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Feuille d'activités : Angles de direction et cosinus directeur d'un vecteur dans l'espace

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer des angles de direction et des cosinus directeurs pour un vecteur donné dans l'espace.

Q1:

Détermine les cosinus directeurs du vecteur qui se trouve dans le plan à coordonnées 𝑥 𝑧 positives et qui forme un angle de 6 0 ∘ avec l'axe des 𝑧 .

  • A √ 3 2 , 1 2 , 0
  • B 0 , √ 3 2 , 1 2
  • C 1 2 , 0 , √ 3 2
  • D √ 3 2 , 0 , 1 2
  • E 0 , 1 2 , √ 3 2

Q2:

Détermine le vecteur ⃗ 𝑢 de norme 61 et de cosinus directeurs 1 2 , − 1 2 , √ 2 2 .

  • A ⃗ 𝑢 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 6 1 √ 3 2 6 1 √ 3 2 6 1 √ 2 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
  • B ⃗ 𝑢 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 2 − 1 2 √ 2 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
  • C ⃗ 𝑢 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 6 1 √ 3 − 6 1 √ 3 6 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
  • D ⃗ 𝑢 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 6 1 2 − 6 1 2 6 1 √ 2 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
  • E ⃗ 𝑢 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ √ 3 2 √ 3 2 √ 2 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Q3:

Détermine le vecteur 𝑢 de norme 41 et dont les angles directeurs sont ( 1 3 5 , 1 2 0 , 6 0 ) ∘ ∘ ∘ .

  • A ⃗ 𝑢 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 4 1 √ 2 2 4 1 √ 3 2 4 1 √ 3 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
  • B ⃗ 𝑢 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ − √ 2 2 − 1 2 1 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
  • C ⃗ 𝑢 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ − 4 1 − 4 1 √ 3 4 1 √ 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
  • D ⃗ 𝑢 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ − 4 1 √ 2 2 − 4 1 2 4 1 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Q4:

Détermine la forme algébrique d'un vecteur ⃗ 𝑤 si sa norme est 31, et sachant qu'il forme des angles de même mesure avec tous les axes du repère.

  • A ⃗ 𝑤 = ± 3 1 √ 3 ⃗ 𝚤 + ⃗ 𝚥 + ⃗ 𝑘
  • B ⃗ 𝑤 = 1 0 , 3 3 ⃗ 𝚤 + ⃗ 𝚥 + ⃗ 𝑘
  • C ⃗ 𝑤 = ± 3 1 √ 3 3 ⃗ 𝚤 + ⃗ 𝚥 + ⃗ 𝑘

Q5:

Si ⃗ 𝐴 = 9 ⃗ 𝚤 − ⃗ 𝚥 + 6 ⃗ 𝑘 , détermine la mesure de l'angle que ⃗ 𝐴 forme avec l'axe des 𝑥 , à la seconde d'arc près.

  • A 3 2 4 4 ′ 7 ′ ′ ∘
  • B 7 3 9 ′ 3 5 ′ ′ ∘
  • C 5 5 5 6 ′ 4 8 ′ ′ ∘
  • D 3 4 3 ′ 1 2 ′ ′ ∘

Q6:

Détermine le cosinus directeur du vecteur ⃗ 𝑢 = 5 2 8 .

  • A ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 3 1 5 2 1 5 8 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
  • B 1 1 1
  • C 5 2 8
  • D ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 5 √ 9 3 2 √ 9 3 8 √ 9 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Q7:

On suppose que 3 1 ∘ , 6 5 ∘ et 𝜃 sont les angles de direction d'un vecteur. Laquelle des mesures suivantes, au centième près, correspond à 𝜃  ?

  • A 2 6 4 , 0 0 ∘
  • B 8 4 , 0 0 ∘
  • C 8 5 , 0 3 ∘
  • D 7 2 , 8 8 ∘

Q8:

Détermine la mesure des angles de direction du vecteur ⃗ 𝐹 , représenté sur la figure suivante, au dixième de degré près.

  • A 𝜃 = 2 0 , 8 ∘ , 𝜃 = 5 7 , 6 ∘ , 𝜃 = 2 3 , 6 ∘
  • B 𝜃 = 3 2 , 4 ∘ , 𝜃 = 6 9 , 2 ∘ , 𝜃 = 6 6 , 4 ∘
  • C 𝜃 = 1 9 , 6 ∘ , 𝜃 = 4 0 , 2 ∘ , 𝜃 = 2 1 , 8 ∘
  • D 𝜃 = 6 9 , 2 ∘ , 𝜃 = 3 2 , 4 ∘ , 𝜃 = 6 6 , 4 ∘

Q9:

Détermine, à la seconde d'arc près, la mesure de l'angle que forme le vecteur ⃗ 𝐴 = − 9 4 8 avec l'axe des 𝑥 .

  • A 5 0 5 4 ′ 5 0 ′ ′ ∘
  • B 7 1 3 7 ′ 2 8 ′ ′ ∘
  • C 1 3 5 1 0 ′ 4 1 ′ ′ ∘

Q10:

Détermine le vecteur ⃗ 𝑢 de norme 59 et de cosinus directeurs − 1 2 , √ 2 2 , − 1 2 .

  • A ⃗ 𝑢 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 5 9 √ 3 2 5 9 √ 2 2 5 9 √ 3 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
  • B ⃗ 𝑢 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ − 1 2 √ 2 2 − 1 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
  • C ⃗ 𝑢 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ − 5 9 √ 3 5 9 − 5 9 √ 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
  • D ⃗ 𝑢 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ − 5 9 2 5 9 √ 2 2 − 5 9 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
  • E ⃗ 𝑢 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ √ 3 2 √ 2 2 √ 3 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

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