Fiche d'activités de la leçon : Le théorème des gendarmes Mathématiques

Dans cette feuille d'exercices, nous allons utiliser le théorème des gendarmes pour évaluer certaines limites lorsque la valeur d'une fonction est encadrée par celle de deux autres fonctions.

Q1:

Considère l'arc suivant d'un cercle unité, où le rayon [𝑂𝑃) est inclinée de 𝜃 radians.

Quelles sont, en fonction de 𝜃, les coordonnées de 𝑃?

  • A(1;𝜃)cot
  • B(1;𝜃)cos
  • C(1;𝜃)sin
  • D(1;𝜃)tan

Écris les inégalités suivantes en fonction de sin𝜃, 𝜃, et cos𝜃: 𝑄𝑅<𝑇𝑄<𝑇𝑃.longueurdarcdeà

  • Acossincos𝜃<𝜃<𝜃𝜃
  • Bsincot𝜃<𝜃<𝜃
  • Csinsincos𝜃<𝜃<𝜃𝜃
  • Dsincoscos𝜃𝜃<𝜃<𝜃

En divisant tes inégalités par sin𝜃, en utilisant le théorème de comparaison et la propriété limcos𝜃=1, à laquelle des conclusions suivantes peux-tu aboutir?

  • Alimsin𝜃𝜃 n'existe pas.
  • Blimsin𝜃𝜃=0
  • Climsin𝜃𝜃=1

Q2:

Calcule limcos𝑥2𝑥 en utilisant le théorème de comparaison.

Q3:

La figure illustre les courbes représentatives de fonctions 𝐴 et 𝐵 avec 𝐴(𝑥)𝐵(𝑥) pour 𝑥 entre 2 et 3,8.

Que dit le théorème de comparaison sur une fonction continue 𝑓 dont la courbe se situe dans la région ombrée sur l'intervalle ]2;3,8[?

  • Alim𝑓(𝑥)=2
  • Blim𝑓(𝑥)=1
  • Clim𝑓(𝑥)=12
  • Dlim𝑓(𝑥)=3
  • ELa limite n'existe pas.

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