Fiche d'activités de la leçon : Somme d’une suite géométrique finie Mathématiques

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déduire la formule pour calculer n'importe quelle série géométrique et comment l'utiliser pour résoudre des problèmes du monde réel.

Q1:

La somme des termes d'une suite est appelée une série.

Une série géométrique est la somme des termes d'une suite géométrique; une série géométrique avec 𝑛 termes peut être écrite 𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟;()𝑎 est le premier terme et 𝑟 est la raison (le nombre qui multiplie un terme pour obtenir le suivant, 𝑟1).

Calcule la somme des 6 premiers termes d'une série géométrique avec 𝑎=24 et 𝑟=12.

  • A812
  • B4714
  • C2314
  • D204
  • E1158

Q2:

Soit une suite géométrique de premier terme 3 et de raison 5. Calcule la somme des 6 premiers termes.

Q3:

Calcule, au centième près, la somme géométrique suivante: 20+20(1,01)+20(1,01)++20(1,01).

Q4:

On peut déterminer une formule pour la somme d'une série géométrique. On considère la série définie par 𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟.

Multiplie l'expression pour 𝑆 par 𝑟, la raison.

  • A𝑟𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟
  • B𝑟𝑆=𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟
  • C𝑟𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟
  • D𝑟𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟
  • E𝑟𝑆=𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟

Nous avons 𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟 et 𝑟𝑆=𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟.

Les membres droits des équations sont très semblables. Identifie les termes qui n'apparaissent pas au membre droit des deux équations.

  • A𝑎𝑟;𝑎𝑟
  • B𝑎;𝑎𝑟
  • C𝑎;𝑎𝑟
  • D𝑎;𝑎𝑟
  • E𝑎𝑟;𝑎𝑟

Maintenant, on considère la soustraction 𝑆𝑟𝑆=𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟+𝑎𝑟++𝑎𝑟.

Utilise la réponse à la partie précédente pour simplifier la soustraction 𝑆𝑟𝑆.

  • A𝑆𝑟𝑆=𝑎𝑟𝑎𝑟
  • B𝑆𝑟𝑆=𝑎𝑎𝑟
  • C𝑆𝑟𝑆=𝑎𝑟𝑎𝑟
  • D𝑆𝑟𝑆=𝑎𝑎𝑟
  • E𝑆𝑟𝑆=𝑎𝑎𝑟

Factorise les deux membres de l'équation.

  • A𝑆(1𝑟)=𝑎𝑟(1𝑟)
  • B𝑆(1𝑟)=𝑎1𝑟
  • C𝑆(1𝑟)=𝑎𝑟𝑟
  • D𝑆(1𝑟)=𝑎1𝑟
  • E𝑆(1𝑟)=𝑎(1𝑟)

Réarrange l'équation pour que 𝑆 soit le sujet de la formule.

  • A𝑆=𝑎𝑟(1𝑟)1𝑟
  • B𝑆=𝑎1𝑟1𝑟
  • C𝑆=𝑎1𝑟1𝑟
  • D𝑆=𝑎𝑟𝑟1𝑟
  • E𝑆=𝑎(1𝑟)1𝑟

Q5:

Soient deux séries géométriques de premier terme 3 et dont la somme des 3 premiers termes est 21.

Quelles sont leurs raisons?

  • A3, 7
  • B2, 3
  • C2, 3
  • D2, 3
  • E3, 7

Écris une expression pour la somme des 𝑛 premiers termes de la suite ayant comme premier terme 3 et comme raison 2.

  • A321
  • B32
  • C2(13)
  • D23
  • E231

Q6:

On considère une suite géométrique de premier terme 𝑎 et de raison 𝑟.

Calcule la somme des 3 premiers termes de la suite géométrique si 𝑎=328 et 𝑟=14.

  • A5332
  • B410
  • C8612
  • D3692

Q7:

Détermine la suite géométrique de premier terme 324, de dernier terme 4, et telle que la somme de tous les termes est égale à 484.

  • A324;972;2916;;4
  • B324;972;2916;;4
  • C324,108,36,,4
  • D324,108,36,,4

Q8:

Détermine le quatrième terme de la suite géométrique pour 𝑆=10242𝑆 est la somme des 𝑛 premiers termes.

Q9:

Détermine les trois premiers termes positifs d’une suite géométrique sachant que leur somme vaut 14 et que la somme de leurs inverses vaut 6332.

  • A32, 38, et 332
  • B23, 16, et 124
  • C32, 6, et 24
  • D23, 83, et 323

Q10:

Détermine, en fonction de 𝑙 et 𝑚, la raison d'une suite géométrique sachant que la somme des dix premiers termes est 24𝑙 et que la somme des dix termes suivants est 91𝑚.

  • A91𝑚24𝑙
  • B91𝑚24𝑙
  • C24𝑙91𝑚
  • D24𝑙91𝑚
  • E24𝑚91𝑙

Q11:

Détermine la suite géométrique et la somme des six premiers termes sachant que le deuxième terme vaut quatre fois le quatrième, que la somme du quatrième et septième termes vaut 2 et que tous les termes sont positifs.

  • A𝑇=1289;649;329;, 𝑆=28
  • B𝑇=136;118;19;, 𝑆=3136
  • C𝑇=2569;1289;649;, 𝑆=56
  • D𝑇=136;118;19;, 𝑆=74
  • E𝑇=1289;649;329;, 𝑆=2489

Q12:

Calcule la somme des 20 premiers termes de la suite géométrique 1;1,07;1,07;1,07; en arrondissant au centième près.

Q13:

Calcule la somme de la série géométrique 322122+16611782.

  • A91891
  • B8722
  • C61594
  • D24911

Q14:

Calcule la somme de la progression géométrique 176+88+44++11.

Q15:

Détermine la suite géométrique et la somme des six premiers termes, sachant que la somme des deuxième et quatrième termes vaut 68, et que la somme des troisième et cinquième termes vaut 272.

  • A𝑢=(256;64;16;), 𝑆=341
  • B𝑢=14;1;4;, 𝑆=13654
  • C𝑢=(1;4;16;), 𝑆=341
  • D𝑢=(1;4;16;), 𝑆=1365
  • E𝑢=(256;64;16;), 𝑆=13654

Q16:

Détermine la somme des 7 premiers termes de la suite géométrique vérifiant 𝑇=8𝑇 et 𝑇+𝑇=64.

  • A13765
  • B1685
  • C3445
  • D13445
  • E1725

Q17:

Détermine le nombre de termes de la suite géométrique définie, pour tout entier naturel n non nul, par 𝑢=96×2 pour lesquels la somme, partant du premier terme, est égale à 93.

Q18:

Dans une suite géométrique, le premier terme est noté 𝑎, la raison 𝑟, et le dernier terme 𝑙.

Calcule la somme de tous les termes de la suite pour 𝑎=1408, 𝑟=12 et 𝑙=88.

Q19:

Détermine la suite géométrique et la somme des sept premiers termes étant donnés 15𝑇6𝑇=9𝑇, 𝑇=9 et tous les termes sont strictement positifs.

  • A𝑇=127;19;13;, 𝑆=109327
  • B𝑇=(288;144;72;), 𝑆=567
  • C𝑇=181;127;19;, 𝑆=109381
  • D𝑇=(288;144;72;), 𝑆=11432
  • E𝑇=127;19;13;, 𝑆=36427

Q20:

Calcule la somme des 6 premiers termes de la série géométrique définie par 12+14+18+116+.

  • A1512
  • B3132
  • C6364
  • D3112

Q21:

Détermine la suite géométrique et la somme des cinq premiers termes sachant que la somme des trois premiers termes vaut 1 et que la somme des trois termes suivants vaut 27.

  • A𝑢=913;313;113;, 𝑆=4039
  • B𝑢=113;313;913;, 𝑆=12113
  • C𝑢=113;313;913;, 𝑆=4013
  • D𝑢=913;313;113;, 𝑆=121117
  • E𝑢=2713;8113;24313;, 𝑆=326713

Q22:

En partant du premier terme de la suite géométrique (23;69;207;), détermine le nombre de termes nécessaires pour obtenir une somme égale à 2‎ ‎783.

Q23:

Calcule la somme des 6 premiers termes de la suite géométrique (405,135,45,).

  • A18203
  • B18256
  • C1603
  • D605

Q24:

Calcule la somme de la suite géométrique (16,32,64,,256).

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