Feuille d'activités : Série géométrique

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déduire la formule pour calculer n'importe quelle série géométrique et comment l'utiliser pour résoudre des problèmes du monde réel.

Q1:

La somme des termes d'une suite est appelée une série.

Une série géométrique est la somme des termes d'une suite géométrique; une série géométrique avec 𝑛 termes peut être écrite 𝑆 = 𝑎 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟 , ( ) 𝑎 est le premier terme et 𝑟 est la raison (le nombre qui multiplie un terme pour obtenir le suivant, 𝑟 1 ).

Calcule la somme des 6 premiers termes d'une série géométrique avec 𝑎 = 2 4 et 𝑟 = 1 2 .

  • A204
  • B 2 3 1 4
  • C 8 1 2
  • D 4 7 1 4
  • E 1 1 5 8

Q2:

Soit une suite géométrique de premier terme 3 et de raison 5. Calcule la somme des 6 premiers termes.

Q3:

Calcule, au centième près, la somme géométrique suivante: 2 0 + 2 0 ( 1 , 0 1 ) + 2 0 ( 1 , 0 1 ) + + 2 0 ( 1 , 0 1 ) .

Q4:

Emilie s'entraîne à la gym. Sur le tapis de course, elle court 250 m pendant la première minute et la distance qu'elle court décroît de 1 0 % chaque minute qui suit.

Quelle distance couvre-t-elle en 10 minutes? Donne ta réponse au mètre près.

Q5:

Une suite géométrique consiste en une liste de termes que l'on peut écrire sous la forme 𝑎 , 𝑎 𝑟 , 𝑎 𝑟 , 𝑎 𝑟 , , 𝑎 est le premier terme et 𝑟 est la raison (le nombre par lequel on multiplie un terme pour passer au terme suivant de la suite, 𝑟 1 ).

Détermine 𝑎 et 𝑟 dans la suite suivante: 2 5 0 , 5 0 , 1 0 , 2 , .

  • A 𝑎 = 2 5 0 , 𝑟 = 5
  • B 𝑎 = 5 0 , 𝑟 = 5
  • C 𝑎 = 5 0 , 𝑟 = 1 0
  • D 𝑎 = 2 5 0 , 𝑟 = 1 5
  • E 𝑎 = 2 0 0 , 𝑟 = 4 5

Q6:

Une suite géométrique est une liste de termes qui peut être écrite sous la forme 𝑎 , 𝑎 𝑟 , 𝑎 𝑟 , 𝑎 𝑟 , , 𝑎 est le premier terme et 𝑟 est la raison (le nombre que tu multiplies par un terme pour obtenir le terme suivant dans la suite, 𝑟 1 ).

Identifie 𝑎 et 𝑟 dans la suite suivante: 4 , 1 2 , 3 6 , 1 0 8 ,

  • A 𝑎 = 3 , 𝑟 = 4
  • B 𝑎 = 4 , 𝑟 = 8
  • C 𝑎 = 8 , 𝑟 = 4
  • D 𝑎 = 4 , 𝑟 = 3
  • E 𝑎 = 2 , 𝑟 = 3

Q7:

On peut déterminer une formule pour la somme d'une série géométrique. On considère la série définie par 𝑆 = 𝑎 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟 .

Multiplie l'expression pour 𝑆 par 𝑟 , la raison.

  • A 𝑟 𝑆 = 𝑎 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟
  • B 𝑟 𝑆 = 𝑎 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟
  • C 𝑟 𝑆 = 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟
  • D 𝑟 𝑆 = 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟
  • E 𝑟 𝑆 = 𝑎 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟

Nous avons 𝑆 = 𝑎 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟 et 𝑟 𝑆 = 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟 .

Les membres droits des équations sont très semblables. Identifie les termes qui n'apparaissent pas au membre droit des deux équations.

  • A 𝑎 , 𝑎 𝑟
  • B 𝑎 , 𝑎 𝑟
  • C 𝑎 𝑟 , 𝑎 𝑟
  • D 𝑎 , 𝑎 𝑟
  • E 𝑎 𝑟 , 𝑎 𝑟

Maintenant, on considère la soustraction 𝑆 𝑟 𝑆 = 𝑎 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + 𝑎 𝑟 + + 𝑎 𝑟 .

Utilise la réponse à la partie précédente pour simplifier la soustraction 𝑆 𝑟 𝑆 .

  • A 𝑆 𝑟 𝑆 = 𝑎 𝑟 𝑎 𝑟
  • B 𝑆 𝑟 𝑆 = 𝑎 𝑎 𝑟
  • C 𝑆 𝑟 𝑆 = 𝑎 𝑎 𝑟
  • D 𝑆 𝑟 𝑆 = 𝑎 𝑟 𝑎 𝑟
  • E 𝑆 𝑟 𝑆 = 𝑎 𝑎 𝑟

Factorise les deux membres de l'équation.

  • A 𝑆 ( 1 𝑟 ) = 𝑎 ( 1 𝑟 )
  • B 𝑆 ( 1 𝑟 ) = 𝑎 𝑟 𝑟
  • C 𝑆 ( 1 𝑟 ) = 𝑎 1 𝑟
  • D 𝑆 ( 1 𝑟 ) = 𝑎 1 𝑟
  • E 𝑆 ( 1 𝑟 ) = 𝑎 𝑟 ( 1 𝑟 )

Réarrange l'équation pour que 𝑆 soit le sujet de la formule.

  • A 𝑆 = 𝑎 1 𝑟 1 𝑟
  • B 𝑆 = 𝑎 𝑟 ( 1 𝑟 ) 1 𝑟
  • C 𝑆 = 𝑎 1 𝑟 1 𝑟
  • D 𝑆 = 𝑎 ( 1 𝑟 ) 1 𝑟
  • E 𝑆 = 𝑎 𝑟 𝑟 1 𝑟

Q8:

Soient deux séries géométriques de premier terme 3 et dont la somme des 3 premiers termes est 21.

Quelles sont leurs raisons?

  • A3, 7
  • B 2 , 3
  • C 2 , 3
  • D2, 3
  • E 3 , 7

Écris une expression pour la somme des 𝑛 premiers termes de la suite ayant comme premier terme 3 et comme raison 2.

  • A 3 2
  • B 3 2 1
  • C 2 ( 1 3 )
  • D 2 3
  • E 2 3 1

Q9:

On considère une suite géométrique de premier terme 𝑎 et de raison 𝑟 .

Calcule la somme des 3 premiers termes de la suite géométrique si 𝑎 = 3 2 8 et 𝑟 = 1 4 .

  • A 3 6 9 2
  • B 5 3 3 2
  • C410
  • D 8 6 1 2

Q10:

Détermine la suite géométrique de premier terme 324, de dernier terme 4, et telle que la somme de tous les termes est égale à 484.

  • A 3 2 4 ; 1 0 8 ; 3 6 ; ; 4
  • B 3 2 4 ; 9 7 2 ; 2 9 1 6 ; ; 4
  • C 3 2 4 ; 9 7 2 ; 2 9 1 6 ; ; 4
  • D 3 2 4 ; 1 0 8 ; 3 6 ; ; 4

Q11:

Lise commence à travailler dans une compagnie avec un salaire de départ de $ 2 8 0 0 0 . Elle reçoit une augmentation salariale de 2 , 5 % après chaque année complète de travail.

Le total que Lise touche au cours de 𝑛 années forme une série géométrique. Quelle est sa raison?

Écris une formule pour 𝑆 , le montant total en dollars que Lise reçoit en 𝑛 années de travail à la compagnie.

  • A 𝑆 = 1 1 2 0 0 0 0 ( 1 , 0 2 5 1 )
  • B 𝑆 = 2 8 0 0 0 ( 1 1 , 0 2 5 )
  • C 𝑆 = 1 1 2 0 0 0 0 ( 1 0 , 9 7 5 )
  • D 𝑆 = 1 8 6 6 7 ( 2 , 5 1 )
  • E 𝑆 = 5 8 9 4 7 ( 1 , 4 7 5 1 )

Après 20 années à la compagnie, Lise démissionne. Utilise ta formule pour calculer le montant total qu'elle y reçoit.

Explique pourquoi le montant réel qu'elle reçoit est différent du montant calculé par la formule.

  • ASi c'est nécessaire, le salaire annuel est arrondi.
  • BLe montant réel a une différente valeur de départ que le montant calculé par la formule.
  • CLe montant réel a un différent pourcentage que le montant calculé par la formule.
  • DElle dépense une partie de l'argent au cours des 20 années.
  • ELa valeur du dollar varie avec le temps.

Q12:

Lorsque Hugo a emménagé dans son appartement, son loyer était de $ 1 3 2 0 0 par an. Chaque année, le propriétaire a augmenté le loyer de 3 % . Hugo vit dans l'appartement depuis 17 ans. En considérant le loyer total payé comme une série géométrique, calcule le montant total du loyer que Hugo a payé au cours des 17 années où il a vécu dans l’appartement. Donne ta réponse au dollar près.

Q13:

Pour calculer le montant sur un compte d’épargne structuré, où un épargnant dépose un montant régulier à intervalles réguliers, nous considérons le dépôt de chaque mois séparément.

Prenons l'exemple d'un épargnant qui effectue un dépôt régulier le dernier jour de chaque mois sur un compte où l'intérêt est calculé le dernier jour de chaque mois.

Soit le dépôt régulier 𝐷 , et le taux d'intérêt mensuel 𝑖 (un taux d'intérêt de 𝑝 % donnera une valeur 𝑖 de 𝑝 1 0 0 ).

Le jour où le dépôt 𝑛 est effectué, le premier dépôt a gagné un intérêt sur ( 𝑛 1 ) mois, donc sa valeur est de 𝐷 ( 1 + 𝑖 ) 𝑛 1 .

De même, le jour où le dépôt 𝑛 est effectué, le deuxième dépôt a gagné un intérêt sur ( 𝑛 2 ) mois, donc sa valeur est 𝐷 ( 1 + 𝑖 ) 𝑛 2 .

La suite continue jusqu'à considéré le dépôt 𝑛 qui ne gagne pas d'intérêt le jour où il est déposé, donc sa valeur est 𝐷 .

Pour calculer le montant total sur le compte, 𝑇 , le jour où le dépôt 𝑛 est effectué, nous avons besoin de calculer la somme des valeurs des dépôts individuels.

En partant du dépôt 𝑛 , nous obtenons

Quel type de série y a-t-il dans le membre de droite de l'équation?

  • AFibonacci
  • Barithmétique
  • Charmonique
  • Dgéométrique

En utilisant la formule pour la somme des 𝑛 termes d'une série géométrique, écris une formule pour 𝑇 , le montant total sur le compte.

  • A 𝑇 = 𝐷 ( 1 + 𝑖 ) 1 𝑖 𝑛
  • B 𝑇 = 𝐷 ( 1 + 𝑖 ) 1 𝑖 𝑛 1
  • C 𝑇 = 𝐷 ( 1 + 𝑖 ) 1 𝑖 + 1 𝑛
  • D 𝑇 = 𝐷 1 𝑖 1 𝑖 𝑛
  • E 𝑇 = 𝐷 1 𝑖 1 𝑖 𝑛 1

Q14:

Anastasia place $ 5 0 chaque mois dans un fonds d’investissement à haute performance. Le fonds garantit le paiement de 6 % d'intérêt annuel, composé mensuellement.

Quelle est la somme garantie pour le compte de Anastasia au bout de 2 années?

Q15:

Loïc économise $ 2 0 chaque mois sur un compte qui offre un intérêt annuel de 4 % composé mensuellement.

Combien y aura-t-il sur le compte de Loïc après 4 années d'épargne régulière? Donne ta réponse au cent près.

Si l'intérêt était composé trimestriellement, combien y aurait-il sur le compte après 4 années?

Q16:

Kenza veut remplacer sa voiture dans 2 ans. Elle décide d'économiser de l'argent tous les mois, et le meilleur compte d'épargne a un taux d'intérêt annuel de 9 % composé mensuellement.

De combien devrait être le paiement mensuel régulier si Kenza cherche à économiser $ 5 0 0 0 pour la voiture? Donne ta réponse au dollar près.

Q17:

Le montant du prêt et le versement mensuel sur le prêt sont liés par la formule suivante 𝐿 = 𝑃 1 ( 1 + 𝑖 ) ) 𝑖 , 𝐿 est le montant du prêt, 𝑃 est le versement mensuel, 𝑖 est le taux d'intérêt mensuel et 𝑛 est le nombre de mois pendant lesquels le prêt sera remboursé.

Un concessionnaire de voitures offre des prêts de 4 ans avec un taux d'intérêt de 0 , 5 % .

Utilise la formule pour calculer le versement mensuel d'une voiture coûtant 2 5 0 0 0 $ , sans acompte.

Q18:

Un triangle équilatéral est de côté 14 cm, où un autre triangle est dessiné à l'intérieur de celui-ci en reliant les milieux de ses côtés. D'autres triangles intérieurs sont dessinés de la même manière que sur la figure. Calcule la somme des périmètres des 6 premiers triangles, à l'unité près.

Q19:

Une balle roule sur un plan horizontal. Elle parcourt 145 cm au cours de la première minute et la distance décroît de 2 5 % chaque minute par la suite. Calcule la distance totale que la balle parcourt jusqu'à ce qu'elle s'arrête.

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