Feuille d'activités de la leçon : Équation d'une droite dans l'espace : représentation paramétrique Mathématiques

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer les équations paramétriques d'une droite dans l'espace.

Question 1

Détermine les équations paramétriques de la droite définie par 3𝑥79=8𝑦34=86𝑧9.

  • A𝑥=733𝑡, 𝑦=38+12𝑡, 𝑧=43+32𝑡
  • B𝑥=73+3𝑡, 𝑦=3812𝑡, 𝑧=4332𝑡
  • C𝑥=3713𝑡, 𝑦=83+2𝑡, 𝑧=34+23𝑡
  • D𝑥=3+73𝑡, 𝑦=12+38𝑡, 𝑧=3243𝑡

Question 2

Détermine l'équation paramétrique de la droite passant par le point de coordonnées (2;4;4) et de vecteur directeur (1;1;5).

  • A𝑥=2+𝑡, 𝑦=4𝑡, 𝑧=4+5𝑡
  • B𝑥=4+5𝑡, 𝑦=4𝑡, 𝑧=2+𝑡
  • C𝑥=1+2𝑡, 𝑦=14𝑡, 𝑧=5+4𝑡
  • D𝑥=3𝑡, 𝑦=5𝑡, 𝑧=9𝑡

Question 3

Détermine les équations paramétriques de la droite passant par les points de coordonnées (3,3,4) et (5,2,4).

  • A𝑥=5+2𝑡, 𝑦=2𝑡, 𝑧=48𝑡
  • B𝑥=5+3𝑡, 𝑦=2+3𝑡, 𝑧=4+4𝑡
  • C𝑥=3+5𝑡, 𝑦=3+2𝑡, 𝑧=44𝑡
  • D𝑥=5+8𝑡, 𝑦=2+5𝑡, 𝑧=4

Question 4

un cube de côté 3 est placé avec un sommet à l'origine et trois côtés le long des axes positifs. Trouve les équations paramétriques de la diagonale principale à partir de l'origine.

  • A𝑥=3, 𝑦=3, 𝑧=3
  • B𝑥=3+𝑡, 𝑦=3+𝑡, 𝑧=3+𝑡
  • C𝑥=1+3𝑡, 𝑦=1+3𝑡, 𝑧=1+3𝑡
  • D𝑥=3𝑡, 𝑦=3𝑡, 𝑧=3𝑡

Question 5

Donne l'équation paramétrique de la droite passant par l'origine et de vecteur directeur (5;1;4).

  • A𝑥=5𝑡, 𝑦=𝑡, 𝑧=4𝑡
  • B𝑥=5, 𝑦=1, 𝑧=4
  • C𝑥=4𝑡, 𝑦=𝑡, 𝑧=5𝑡
  • D𝑥=𝑡, 𝑦=4𝑡, 𝑧=5𝑡

Question 6

Détermine, au centième près, la longueur de la projection du vecteur passant par les points de coordonnées (10;4;6) et (4;5;9) à la droite d'équation 𝑟=(4;6;0)+𝑡(10;2;10).

Question 7

Lequel des choix suivants représente l’équation paramétrique d’une droite 𝐿 qui passe par le point 𝑃=(1;2;3) et qui coupe la droite d'équation 𝑥+22=𝑦+13=𝑧11?

  • A𝑥=13𝑡,𝑦=1+3𝑡,𝑧=32𝑡
  • B𝑥=1+3𝑡,𝑦=23𝑡,𝑧=1+2𝑡
  • C𝑥=13𝑡,𝑦=23𝑡,𝑧=32𝑡
  • D𝑥=23𝑡,𝑦=1+3𝑡,𝑧=1+2𝑡
  • E𝑥=1+3𝑡,𝑦=23𝑡,𝑧=32𝑡

Question 8

Si le point 𝐴 est le milieu des points (1;0;3) et (7;4;1), et que le point 𝐵 est le milieu des points (2;3;6) et (4;1;0), alors lequel des choix suivants correspond à l'équation paramétrique de 𝐴𝐵?

  • A𝑥=4+7𝑡,𝑦=23𝑡,𝑧=14𝑡
  • B𝑥=4𝑡,𝑦=2𝑡,𝑧=14𝑡
  • C𝑥=4𝑡,𝑦=23𝑡,𝑧=1+2𝑡
  • D𝑥=4+7𝑡,𝑦=23𝑡,𝑧=1+2𝑡
  • E𝑥=4+7𝑡,𝑦=2𝑡,𝑧=1+2𝑡

Question 9

Lequel des choix suivants représente l’équation paramétrique d’une droite 𝐿 passant par les deux droites d'équations 𝑥+13=𝑦24=𝑧32 et 𝑥+25=𝑦41=𝑧+23?

  • A𝑥=1𝑡,𝑦=2+2𝑡,𝑧=3𝑡
  • B𝑥=1𝑡,𝑦=26𝑡,𝑧=35𝑡
  • C𝑥=1𝑡,𝑦=2+2𝑡,𝑧=35𝑡
  • D𝑥=1𝑡,𝑦=26𝑡,𝑧=53𝑡
  • E𝑥=1𝑡,𝑦=2+2𝑡,𝑧=3𝑡

Question 10

Écris les équations paramétriques d'une droite 𝐿 passant par le point 𝑝=(3;3;1) et le milieu des points 𝑝=(1;1;1) et 𝑝=(3;5;5).

  • A𝑥=3𝑡,𝑦=3𝑡,𝑧=1+2𝑡
  • B𝑥=32𝑡,𝑦=3𝑡,𝑧=1+4𝑡
  • C𝑥=32𝑡,𝑦=3𝑡,𝑧=1+2𝑡
  • D𝑥=3𝑡,𝑦=3𝑡,𝑧=1+4𝑡
  • E𝑥=2+3𝑡,𝑦=3𝑡,𝑧=1+4𝑡

Question 11

Détermine les équations paramétriques de la droite passant par l'origine et coupant la droite d'équation 𝑥32=𝑦21=𝑧14.

  • A𝑥=3𝑡,𝑦=2𝑡,𝑧=1𝑡
  • B𝑥=33𝑡,𝑦=2𝑡,𝑧=𝑡
  • C𝑥=33𝑡,𝑦=2𝑡,𝑧=𝑡
  • D𝑥=3+3𝑡,𝑦=2𝑡,𝑧=1𝑡
  • E𝑥=3𝑡,𝑦=2𝑡,𝑧=𝑡

Question 12

Les points 𝐴(1;2;3),𝐵(2;4;4) et 𝐶(6;4;8) forment un triangle. Détermine l'équation paramétrique de la médiane issue de 𝐴.

  • A𝑥=1+𝑡,𝑦=2+2𝑡,𝑧=3+3𝑡
  • B𝑥=22𝑡,𝑦=4+2𝑡,𝑧=3+3𝑡
  • C𝑥=1+𝑡,𝑦=4+2𝑡,𝑧=3+3𝑡
  • D𝑥=22𝑡,𝑦=2+2𝑡,𝑧=3+2𝑡
  • E𝑥=1𝑡,𝑦=2+2𝑡,𝑧=3+2𝑡

Question 13

Détermine la forme vectorielle de la droite d'équation 𝑥=24𝑡,𝑦=12𝑡,𝑧=76𝑡.

  • A𝑟=(4;2;6)+𝑡(2;1;7)
  • B𝑟=(2;7;1)+𝑡(4;2;6)
  • C𝑟=(2;1;7)+𝑡(4;2;6)
  • D𝑟=(2;1;7)+𝑡(4;6;2)
  • E𝑟=(2;7;1)+𝑡(4;2;6)

Question 14

Lequel des choix suivants représente l’équation paramétrique de la droite passant par l’origine et le centre d’une sphère où 𝐴(6;5;7) et 𝐵(2;1;3) sont les extrémités d’un des diamètres de la sphère?

  • A𝑥=2𝑡,𝑦=3𝑡,𝑧=2𝑡
  • B𝑥=4𝑡,𝑦=3𝑡,𝑧=5𝑡
  • C𝑥=6𝑡,𝑦=3𝑡,𝑧=5𝑡
  • D𝑥=6𝑡,𝑦=33𝑡,𝑧=5𝑡
  • E𝑥=4𝑡,𝑦=33𝑡,𝑧=2𝑡

Question 15

Détermine l'équation paramétrique de la droite qui passe par l'origine et qui a le même vecteur directeur que la droite d'équation 𝑟=(1;3;4)+𝑡(2;4;2).

  • A𝑥=2𝑡,𝑦=4𝑡,𝑧=2𝑡
  • B𝑥=1+2𝑡,𝑦=4𝑡,𝑧=4𝑡
  • C𝑥=𝑡,𝑦=4𝑡,𝑧=2𝑡
  • D𝑥=2𝑡,𝑦=3𝑡,𝑧=4𝑡
  • E𝑥=1+2𝑡,𝑦=3𝑡,𝑧=2𝑡

Question 16

Étant donnée une sphère d’équation (𝑥5)+(𝑦5)+(𝑧4)=53, détermine l'équation paramétrique de la droite passant par l'origine et le centre de la sphère.

  • A𝑥=5𝑡,𝑦=5𝑡,𝑧=4𝑡
  • B𝑥=5+5𝑡,𝑦=5𝑡,𝑧=4𝑡
  • C𝑥=55𝑡,𝑦=5𝑡,𝑧=4𝑡
  • D𝑥=55𝑡,𝑦=5𝑡,𝑧=4𝑡
  • E𝑥=5𝑡,𝑦=5𝑡,𝑧=4𝑡

Question 17

On cosidère une sphère d’équation 𝑥6𝑥+𝑦16𝑦+𝑧2𝑧+44=0, détermine l’équation paramétrique du diamètre 𝐴𝐵, à l'aide du point 𝐴(4;3;1).

  • A𝑥=3+𝑡,𝑦=1613𝑡,𝑧=12𝑡
  • B𝑥=62𝑡,𝑦=1613𝑡,𝑧=23𝑡
  • C𝑥=3+𝑡,𝑦=85𝑡,𝑧=12𝑡
  • D𝑥=62𝑡,𝑦=85𝑡,𝑧=12𝑡
  • E𝑥=3+7𝑡,𝑦=85𝑡,𝑧=23𝑡

Question 18

La figure suivante montre un prisme rectangulaire, où les coordonnées de 𝐶 et 𝐹 sont respectivement (6;0;7) et (0;5;7).

Lequel des choix suivants représente l'équation paramétrique de 𝐶𝐸?

  • A𝑥=6𝑡,𝑦=5𝑡,𝑧=7𝑡
  • B𝑥=66𝑡,𝑦=55𝑡,𝑧=7𝑡
  • C𝑥=6𝑡,𝑦=55𝑡,𝑧=77𝑡
  • D𝑥=66𝑡,𝑦=5𝑡,𝑧=77𝑡
  • E𝑥=66𝑡,𝑦=5𝑡,𝑧=7𝑡

Lequel des choix suivants représente l'équation paramétrique de 𝐷𝐹?

  • A𝑥=6𝑡,𝑦=5𝑡,𝑧=7𝑡
  • B𝑥=6𝑡,𝑦=55𝑡,𝑧=7𝑡
  • C𝑥=66𝑡,𝑦=5𝑡,𝑧=7𝑡
  • D𝑥=66𝑡,𝑦=55𝑡,𝑧=77𝑡
  • E𝑥=6𝑡,𝑦=5𝑡,𝑧=77𝑡

Question 19

Détermine l'équation cartésienne de la droite d'équation 𝑥=3+2𝑡,𝑦=1+𝑡,𝑧=35𝑡.

  • A𝑥32=𝑦+11=𝑧+35
  • B𝑥23=𝑦11=𝑧+35
  • C𝑥+32=𝑦+11=𝑧35
  • D𝑥+32=𝑦+11=𝑧+35
  • E𝑥32=𝑦11=𝑧35

Question 20

La figure ci-dessous est un cube de volume 27 unités cubiques. Détermine l’équation paramétrique de 𝐺𝐵.

  • A𝑥=3𝑡,𝑦=3𝑡,𝑧=3+3𝑡
  • B𝑥=33𝑡,𝑦=3𝑡,𝑧=3𝑡
  • C𝑥=3𝑡,𝑦=3𝑡,𝑧=33𝑡
  • D𝑥=33𝑡,𝑦=3𝑡,𝑧=3𝑡
  • E𝑥=3𝑡,𝑦=3𝑡,𝑧=3+3𝑡

Question 21

Détermine l'équation paramétrique de la droite qui passe par le milieu des points 𝑝=(1;2;3) et 𝑝=(3;6;5), et qui a pour vecteur directeur (1;2;5).

  • A𝑥=2𝑡,𝑦=2+2𝑡,𝑧=1+5𝑡
  • B𝑥=1𝑡,𝑦=2+2𝑡,𝑧=1+5𝑡
  • C𝑥=2𝑡,𝑦=4+2𝑡,𝑧=1+5𝑡
  • D𝑥=1𝑡,𝑦=4+2𝑡,𝑧=1+5𝑡
  • E𝑥=2𝑡,𝑦=4+2𝑡,𝑧=1+5𝑡

Question 22

La droite d'équation 𝑥25=𝑦27=𝑧110 croise la sphère d'équation 𝑥+𝑦+𝑧18𝑥+8𝑦+14𝑧+28=0. Détermine la longueur du segment formé par les deux points d'intersection de la droite et de la sphère. Donne ta réponse au centième près.

Question 23

La figure suivante montre une pyramide régulière à base carrée. L'aire de sa base vaut 225, et sa hauteur vaut 17. Lequel des choix suivants est la représentation paramétrique de 𝐵𝐷?

  • A𝑥=157,5𝑡,𝑦=157,5𝑡,𝑧=17𝑡
  • B𝑥=157,5𝑡,𝑦=1515𝑡,𝑧=17𝑡
  • C𝑥=7,57,5𝑡,𝑦=7,57,5𝑡,𝑧=17𝑡
  • D𝑥=1515𝑡,𝑦=1515𝑡,𝑧=1717𝑡
  • E𝑥=157,5𝑡,𝑦=7,57,5𝑡,𝑧=1717𝑡

Question 24

La figure montre un cube de côté 6. Le point 𝑀 est le milieu de 𝐴𝐵. Lequel des choix suivants est la représentation paramétrique de 𝑂𝑀?

  • A𝑥=66𝑡,𝑦=66𝑡,𝑧=3𝑡
  • B𝑥=6𝑡,𝑦=3𝑡,𝑧=3𝑡
  • C𝑥=6𝑡,𝑦=6𝑡,𝑧=3𝑡
  • D𝑥=6𝑡,𝑦=66𝑡,𝑧=33𝑡
  • E𝑥=3𝑡,𝑦=3𝑡,𝑧=6𝑡

Question 25

La figure suivante montre une pyramide régulière à base rectangulaire, où les coordonnées de 𝐴 et 𝐶 sont respectivement (0;20;0) et (14;0;0), et sa hauteur vaut 19. Lequel des choix suivants est la représentation paramétrique de 𝑂𝐷?

  • A𝑥=7𝑡,𝑦=20𝑡,𝑧=19𝑡
  • B𝑥=77𝑡,𝑦=1010𝑡,𝑧=19𝑡
  • C𝑥=7𝑡,𝑦=1010𝑡,𝑧=1919𝑡
  • D𝑥=14𝑡,𝑦=20𝑡,𝑧=19𝑡
  • E𝑥=7𝑡,𝑦=10𝑡,𝑧=19𝑡

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