Feuille d'activités : Dérivées directionnelles et le vecteur gradient

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer la dérivée directionnelle et le vecteur gradient de fonctions lisses à 2 ou 3 variables.

Q1:

DΓ©termine la dΓ©rivΓ©e directionnelle de 𝑓(π‘₯,𝑦)=π‘₯+π‘¦βˆ’1 en le point de coordonnΓ©es (1;1) dans la direction de 𝑣=ο€Ώ1√2;1√2.

  • A 2 √ 2
  • B4
  • C 4 √ 2
  • D 3 √ 2
  • E √ 2

Q2:

DΓ©termine la dΓ©rivΓ©e directionnelle de 𝑓(π‘₯,𝑦)=π‘₯π‘’οŠ¨ο˜ en le point de coordonnΓ©es (1,1) et dirigΓ©e par le vecteur 𝑣=βŽ›βŽœβŽœβŽœβŽ1√21√2⎞⎟⎟⎟⎠.

  • A 3 𝑒 √ 2
  • B 2 √ 2 𝑒
  • C 3 𝑒 √ 2 
  • D 2 𝑒 √ 2
  • E 2 𝑒 √ 2 

Q3:

DΓ©termine la dΓ©rivΓ©e directionnelle de la fonction dΓ©finie par 𝑓(π‘₯,𝑦,𝑧)=π‘₯π‘’οŠ¨ο˜ο™ en le point de coordonnΓ©es (1,1,1), et dans la direction du vecteur 𝑣=βŽ›βŽœβŽœβŽœβŽœβŽœβŽ1√31√31√3⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠.

  • A 4 𝑒
  • B 4 𝑒 √ 3
  • C 𝑒 √ 3
  • D 3 𝑒 √ 3
  • E 2 𝑒 √ 3

Q4:

DΓ©termine la dΓ©rivΓ©e directionnelle de la fonction dΓ©finie par 𝑓(π‘₯;𝑦)=1π‘₯+π‘¦οŠ¨οŠ¨ en le point de coordonnΓ©es (1;1), et le long de la direction du vecteur 𝑣=ο€Ώ1√2;1√2.

  • A √ 2 2
  • B βˆ’ 3 √ 2 2
  • C βˆ’ √ 2 2
  • D βˆ’ √ 2
  • E √ 2

Q5:

Calcule le gradient de la fonction dΓ©finie par 𝑓(π‘₯,𝑦)=√π‘₯+𝑦+4.

  • A ο€Ώ 2 π‘₯ √ π‘₯ + 𝑦 + 4 , 2 𝑦 √ π‘₯ + 𝑦 + 4     
  • B ο€Ώ 𝑦 √ π‘₯ + 𝑦 + 4 , π‘₯ √ π‘₯ + 𝑦 + 4     
  • C ο€Ώ π‘₯ √ π‘₯ + 𝑦 + 4 , 𝑦 √ π‘₯ + 𝑦 + 4     
  • D ο€» π‘₯ √ π‘₯ + 𝑦 + 4 , 𝑦 √ π‘₯ + 𝑦 + 4     
  • E ο€Ώ 2 𝑦 √ π‘₯ + 𝑦 + 4 , 2 π‘₯ √ π‘₯ + 𝑦 + 4     

Q6:

DΓ©termine le gradient de la fonction donnΓ©e par 𝑓(π‘₯,𝑦)=π‘₯+π‘¦βˆ’1.

  • A ( 2 𝑦 βˆ’ 1 , 2 π‘₯ βˆ’ 1 )
  • B ( 2 π‘₯ βˆ’ 1 , 2 𝑦 βˆ’ 1 )
  • C ( π‘₯ , 𝑦 )
  • D ( 2 π‘₯ , 2 𝑦 )
  • E ( 2 𝑦 , 2 π‘₯ )

Q7:

DΓ©termine le gradient de la fonction dΓ©finie par 𝑓(π‘₯,𝑦)=π‘₯𝑦.ln

  • A ο€½ 1 π‘₯ 𝑦 , 1 π‘₯ 𝑦 
  • B ( π‘₯ , 𝑦 ) l n l n
  • C ( π‘₯ , 𝑦 )
  • D ο€½ 1 𝑦 , 1 π‘₯ 
  • E ο€½ 1 π‘₯ , 1 𝑦 

Q8:

DΓ©termine le gradient de la fonction donnΓ©e par 𝑓(π‘₯,𝑦)=1π‘₯+π‘¦οŠ¨οŠ¨.

  • A βŽ› ⎜ ⎜ ⎝ 2 π‘₯ ( π‘₯ + 𝑦 ) 2 𝑦 ( π‘₯ + 𝑦 ) ⎞ ⎟ ⎟ ⎠    
  • B βŽ› ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ βˆ’ 2 π‘₯ ( π‘₯ + 𝑦 ) βˆ’ 2 𝑦 ( π‘₯ + 𝑦 ) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠      
  • C βŽ› ⎜ ⎜ ⎝ βˆ’ π‘₯ ( π‘₯ + 𝑦 ) βˆ’ 𝑦 ( π‘₯ + 𝑦 ) ⎞ ⎟ ⎟ ⎠      
  • D βŽ› ⎜ ⎜ ⎝ βˆ’ 2 π‘₯ ( π‘₯ + 𝑦 ) 2 𝑦 ( π‘₯ + 𝑦 ) ⎞ ⎟ ⎟ ⎠    
  • E βŽ› ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 π‘₯ ( π‘₯ + 𝑦 ) βˆ’ 2 𝑦 ( π‘₯ + 𝑦 ) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠      

Q9:

DΓ©termine le gradient de la fonction dΓ©finie par 𝑓(π‘₯,𝑦,𝑧)=π‘₯+𝑦+𝑧.

  • A ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 )
  • B ( 2 π‘₯ , 2 𝑧 , 2 𝑦 )
  • C ( 2 , 2 , 2 )
  • D ( 2 𝑦 , 2 π‘₯ , 2 𝑧 )
  • E ( 2 π‘₯ , 2 𝑦 , 2 𝑧 )

Q10:

DΓ©termine le gradient de la fonction donnΓ©e par 𝑓(π‘₯,𝑦,𝑧)=π‘₯𝑒.οŠ¨ο˜ο™

  • A  π‘₯ 𝑧 𝑒 2 π‘₯ 𝑒 π‘₯ 𝑦 𝑒         
  • B  π‘₯ 𝑦 𝑒 π‘₯ 𝑧 𝑒 2 π‘₯ 𝑒         
  • C  π‘₯ 𝑧 𝑒 π‘₯ 𝑦 𝑒 2 π‘₯ 𝑒         
  • D  2 π‘₯ 𝑒 π‘₯ 𝑧 𝑒 π‘₯ 𝑦 𝑒         
  • E  2 𝑦 𝑒 𝑦 𝑧 𝑒 𝑦 𝑒         

Q11:

DΓ©termine le gradient pour la fonction donnΓ©e par 𝑓(π‘₯,𝑦,𝑧)=π‘₯𝑦𝑧.sin

  • A  𝑦 𝑧 π‘₯ 𝑦 𝑧 π‘₯ 𝑧 π‘₯ 𝑦 𝑧 π‘₯ 𝑦 π‘₯ 𝑦 𝑧  c o s c o s c o s
  • B  𝑦 𝑧 π‘₯ 𝑧 π‘₯ 𝑦 
  • C  π‘₯ 𝑧 𝑦 𝑧 π‘₯ 𝑦 
  • D  𝑦 𝑧 π‘₯ 𝑦 𝑧 π‘₯ 𝑦 π‘₯ 𝑦 𝑧 π‘₯ 𝑧 π‘₯ 𝑦 𝑧  c o s c o s c o s
  • E  π‘₯ 𝑧 π‘₯ 𝑦 𝑧 𝑦 𝑧 π‘₯ 𝑦 𝑧 π‘₯ 𝑦 π‘₯ 𝑦 𝑧  c o s c o s c o s

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