Feuille d'activités : Dérivées directionnelles et le vecteur gradient

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer la dérivée directionnelle et le vecteur gradient de fonctions lisses à 2 ou 3 variables.

Q1:

DΓ©termine la dΓ©rivΓ©e directionnelle de 𝑓(π‘₯,𝑦)=π‘₯+π‘¦βˆ’1 en le point de coordonnΓ©es (1,1) dans la direction de 𝑣=ο€Ώ1√2,1√2.

  • A√2
  • B3√2
  • C4√2
  • D4
  • E2√2

Q2:

DΓ©termine la dΓ©rivΓ©e directionnelle de 𝑓(π‘₯;𝑦)=π‘₯π‘’οŠ¨ο˜ en le point de coordonnΓ©es (1;1) et dirigΓ©e par le vecteur 𝑣=ο€Ύ1√2;1√2.

  • A2π‘’βˆš2
  • B2√2𝑒
  • C2π‘’βˆš2
  • D3π‘’βˆš2
  • E3π‘’βˆš2

Q3:

DΓ©termine la dΓ©rivΓ©e directionnelle de la fonction dΓ©finie par 𝑓(π‘₯,𝑦,𝑧)=π‘₯π‘’οŠ¨ο˜ο™ en le point de coordonnΓ©es (1,1,1), et dans la direction du vecteur 𝑣=βŽ›βŽœβŽœβŽœβŽœβŽœβŽ1√31√31√3⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠.

  • A4𝑒
  • B4π‘’βˆš3
  • Cπ‘’βˆš3
  • D3π‘’βˆš3
  • E2π‘’βˆš3

Q4:

DΓ©termine la dΓ©rivΓ©e directionnelle de la fonction dΓ©finie par 𝑓(π‘₯,𝑦)=1π‘₯+π‘¦οŠ¨οŠ¨ en le point de coordonnΓ©es (1,1), et le long de la direction du vecteur 𝑣=ο€Ώ1√2,1√2.

  • A√2
  • B√22
  • Cβˆ’βˆš22
  • Dβˆ’βˆš2
  • Eβˆ’3√22

Q5:

Calcule le gradient de la fonction dΓ©finie par 𝑓(π‘₯,𝑦)=√π‘₯+𝑦+4.

  • AβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽπ‘₯√π‘₯+𝑦+4π‘¦βˆšπ‘₯+𝑦+4⎞⎟⎟⎟⎠
  • Bπ‘₯√π‘₯+𝑦+4π‘¦βˆšπ‘₯+𝑦+4
  • CβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽ2π‘₯√π‘₯+𝑦+42π‘¦βˆšπ‘₯+𝑦+4⎞⎟⎟⎟⎠
  • DβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽ2π‘¦βˆšπ‘₯+𝑦+42π‘₯√π‘₯+𝑦+4⎞⎟⎟⎟⎠
  • EβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽπ‘¦βˆšπ‘₯+𝑦+4π‘₯√π‘₯+𝑦+4⎞⎟⎟⎟⎠

Q6:

DΓ©termine le gradient de la fonction donnΓ©e par 𝑓(π‘₯,𝑦)=π‘₯+π‘¦βˆ’1.

  • Aο€»π‘₯𝑦
  • Bο€½2π‘¦βˆ’12π‘₯βˆ’1
  • Cο€½2π‘₯βˆ’12π‘¦βˆ’1
  • Dο€½2𝑦2π‘₯
  • Eο€½2π‘₯2𝑦

Q7:

DΓ©termine le gradient de la fonction dΓ©finie par 𝑓(π‘₯,𝑦)=π‘₯𝑦.ln

  • Aο€½1π‘₯𝑦,1π‘₯𝑦
  • B(π‘₯,𝑦)lnln
  • C(π‘₯,𝑦)
  • Dο€½1𝑦,1π‘₯
  • Eο€½1π‘₯,1𝑦

Q8:

DΓ©termine le gradient de la fonction donnΓ©e par 𝑓(π‘₯,𝑦)=1π‘₯+π‘¦οŠ¨οŠ¨.

  • AβŽ›βŽœβŽœβŽ2π‘₯(π‘₯+𝑦)2𝑦(π‘₯+𝑦)⎞⎟⎟⎠
  • BβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽβˆ’2π‘₯(π‘₯+𝑦)βˆ’2𝑦(π‘₯+𝑦)⎞⎟⎟⎟⎠
  • CβŽ›βŽœβŽœβŽβˆ’π‘₯(π‘₯+𝑦)βˆ’π‘¦(π‘₯+𝑦)⎞⎟⎟⎠
  • DβŽ›βŽœβŽœβŽβˆ’2π‘₯(π‘₯+𝑦)2𝑦(π‘₯+𝑦)⎞⎟⎟⎠
  • EβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽ2π‘₯(π‘₯+𝑦)βˆ’2𝑦(π‘₯+𝑦)⎞⎟⎟⎟⎠

Q9:

DΓ©termine le gradient de la fonction dΓ©finie par 𝑓(π‘₯,𝑦,𝑧)=π‘₯+𝑦+𝑧.

  • A2π‘₯2𝑧2𝑦
  • B2𝑦2π‘₯2𝑧
  • C222
  • Dο€Ώπ‘₯𝑦𝑧
  • E2π‘₯2𝑦2𝑧

Q10:

DΓ©termine le gradient de la fonction donnΓ©e par 𝑓(π‘₯,𝑦,𝑧)=π‘₯𝑒.οŠ¨ο˜ο™

  • Aπ‘₯𝑧𝑒2π‘₯𝑒π‘₯π‘¦π‘’οοŠ¨ο˜ο™ο˜ο™οŠ¨ο˜ο™
  • Bπ‘₯𝑦𝑒π‘₯𝑧𝑒2π‘₯π‘’οοŠ¨ο˜ο™οŠ¨ο˜ο™ο˜ο™
  • Cπ‘₯𝑧𝑒π‘₯𝑦𝑒2π‘₯π‘’οοŠ¨ο˜ο™οŠ¨ο˜ο™ο˜ο™
  • D2π‘₯𝑒π‘₯𝑧𝑒π‘₯π‘¦π‘’οο˜ο™οŠ¨ο˜ο™οŠ¨ο˜ο™
  • E2π‘¦π‘’π‘¦π‘§π‘’π‘¦π‘’οο—ο™οŠ¨ο—ο™οŠ¨ο—ο™

Q11:

DΓ©termine le gradient pour la fonction donnΓ©e par 𝑓(π‘₯,𝑦,𝑧)=π‘₯𝑦𝑧.sin

  • A𝑦𝑧π‘₯𝑦𝑧π‘₯𝑧π‘₯𝑦𝑧π‘₯𝑦π‘₯𝑦𝑧coscoscos
  • B𝑦𝑧π‘₯𝑧π‘₯π‘¦οŒ
  • Cπ‘₯𝑧𝑦𝑧π‘₯π‘¦οŒ
  • D𝑦𝑧π‘₯𝑦𝑧π‘₯𝑦π‘₯𝑦𝑧π‘₯𝑧π‘₯𝑦𝑧coscoscos
  • Eπ‘₯𝑧π‘₯𝑦𝑧𝑦𝑧π‘₯𝑦𝑧π‘₯𝑦π‘₯𝑦𝑧coscoscos

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