Feuille d'activités : Angles de direction et cosinus directeur d'un vecteur dans l'espace

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Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer des angles de direction et des cosinus directeurs pour un vecteur donné dans l'espace.

Q1:

DΓ©termine les cosinus directeurs du vecteur qui se trouve dans le plan Γ  coordonnΓ©es π‘₯ 𝑧 positives et qui forme un angle de 6 0 ∘ avec l'axe des 𝑧 .

  • A ο€Ώ √ 3 2 , 1 2 , 0 
  • B ο€Ώ 0 , √ 3 2 , 1 2 
  • C ο€Ώ 1 2 , 0 , √ 3 2 
  • D ο€Ώ √ 3 2 , 0 , 1 2 
  • E ο€Ώ 0 , 1 2 , √ 3 2 

Q2:

DΓ©termine le vecteur βƒ— 𝑒 de norme 61 et de cosinus directeurs ο€Ώ 1 2 , βˆ’ 1 2 , √ 2 2  .

  • A βƒ— 𝑒 = βŽ› ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 6 1 √ 3 2 6 1 √ 3 2 6 1 √ 2 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
  • B βƒ— 𝑒 = βŽ› ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 2 βˆ’ 1 2 √ 2 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
  • C βƒ— 𝑒 = βŽ› ⎜ ⎜ ⎝ 6 1 √ 3 βˆ’ 6 1 √ 3 6 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
  • D βƒ— 𝑒 = βŽ› ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 6 1 2 βˆ’ 6 1 2 6 1 √ 2 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
  • E βƒ— 𝑒 = βŽ› ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ √ 3 2 √ 3 2 √ 2 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Q3:

DΓ©termine le vecteur 𝑒 de norme 41 et dont les angles directeurs sont ( 1 3 5 , 1 2 0 , 6 0 ) ∘ ∘ ∘ .

  • A βƒ— 𝑒 = βŽ› ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 4 1 √ 2 2 4 1 √ 3 2 4 1 √ 3 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
  • B βƒ— 𝑒 = βŽ› ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ βˆ’ √ 2 2 βˆ’ 1 2 1 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
  • C βƒ— 𝑒 = βŽ› ⎜ ⎜ ⎝ βˆ’ 4 1 βˆ’ 4 1 √ 3 4 1 √ 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
  • D βƒ— 𝑒 = βŽ› ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ βˆ’ 4 1 √ 2 2 βˆ’ 4 1 2 4 1 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Q4:

DΓ©termine l'angle formΓ© par les vecteurs  2 1 βˆ’ 1  et  1 0 βˆ’ 1  sur ℝ  .

  • A πœ‹ 2
  • B √ 3 2
  • C0
  • D a r c c o s ο€Ώ √ 3 2 

Q5:

DΓ©termine la forme algΓ©brique d'un vecteur βƒ— 𝑀 si sa norme est 31, et sachant qu'il forme des angles de mΓͺme mesure avec tous les axes du repΓ¨re.

  • A βƒ— 𝑀 = Β± 3 1 √ 3 ο€» βƒ— 𝚀 + βƒ— πš₯ + βƒ— π‘˜ 
  • B βƒ— 𝑀 = 1 0 , 3 3 ο€» βƒ— 𝚀 + βƒ— πš₯ + βƒ— π‘˜ 
  • C βƒ— 𝑀 = Β± 3 1 √ 3 3 ο€» βƒ— 𝚀 + βƒ— πš₯ + βƒ— π‘˜ 

Q6:

Si βƒ— 𝐴 = 9 βƒ— 𝚀 βˆ’ βƒ— πš₯ + 6 βƒ— π‘˜ , dΓ©termine la mesure de l'angle que βƒ— 𝐴 forme avec l'axe des π‘₯ , Γ  la seconde d'arc prΓ¨s.

  • A 3 2 4 4 β€² 7 β€² β€² ∘
  • B 7 3 9 β€² 3 5 β€² β€² ∘
  • C 5 5 5 6 β€² 4 8 β€² β€² ∘
  • D 3 4 3 β€² 1 2 β€² β€² ∘

Q7:

DΓ©termine le cosinus directeur du vecteur βƒ— 𝑒 =  5 2 8  .

  • A βŽ› ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 3 1 5 2 1 5 8 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
  • B  1 1 1 
  • C  5 2 8 
  • D βŽ› ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 5 √ 9 3 2 √ 9 3 8 √ 9 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Q8:

On suppose que 3 1 ∘ , 6 5 ∘ et πœƒ sont les angles de direction d'un vecteur. Laquelle des mesures suivantes, au centiΓ¨me prΓ¨s, correspond Γ  πœƒ  ?

  • A 2 6 4 , 0 0 ∘
  • B 8 4 , 0 0 ∘
  • C 8 5 , 0 3 ∘
  • D 7 2 , 8 8 ∘

Q9:

DΓ©termine la mesure des angles de direction du vecteur βƒ— 𝐹 , reprΓ©sentΓ© sur la figure suivante, au dixiΓ¨me de degrΓ© prΓ¨s.

  • A πœƒ = 2 0 , 8  ∘ , πœƒ = 5 7 , 6  ∘ , πœƒ = 2 3 , 6  ∘
  • B πœƒ = 3 2 , 4  ∘ , πœƒ = 6 9 , 2  ∘ , πœƒ = 6 6 , 4  ∘
  • C πœƒ = 1 9 , 6  ∘ , πœƒ = 4 0 , 2  ∘ , πœƒ = 2 1 , 8  ∘
  • D πœƒ = 6 9 , 2  ∘ , πœƒ = 3 2 , 4  ∘ , πœƒ = 6 6 , 4  ∘

Q10:

DΓ©termine, Γ  la seconde d'arc prΓ¨s, la mesure de l'angle que forme le vecteur βƒ— 𝐴 =  βˆ’ 9 4 8  avec l'axe des π‘₯ .

  • A 5 0 5 4 β€² 5 0 β€² β€² ∘
  • B 7 1 3 7 β€² 2 8 β€² β€² ∘
  • C 1 3 5 1 0 β€² 4 1 β€² β€² ∘

Q11:

DΓ©termine le vecteur βƒ— 𝑒 de norme 59 et de cosinus directeurs ο€Ώ βˆ’ 1 2 , √ 2 2 , βˆ’ 1 2  .

  • A βƒ— 𝑒 = βŽ› ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 5 9 √ 3 2 5 9 √ 2 2 5 9 √ 3 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
  • B βƒ— 𝑒 = βŽ› ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ βˆ’ 1 2 √ 2 2 βˆ’ 1 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
  • C βƒ— 𝑒 = βŽ› ⎜ ⎜ ⎝ βˆ’ 5 9 √ 3 5 9 βˆ’ 5 9 √ 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
  • D βƒ— 𝑒 = βŽ› ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ βˆ’ 5 9 2 5 9 √ 2 2 βˆ’ 5 9 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
  • E βƒ— 𝑒 = βŽ› ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ √ 3 2 √ 2 2 √ 3 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

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