Feuille d'activités : Angles de direction et cosinus directeur d'un vecteur dans l'espace

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer des angles de direction et des cosinus directeurs pour un vecteur donné dans l'espace.

Q1:

DΓ©termine les cosinus directeurs du vecteur qui se trouve dans le plan Γ  coordonnΓ©es π‘₯𝑧 positives et qui forme un angle de 60∘ avec l'axe des 𝑧.

  • Aο€Ώ0,12,√32
  • Bο€Ώ0,√32,12
  • Cο€Ώβˆš32,12,0
  • Dο€Ώβˆš32,0,12
  • Eο€Ώ12,0,√32

Q2:

DΓ©termine le vecteur ⃗𝑒 de norme 61 et de cosinus directeurs ο€Ώ12,βˆ’12,√22.

  • A⃗𝑒=βŽ›βŽœβŽœβŽ61√3βˆ’61√361⎞⎟⎟⎠
  • B⃗𝑒=βŽ›βŽœβŽœβŽœβŽœβŽ12βˆ’12√22⎞⎟⎟⎟⎟⎠
  • C⃗𝑒=βŽ›βŽœβŽœβŽœβŽœβŽœβŽβˆš32√32√22⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
  • D⃗𝑒=βŽ›βŽœβŽœβŽœβŽœβŽ612βˆ’61261√22⎞⎟⎟⎟⎟⎠
  • E⃗𝑒=βŽ›βŽœβŽœβŽœβŽœβŽœβŽ61√3261√3261√22⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

Q3:

Les angles de direction de βƒ—π‘Ž sont 90∘, 97∘ et 165∘. Lequel des plans suivants contient βƒ—π‘Žβ€‰?

  • Aπ‘₯𝑦
  • B𝑦𝑧
  • Cπ‘₯𝑧

Q4:

DΓ©termine le vecteur ⃗𝑒 de norme 41 et dont les angles directeurs sont (135,120,60)∘∘∘.

  • A⃗𝑒=βŽ›βŽœβŽœβŽβˆ’41βˆ’41√341√3⎞⎟⎟⎠
  • B⃗𝑒=βŽ›βŽœβŽœβŽœβŽœβŽœβŽ41√2241√3241√32⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
  • C⃗𝑒=βŽ›βŽœβŽœβŽœβŽœβŽβˆ’41√22βˆ’412412⎞⎟⎟⎟⎟⎠
  • D⃗𝑒=βŽ›βŽœβŽœβŽœβŽœβŽβˆ’βˆš22βˆ’1212⎞⎟⎟⎟⎟⎠

Q5:

DΓ©termine la forme algΓ©brique d'un vecteur ⃗𝑀 si sa norme est 31, et sachant qu'il forme des angles de mΓͺme mesure avec tous les axes du repΓ¨re.

  • A⃗𝑀=Β±31√33ο€»βƒ—πš€+βƒ—πš₯+βƒ—π‘˜ο‡
  • B⃗𝑀=Β±31√3ο€»βƒ—πš€+βƒ—πš₯+βƒ—π‘˜ο‡
  • C⃗𝑀=10,33ο€»βƒ—πš€+βƒ—πš₯+βƒ—π‘˜ο‡

Q6:

Si ⃗𝐴=9βƒ—πš€βˆ’βƒ—πš₯+6βƒ—π‘˜, dΓ©termine la mesure de l'angle que ⃗𝐴 forme avec l'axe des π‘₯, Γ  la seconde d'arc prΓ¨s.

  • A343β€²12β€²β€²βˆ˜
  • B739β€²35β€²β€²βˆ˜
  • C3244β€²7β€²β€²βˆ˜
  • D5556β€²48β€²β€²βˆ˜

Q7:

DΓ©termine le cosinus directeur du vecteur ⃗𝑒=528.

  • A528
  • B111
  • CβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽœβŽœβŽ5√932√938√93⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
  • DβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽ3152158⎞⎟⎟⎟⎠

Q8:

On suppose que 31∘, 65∘ et πœƒ sont les angles de direction d'un vecteur. Laquelle des mesures suivantes, au centiΓ¨me prΓ¨s, correspond Γ  πœƒβ€‰?

  • A85,03∘
  • B84,00∘
  • C72,88∘
  • D264,00∘

Q9:

DΓ©termine la mesure des angles de direction du vecteur ⃗𝐹, reprΓ©sentΓ© sur la figure suivante, au dixiΓ¨me de degrΓ© prΓ¨s.

  • Aπœƒ=69,2ο—βˆ˜, πœƒ=32,4∘, πœƒ=66,4ο™βˆ˜
  • Bπœƒ=32,4ο—βˆ˜, πœƒ=69,2∘, πœƒ=66,4ο™βˆ˜
  • Cπœƒ=19,6ο—βˆ˜, πœƒ=40,2∘, πœƒ=21,8ο™βˆ˜
  • Dπœƒ=20,8ο—βˆ˜, πœƒ=57,6∘, πœƒ=23,6ο™βˆ˜

Q10:

DΓ©termine, Γ  la seconde d'arc prΓ¨s, la mesure de l'angle que forme le vecteur ⃗𝐴=ο€βˆ’948 avec l'axe des π‘₯.

  • A5054β€²50β€²β€²βˆ˜
  • B7137β€²28β€²β€²βˆ˜
  • C13510β€²41β€²β€²βˆ˜

Q11:

DΓ©termine le vecteur ⃗𝑒 de norme 59 et de cosinus directeurs ο€Ώβˆ’12,√22,βˆ’12.

  • A⃗𝑒=βŽ›βŽœβŽœβŽβˆ’59√359βˆ’59√3⎞⎟⎟⎠
  • B⃗𝑒=βŽ›βŽœβŽœβŽœβŽœβŽβˆ’59259√22βˆ’592⎞⎟⎟⎟⎟⎠
  • C⃗𝑒=βŽ›βŽœβŽœβŽœβŽœβŽβˆ’12√22βˆ’12⎞⎟⎟⎟⎟⎠
  • D⃗𝑒=βŽ›βŽœβŽœβŽœβŽœβŽœβŽ59√3259√2259√32⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
  • E⃗𝑒=βŽ›βŽœβŽœβŽœβŽœβŽœβŽβˆš32√22√32⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

Q12:

Les angles de direction de βƒ—π‘Ž sont 67∘, 49∘ et 90∘. Lequel des plans suivants contient βƒ—π‘Žβ€‰?

  • A𝑦𝑧
  • Bπ‘₯𝑦
  • Cπ‘₯𝑧

Q13:

Les angles de direction de βƒ—π‘Ž sont 90∘, 143∘ et 53∘. Lequel des plans suivants contient βƒ—π‘Žβ€‰?

  • Aπ‘₯𝑦
  • B𝑦𝑧
  • Cπ‘₯𝑧

Q14:

La figure donnΓ©e reprΓ©sente un vecteur 𝑂𝐴 de norme 5 unitΓ©s. DΓ©termine la mesure des angles directeurs de 𝑂𝐴 au dixiΓ¨me prΓ¨s.

  • Aπœƒ=50,6ο—βˆ˜, πœƒ=24,2∘, πœƒ=29,0ο™βˆ˜
  • Bπœƒ=37,7ο—βˆ˜, πœƒ=22,3∘, πœƒ=22,3ο™βˆ˜
  • Cπœƒ=39,4ο—βˆ˜, πœƒ=65,8∘, πœƒ=61,0ο™βˆ˜
  • Dπœƒ=65,8ο—βˆ˜, πœƒ=39,4∘, πœƒ=61,0ο™βˆ˜

Q15:

Supposons que ‖‖⃗𝑒‖‖=6 et que ⃗𝑒 a pour cosinus directeurs 23, βˆ’23 et βˆ’13. DΓ©termine βƒ—π‘’βˆ§βƒ—π‘€, oΓΉ ⃗𝑀=ο€βˆ’803.

  • Aβˆ’32βƒ—πš€βˆ’12βƒ—πš₯+4βƒ—π‘˜
  • Bβˆ’12βƒ—πš€+4βƒ—πš₯βˆ’32βƒ—π‘˜
  • Cβˆ’12βƒ—πš€βˆ’4βƒ—πš₯βˆ’32βƒ—π‘˜
  • Dβˆ’12βƒ—πš€+28βƒ—πš₯+32βƒ—π‘˜

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