ.

  • A๏€ป๏€ปโˆ’๐œ‹4๏‡+๐‘–๏€ปโˆ’๐œ‹4๏‡๏‡cossin, ๏€ป๏€ป๐œ‹4๏‡+๐‘–๏€ป๐œ‹4๏‡๏‡cossin
  • B๏€ผ๏€ผ3๐œ‹4๏ˆ+๐‘–๏€ผ3๐œ‹4๏ˆ๏ˆcossin, ๏€ป๏€ปโˆ’๐œ‹4๏‡+๐‘–๏€ปโˆ’๐œ‹4๏‡๏‡cossin
  • C๏€ป๏€ป๐œ‹4๏‡+๐‘–๏€ป๐œ‹4๏‡๏‡cossin, ๏€ผ๏€ผ3๐œ‹4๏ˆ+๐‘–๏€ผ3๐œ‹4๏ˆ๏ˆcossin
  • D๏€ป๏€ป๐œ‹4๏‡+๐‘–๏€ป๐œ‹4๏‡๏‡cossin, ๏€ผ๏€ผโˆ’3๐œ‹4๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’3๐œ‹4๏ˆ๏ˆcossin

Q11:

Simplifie (โˆ’1โˆ’๐‘–)๏Šฌ, et รฉcris ta rรฉponse sous forme trigonomรฉtrique.

  • A8(90+๐‘–90)cossinโˆ˜โˆ˜
  • B8(270+๐‘–270)cossinโˆ˜โˆ˜
  • C8(180+๐‘–180)sincosโˆ˜โˆ˜
  • D8(270+๐‘–270)sincosโˆ˜โˆ˜
  • Eโˆ’8(270+๐‘–270)cossinโˆ˜โˆ˜

Q12:

Considรจre le nombre complexe ๐‘ง=1+โˆš3๐‘–.

Calcule le module de ๐‘ง.

Dรฉtermine l'argument principal de ๐‘ง.

  • A2
  • B๐œ‹6
  • C๐œ‹3
  • Dโˆš10
  • E2๐œ‹3

Par consรฉquent, utilise les propriรฉtรฉs de la multiplication sur les nombres complexes sous forme exponentielle pour dรฉtermine le module et l'argument de ๐‘ง๏Šฉ.

  • Amodule = 8, argument = ๐œ‹
  • Bmodule = โˆš10, argument = ๐œ‹
  • Cmodule = 8, argument = ๐œ‹2
  • Dmodule = โˆš3, argument= ๐œ‹
  • Emodule = โˆš10, argument = ๐œ‹2

Ainsi, dรฉtermine la valeur de ๐‘ง๏Šฉ.

Q13:

ร‰tant donnรฉ ๐‘ง=7(315+๐‘–315)sincosโˆ˜โˆ˜, dรฉtermine ๐‘ง๏Šจ, en donnant ta rรฉponse sous la forme exponentielle.

  • A49๐‘’๏Žฆ๏‘ฝ๏Žฃ๏ƒ
  • B49๐‘’๏Žข๏‘ฝ๏Žฃ๏ƒ
  • C7๐‘’๏Žข๏‘ฝ๏Žก๏ƒ
  • D14๐‘’๏Žข๏‘ฝ๏Žก๏ƒ
  • E49๐‘’๏Žข๏‘ฝ๏Žก๏ƒ

Q14:

ร‰tant donnรฉ ๐‘ง=3โˆš2(225โˆ’๐‘–225)cossinโˆ˜โˆ˜, calcule ๐‘ง๏Šจ, en donnant ta rรฉponse sous forme exponentielle.

  • A6โˆš2๐‘’๏Žข๏‘ฝ๏Žก๏ƒ
  • B18๐‘’๏Žข๏‘ฝ๏Žก๏ƒ
  • C18๐‘’๏Žข๏‘ฝ๏Žฃ๏ƒ
  • D3โˆš2๐‘’๏Žข๏‘ฝ๏Žก๏ƒ

Q15:

Si ๐‘ง=6(225+๐‘–225)๏Šงโˆ˜โˆ˜cossin, ๐‘ง=90+๐‘–90๏Šจโˆ˜โˆ˜cossin et ๐‘ง=270+๐‘–270๏Šฉโˆ˜โˆ˜cossin, quelle est la forme exponentielle de (๐‘ง๐‘ง๐‘ง)๏Šง๏Šจ๏Šฉ๏Šจโ€‰?

  • A36๐‘’๏‘ฝ๏Žก๏ƒ
  • B36๐‘’๏Žค๏‘ฝ๏Žฃ๏ƒ
  • C6๐‘’๏‘ฝ๏Žก๏ƒ
  • D6๐‘’๏Žก๏‘ฝ๏Žข๏ƒ
  • E36๐‘’๏Žข๏‘ฝ๏Žก๏ƒ

Q16:

ร‰tant donnรฉ ๐‘ง=2โˆš3(240+๐‘–240)cossinโˆ˜โˆ˜, dรฉtermine ๐‘ง๏Šจ sous forme exponentielle.

  • A๐‘ง=12๐‘’๏Šจ๏ƒ๏Žฆ๏‘ฝ๏Žฅ
  • B๐‘ง=4โˆš3๐‘’๏Šจ๏ƒ๏Žก๏‘ฝ๏Žข
  • C๐‘ง=2โˆš3๐‘’๏Šจ๏ƒ๏Žก๏‘ฝ๏Žข
  • D๐‘ง=12๐‘’๏Šจ๏ƒ๏Žก๏‘ฝ๏Žข
  • E๐‘ง=12๐‘’๏Šจ๏ƒ๏Žฃ๏‘ฝ๏Žข

Q17:

Dรฉtermine les valeurs possibles de ๏€ฟโˆ’27โˆš32โˆ’27๐‘–2๏‹๏Žฃ๏Žข, en donnant tes rรฉponses sous forme trigonomรฉtrique.

  • A27(120+๐‘–120)cossinโˆ˜โˆ˜, 27(190+๐‘–190)cossinโˆ˜โˆ˜, 27(310+๐‘–310)cossinโˆ˜โˆ˜
  • B81(70+๐‘–70)cossinโˆ˜โˆ˜, 81(190+๐‘–190)cossinโˆ˜โˆ˜, 81(310+๐‘–310)cossinโˆ˜โˆ˜
  • C27(70+๐‘–70)cossinโˆ˜โˆ˜, 27(190+๐‘–190)cossinโˆ˜โˆ˜, 27(310+๐‘–310)cossinโˆ˜โˆ˜
  • D81(120+๐‘–120)cossinโˆ˜โˆ˜, 81(190+๐‘–190)cossinโˆ˜โˆ˜, 81(310+๐‘–310)cossinโˆ˜โˆ˜

Q18:

Si ๐‘ง=3(45+๐‘–45)cossinโˆ˜โˆ˜, que vaut ๐‘ง๏Šจโ€‰?

  • A6๏€บ45+๐‘–45๏†cossin๏Šจโˆ˜๏Šจโˆ˜
  • B9(45+๐‘–45)cossinโˆ˜โˆ˜
  • C6(90+๐‘–90)cossinโˆ˜โˆ˜
  • D3๏€บ45+๐‘–45๏†cossin๏Šจโˆ˜๏Šจโˆ˜
  • E9(90+๐‘–90)cossinโˆ˜โˆ˜

Q19:

ร‰tant donnรฉ ๐‘ง=โˆš32โˆ’32๐‘–, dรฉtermine ๐‘ง๏Šซ, en donnant ta rรฉponse sous forme exponentielle.

  • A9โˆš3๐‘’๏‘ฝ๏Žฅ๏ƒ
  • B9โˆš3๐‘’๏‘ฝ๏Žข๏ƒ
  • Cโˆš3๐‘’๏‘ฝ๏Žข๏ƒ
  • D5โˆš3๐‘’๏‘ฝ๏Žข๏ƒ

Q20:

Sachant que ๐‘ง=8(240+๐‘–240)๏Šงโˆ˜โˆ˜cossin, ๐‘ง=4๏€ผ5๐œ‹4+๐‘–5๐œ‹4๏ˆ๏Šจcossin et ๐‘ง=8(45+๐‘–45)๏Šฉโˆ˜โˆ˜cossin, dรฉtermine ๐‘ง๐‘ง๐‘ง๏Šง๏Šฌ๏Šจ๏Šช๏Šฉ. Exprime ta rรฉponse sous la forme exponentielle.

  • A4๐‘’๏Ž ๏Ž ๏‘ฝ๏Žฅ๏ƒ
  • B8๐‘’๏‘ฝ๏Žข๏ƒ
  • C8๐‘’๏Ž ๏Ž ๏‘ฝ๏Žฅ๏ƒ
  • D32768๐‘’๏Ž ๏Ž ๏‘ฝ๏Žฅ๏ƒ
  • E8๐‘’๏Žค๏‘ฝ๏Žฅ๏ƒ

Q21:

ร‰tant donnรฉs ๐‘=8๏€ผ๏€ผ19๐œ‹12๏ˆโˆ’๐‘–๏€ผ19๐œ‹12๏ˆ๏ˆ๏Šง๏Šจcossin et ๐‘=3๐‘’๏Šจ๏ƒ๏Ž ๏Ž ๏‘ฝ๏Žฅ, oรน ๐‘–=โˆ’1๏Šจ, exprime ๐‘=๐‘๐‘๏Šง๏Šจ๏Šจ sous forme trigonomรฉtrique.

  • A๐‘=72๏€ป๏€ปโˆ’๐œ‹2๏‡+๐‘–๏€ปโˆ’๐œ‹2๏‡๏‡cossin
  • B๐‘=72๏€ป๏€ป๐œ‹2๏‡+๐‘–๏€ป๐œ‹2๏‡๏‡cossin
  • C๐‘=๏€ป๏€ป๐œ‹2๏‡+๐‘–๏€ป๐œ‹2๏‡๏‡cossin
  • D๐‘=๏€ป๏€ปโˆ’๐œ‹2๏‡+๐‘–๏€ปโˆ’๐œ‹2๏‡๏‡cossin

Q22:

Sachant que ๐‘=๏€ปโˆš3โˆ’๐‘–๏‡๏Š et |๐‘|=32, dรฉtermine l'argument principal de ๐‘.

  • A๐œ‹3
  • B๐œ‹2
  • C๐œ‹6
  • Dโˆ’5๐œ‹6

Q23:

ร‰tant donnรฉ ๐‘=โˆ’30+30๐‘–, dรฉtermine l'argument principal de ๐‘๏Šซ.

  • Aโˆ’45โˆ˜
  • B90โˆ˜
  • Cโˆ’135โˆ˜
  • D180โˆ˜

Q24:

Considรจre l'รฉquation ๐‘ง=2โˆš3+2๐‘–๏Šฉ.

Exprime 2โˆš3+2๐‘– sous forme trigonomรฉtrique en conservant la forme gรฉnรฉrale de l'argument.

  • A2โˆš3+2๐‘–=4๏€ฝ๏€ฝ๐œ‹+2๐œ‹๐‘˜3๏‰+๐‘–๏€ฝ๐œ‹+2๐œ‹๐‘˜3๏‰๏‰cossin pour ๐‘˜โˆˆโ„ค
  • B2โˆš3+2๐‘–=4๏€ฝ๏€ฝ๐œ‹+2๐œ‹๐‘˜6๏‰+๐‘–๏€ฝ๐œ‹+2๐œ‹๐‘˜6๏‰๏‰cossin pour ๐‘˜โˆˆโ„ค
  • C2โˆš3+2๐‘–=4๏€ป๏€ป๐œ‹6+๐œ‹๐‘˜๏‡+๐‘–๏€ป๐œ‹6+๐œ‹๐‘˜๏‡๏‡cossin pour ๐‘˜โˆˆโ„ค
  • D2โˆš3+2๐‘–=4๏€ป๏€ป๐œ‹6+2๐œ‹๐‘˜๏‡+๐‘–๏€ป๐œ‹6+2๐œ‹๐‘˜๏‡๏‡cossin pour ๐‘˜โˆˆโ„ค
  • E2โˆš3+2๐‘–=4๏€ป๏€ป๐œ‹3+๐œ‹๐‘˜๏‡+๐‘–๏€ป๐œ‹3+๐œ‹๐‘˜๏‡๏‡cossin pour ๐‘˜โˆˆโ„ค

En appliquant la formule de Moivre au membre gauche, rรฉรฉcris l'รฉquation sous forme trigonomรฉtrique.

  • A๐‘Ÿ(3๐œƒ+๐‘–3๐œƒ)=4๏€ป๏€ป๐œ‹6+2๐œ‹๐‘˜๏‡+๐‘–๏€ป๐œ‹6+2๐œ‹๐‘˜๏‡๏‡๏Šฉcossincossin
  • B๐‘Ÿ(3๐œƒ+๐‘–3๐œƒ)=4๏€ฝ๏€ฝ๐œ‹+2๐œ‹๐‘˜6๏‰+๐‘–๏€ฝ๐œ‹+2๐œ‹๐‘˜6๏‰๏‰๏Šฉcossincossin
  • C๐‘Ÿ(๐œƒ+๐‘–๐œƒ)=4๏€ป3๏€ป๐œ‹6+2๐œ‹๐‘˜๏‡+๐‘–3๏€ป๐œ‹6+2๐œ‹๐‘˜๏‡๏‡cossincossin๏Šฉ
  • D๐‘Ÿ(๐œƒ+๐‘–๐œƒ)=โˆš4๏€ฝ๏€ฝ๐œ‹+2๐œ‹๐‘˜18๏‰+๐‘–๏€ฝ๐œ‹+2๐œ‹๐‘˜18๏‰๏‰cossincossin๏Žข
  • E๐‘Ÿ(๐œƒ+๐‘–๐œƒ)=โˆš4๏€ฝ๏€ฝ๐œ‹+2๐œ‹๐‘˜2๏‰+๐‘–๏€ฝ๐œ‹+2๐œ‹๐‘˜2๏‰๏‰cossincossin๏Žข

En dรฉterminant les modules et les arguments, et en considรฉrant les diffรฉrentes valeurs de l'argument gรฉnรฉral, dรฉtermine les 3 racines cubiques de 2โˆš3+2๐‘–, en les exprimant sous forme exponentielle.

  • A๐‘ง=โˆš4๐‘’๏Žข๏‘ฝ๏Ž ๏Žง๏ƒ, ๏Žข๏Ž ๏Žข๏‘ฝ๏Ž ๏Žงโˆš4๐‘’๏ƒ, ๏Žข๏Ž ๏Ž ๏‘ฝ๏Ž ๏Žงโˆš4๐‘’๏Šฑ๏ƒ
  • B๐‘ง=โˆš4๐‘’๏Žข๏Žก๏‘ฝ๏Žจ๏ƒ, ๏Žข๏Žง๏‘ฝ๏Žจโˆš4๐‘’๏ƒ, ๏Žข๏Žฃ๏‘ฝ๏Žจโˆš4๐‘’๏Šฑ๏ƒ
  • C๐‘ง=โˆš4๐‘’๏Žข๏‘ฝ๏Žจ๏ƒ, ๏Žข๏Žฆ๏‘ฝ๏Žจโˆš4๐‘’๏ƒ, ๏Žข๏Žค๏‘ฝ๏Žจโˆš4๐‘’๏Šฑ๏ƒ
  • D๐‘ง=โˆš4๐‘’๏Žข๏‘ฝ๏Ž ๏Žง๏ƒ, ๏Žข๏Žข๏‘ฝ๏Ž ๏Žงโˆš4๐‘’๏ƒ, ๏Žข๏Žฅ๏‘ฝ๏Ž ๏Žงโˆš4๐‘’๏ƒ
  • E๐‘ง=โˆš4๐‘’๏Žข๏‘ฝ๏Žก๏ƒ, ๏Žขโˆš4๐‘’๏ƒ๏Ž„, ๏Žข๏‘ฝ๏Žกโˆš4๐‘’๏Šฑ๏ƒ

Q25:

ร‰tant donnรฉ ๐‘=5โˆš22โˆ’5โˆš22๐‘–, calcule 1๐‘ sous forme trigonomรฉtrique.

  • A1๐‘=5๏“๏€ป๐œ‹4๏‡+๐‘–๏€ป๐œ‹4๏‡๏Ÿcossin
  • B1๐‘=15๏”๏€ผ3๐œ‹4๏ˆ+๐‘–๏€ผ3๐œ‹4๏ˆ๏ cossin
  • C1๐‘=125๏”๏€ผ5๐œ‹4๏ˆ+๐‘–๏€ผ5๐œ‹4๏ˆ๏ cossin
  • D1๐‘=15๏“๏€ป๐œ‹4๏‡+๐‘–๏€ป๐œ‹4๏‡๏Ÿcossin
  • E1๐‘=125๏“๏€ป๐œ‹4๏‡+๐‘–๏€ป๐œ‹4๏‡๏Ÿcossin

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