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Feuille d'activités : Formules trigonométriques de duplication et d'angle moitié

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à utiliser l'identité pythagoricienne et les formules de duplication pour évaluer des valeurs trigonométriques.

Q1:

Détermine la valeur de c o s 2 𝐴 sachant que c o s 𝐴 = − 3 5 avec 9 0 < 𝐴 < 1 8 0 ∘ ∘ , sans utiliser de calculatrice.

  • A 2 4 2 5
  • B − 2 4 2 5
  • C 7 2 5
  • D − 7 2 5

Q2:

Calcule c o s 𝐴 2 sachant que s i n 𝐴 2 = 3 5 , sans utiliser de calculatrice.

  • A 3 4
  • B − 4 5
  • C − 3 4
  • D 4 5

Q3:

Détermine, sans utiliser de calculatrice, la valeur de s i n 2 𝜃 sachant que t a n 𝜃 = − 5 1 2 avec 3 𝜋 2 < 𝜃 < 2 𝜋 .

  • A 1 1 9 1 6 9
  • B − 6 0 1 6 9
  • C − 1 1 9 1 6 9
  • D − 1 2 0 1 6 9

Q4:

Détermine, sans calculatrice, la valeur de c o s 𝜃 2 sachant que c o s 𝜃 = 1 5 1 7 et 0 < 𝜃 < 9 0 ∘ ∘ .

  • A 3 √ 1 0 1 0
  • B √ 1 7 1 7
  • C 3 √ 5 5
  • D 4 √ 1 7 1 7

Q5:

Sachant que 5 𝑥 + 1 2 𝑥 = 1 3 s i n c o s , détermine s i n 𝑥 et c o s 𝑥 .

  • A s i n c o s 𝑥 = 1 3 5 , 𝑥 = 1 3 1 2
  • B s i n c o s 𝑥 = 1 2 1 3 , 𝑥 = 5 1 3
  • C s i n c o s 𝑥 = 1 3 1 2 , 𝑥 = 1 3 5
  • D s i n c o s 𝑥 = 5 1 3 , 𝑥 = 1 2 1 3
  • E s i n c o s 𝑥 = − 5 1 3 , 𝑥 = − 1 2 1 3

Q6:

Sachant que 3 𝑥 − 4 𝑥 = 5 s i n c o s , détermine s i n 𝑥 et c o s 𝑥 .

  • A s i n c o s 𝑥 = 3 5 , 𝑥 = 4 5
  • B s i n c o s 𝑥 = − 3 5 , 𝑥 = 4 5
  • C s i n c o s 𝑥 = 5 3 , 𝑥 = − 5 4
  • D s i n c o s 𝑥 = 3 5 , 𝑥 = − 4 5
  • E s i n c o s 𝑥 = − 5 3 , 𝑥 = 5 4

Q7:

Détermine la valeur de s i n 2 𝐴 , sans utiliser de calculatrice, sachant que c o s 𝐴 = − 1 2 1 3 et que 1 8 0 ⩽ 𝐴 < 2 7 0 ∘ ∘ .

  • A 1 0 1 3
  • B 6 0 1 6 9
  • C − 1 2 0 1 6 9
  • D 1 2 0 1 6 9
  • E − 6 0 1 6 9

Q8:

Calcule, sans utiliser de calculatrice, la valeur de s i n 𝜃 2 sachant que t a n 𝜃 = − 1 5 8 , où 3 𝜋 2 < 𝜃 < 2 𝜋 .

  • A 4 √ 1 7 1 7
  • B 5 √ 3 4 3 4
  • C √ 2 6 2 6
  • D 3 √ 3 4 3 4

Q9:

𝐴 𝐵 𝐶 est un triangle où t a n 𝐶 = 8 1 5 . Détermine la valeur de s i n 𝐴 + 𝐵 2 .

  • A 5 √ 3 4
  • B 8 √ 1 7
  • C 8 √ 1 5
  • D 4 √ 1 7

Q10:

On sait que s i n c o s 𝑋 + 𝑋 = − 7 1 3 , avec 𝜋 < 𝑋 < 3 𝜋 2 . Détermine les valeurs possibles de c o s 2 𝑋 .

  • A 1 6 9 1 1 9 ; − 1 6 9 1 1 9
  • B 1 2 0 1 6 9 ; − 1 2 0 1 6 9
  • C 1 6 9 1 2 0 ; − 1 6 9 1 2 0
  • D 1 1 9 1 6 9 ; − 1 1 9 1 6 9

Q11:

Détermine la valeur de 1 + 2 𝜃 1 + 2 𝜃 s i n c o s sachant que t a n 𝜃 = 5 2 6 et 0 < 𝜃 < 𝜋 3 , sans utiliser de calculatrice.

  • A − 9 6 1 1 3 5 2
  • B 1 3 5 2 9 6 1
  • C − 1 3 5 2 9 6 1
  • D 9 6 1 1 3 5 2

Q12:

Calcule la valeur de s i n 4 𝑋 sachant que 2 𝑋 𝑋 − 2 𝑋 𝑋 = 9 2 6 s i n c o s c o s s i n 3 3 .

  • A − 9 1 3
  • B 9 2 6
  • C − 9 2 6
  • D 9 1 3

Q13:

Calcule 1 − 1 + t a n t a n 2 7 𝜋 8 2 7 𝜋 8 sans utiliser de calculatrice.

  • A 1 2
  • B − 1 √ 2
  • C − 1 2
  • D 1 √ 2

Q14:

Simplifie l’expression t a n t a n 3 5 4 4 ′ 1 4 ′ ′ 1 − 3 5 4 4 ′ 1 4 ′ ′ ∘ 2 ∘ .

  • A t a n 2 ∘ 7 1 2 8 ′ 2 8 ′ ′ 2
  • B t a n 3 5 4 4 ′ 1 4 ′ ′ 2 ∘
  • C t a n 7 1 2 8 ′ 2 8 ′ ′ ∘
  • D t a n 7 1 2 8 ′ 2 8 ′ ′ 2 ∘

Q15:

𝐴 𝐵 𝐶 est un triangle tel que le rapport entre les longueurs de ses côtés 𝑎 , 𝑏 et 𝑐 est de 4 ∶ 3 ∶ 5 . Calcule t a n 2 𝐴 .

  • A − 1 2 7
  • B 2 4 7
  • C 2 4 2 5
  • D − 2 4 7
  • E 1 2 7

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