Feuille d'activités de la leçon : Équation d'une droite dans l'espace : représentation paramétrique Mathématiques

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer les équations paramétriques d'une droite dans l'espace.

Question 1

Détermine les équations paramétriques de la droite définie par 3𝑥−7−9=8𝑦−34=−8−6𝑧−9.

  • A𝑥=73−3𝑡, 𝑦=38+12𝑡, 𝑧=−43+32𝑡
  • B𝑥=−73+3𝑡, 𝑦=−38−12𝑡, 𝑧=43−32𝑡
  • C𝑥=37−13𝑡, 𝑦=83+2𝑡, 𝑧=−34+23𝑡
  • D𝑥=−3+73𝑡, 𝑦=12+38𝑡, 𝑧=32−43𝑡

Question 2

Détermine l'équation paramétrique de la droite passant par le point de coordonnées (2;−4;4) et de vecteur directeur (1;−1;5).

  • A𝑥=2+𝑡, 𝑦=−4−𝑡, 𝑧=4+5𝑡
  • B𝑥=4+5𝑡, 𝑦=−4−𝑡, 𝑧=2+𝑡
  • C𝑥=1+2𝑡, 𝑦=−1−4𝑡, 𝑧=5+4𝑡
  • D𝑥=3𝑡, 𝑦=−5𝑡, 𝑧=9𝑡

Question 3

Détermine les équations paramétriques de la droite passant par les points de coordonnées (3,3,4) et (5,2,−4).

  • A𝑥=5+2𝑡, 𝑦=2−𝑡, 𝑧=−4−8𝑡
  • B𝑥=5+3𝑡, 𝑦=2+3𝑡, 𝑧=−4+4𝑡
  • C𝑥=3+5𝑡, 𝑦=3+2𝑡, 𝑧=4−4𝑡
  • D𝑥=5+8𝑡, 𝑦=2+5𝑡, 𝑧=−4

Question 4

un cube de côté 3 est placé avec un sommet à l'origine et trois côtés le long des axes positifs. Trouve les équations paramétriques de la diagonale principale à partir de l'origine.

  • A𝑥=3, 𝑦=3, 𝑧=3
  • B𝑥=3+𝑡, 𝑦=3+𝑡, 𝑧=3+𝑡
  • C𝑥=1+3𝑡, 𝑦=1+3𝑡, 𝑧=1+3𝑡
  • D𝑥=3𝑡, 𝑦=3𝑡, 𝑧=3𝑡

Question 5

Donne l'équation paramétrique de la droite passant par l'origine et de vecteur directeur (5;−1;4).

  • A𝑥=5𝑡, 𝑦=−𝑡, 𝑧=4𝑡
  • B𝑥=5, 𝑦=−1, 𝑧=4
  • C𝑥=4𝑡, 𝑦=−𝑡, 𝑧=5𝑡
  • D𝑥=−𝑡, 𝑦=4𝑡, 𝑧=5𝑡

Question 6

Détermine, au centième près, la longueur de la projection du vecteur passant par les points de coordonnées (−10;−4;6) et (−4;5;9) à la droite d'équation ⃑𝑟=(4;6;0)+𝑡(−10;2;−10).

Question 7

Lequel des choix suivants représente l’équation paramétrique d’une droite 𝐿 qui passe par le point 𝑃=(1;2;3) et qui coupe la droite d'équation 𝑥+2−2=𝑦+13=𝑧−1−1 ?

  • A𝑥=1−3𝑡,𝑦=−1+3𝑡,𝑧=3−2𝑡
  • B𝑥=1+3𝑡,𝑦=−2−3𝑡,𝑧=1+2𝑡
  • C𝑥=1−3𝑡,𝑦=2−3𝑡,𝑧=3−2𝑡
  • D𝑥=−2−3𝑡,𝑦=−1+3𝑡,𝑧=1+2𝑡
  • E𝑥=1+3𝑡,𝑦=2−3𝑡,𝑧=3−2𝑡

Question 8

Si le point 𝐴 est le milieu des points (1;0;3) et (7;4;−1), et que le point 𝐵 est le milieu des points (2;−3;6) et (4;1;0), alors lequel des choix suivants correspond à l'équation paramétrique de ⃖⃗𝐴𝐵 ?

  • A𝑥=−4+7𝑡,𝑦=2−3𝑡,𝑧=1−4𝑡
  • B𝑥=4−𝑡,𝑦=2−𝑡,𝑧=1−4𝑡
  • C𝑥=4−𝑡,𝑦=2−3𝑡,𝑧=1+2𝑡
  • D𝑥=4+7𝑡,𝑦=2−3𝑡,𝑧=1+2𝑡
  • E𝑥=4+7𝑡,𝑦=2−𝑡,𝑧=1+2𝑡

Question 9

Lequel des choix suivants représente l’équation paramétrique d’une droite 𝐿 passant par les deux droites d'équations 𝑥+13=𝑦−24=𝑧−3−2 et 𝑥+25=𝑦−41=𝑧+23 ?

  • A𝑥=−1−𝑡,𝑦=2+2𝑡,𝑧=3−𝑡
  • B𝑥=−1−𝑡,𝑦=2−6𝑡,𝑧=3−5𝑡
  • C𝑥=−1−𝑡,𝑦=2+2𝑡,𝑧=3−5𝑡
  • D𝑥=1−𝑡,𝑦=2−6𝑡,𝑧=5−3𝑡
  • E𝑥=1−𝑡,𝑦=2+2𝑡,𝑧=3−𝑡

Question 10

Écris les équations paramétriques d'une droite 𝐿 passant par le point 𝑝=(3;3;−1) et le milieu des points 𝑝=(1;−1;1) et 𝑝=(3;5;5).

  • A𝑥=3−𝑡,𝑦=3−𝑡,𝑧=−1+2𝑡
  • B𝑥=3−2𝑡,𝑦=3−𝑡,𝑧=−1+4𝑡
  • C𝑥=3−2𝑡,𝑦=3−𝑡,𝑧=−1+2𝑡
  • D𝑥=3−𝑡,𝑦=3−𝑡,𝑧=−1+4𝑡
  • E𝑥=−2+3𝑡,𝑦=3−𝑡,𝑧=−1+4𝑡

Question 11

Détermine les équations paramétriques de la droite passant par l'origine et coupant la droite d'équation 𝑥−32=𝑦−21=𝑧−14.

  • A𝑥=3𝑡,𝑦=−2𝑡,𝑧=1−𝑡
  • B𝑥=3−3𝑡,𝑦=−2𝑡,𝑧=𝑡
  • C𝑥=3−3𝑡,𝑦=2𝑡,𝑧=𝑡
  • D𝑥=−3+3𝑡,𝑦=2𝑡,𝑧=1−𝑡
  • E𝑥=3𝑡,𝑦=2𝑡,𝑧=𝑡

Question 12

Les points 𝐴(1;2;3),𝐵(−2;4;4) et 𝐶(6;4;8) forment un triangle. Détermine l'équation paramétrique de la médiane issue de 𝐴.

  • A𝑥=1+𝑡,𝑦=2+2𝑡,𝑧=3+3𝑡
  • B𝑥=2−2𝑡,𝑦=4+2𝑡,𝑧=3+3𝑡
  • C𝑥=1+𝑡,𝑦=4+2𝑡,𝑧=3+3𝑡
  • D𝑥=2−2𝑡,𝑦=2+2𝑡,𝑧=3+2𝑡
  • E𝑥=1−𝑡,𝑦=2+2𝑡,𝑧=3+2𝑡

Question 13

Détermine la forme vectorielle de la droite d'équation 𝑥=2−4𝑡,𝑦=1−2𝑡,𝑧=7−6𝑡.

  • A⃑𝑟=(−4;−2;−6)+𝑡(2;1;7)
  • B⃑𝑟=(2;7;1)+𝑡(4;−2;6)
  • C⃑𝑟=(2;1;7)+𝑡(−4;−2;−6)
  • D⃑𝑟=(2;1;7)+𝑡(−4;−6;2)
  • E⃑𝑟=(2;7;1)+𝑡(−4;−2;−6)

Question 14

Lequel des choix suivants représente l’équation paramétrique de la droite passant par l’origine et le centre d’une sphère où 𝐴(6;5;7) et 𝐵(2;1;3) sont les extrémités d’un des diamètres de la sphère ?

  • A𝑥=2𝑡,𝑦=3𝑡,𝑧=2𝑡
  • B𝑥=4𝑡,𝑦=3𝑡,𝑧=5𝑡
  • C𝑥=6𝑡,𝑦=3𝑡,𝑧=5𝑡
  • D𝑥=6𝑡,𝑦=3−3𝑡,𝑧=5𝑡
  • E𝑥=4𝑡,𝑦=3−3𝑡,𝑧=2𝑡

Question 15

Détermine l'équation paramétrique de la droite qui passe par l'origine et qui a le même vecteur directeur que la droite d'équation ⃑𝑟=(1;−3;−4)+𝑡(2;4;−2).

  • A𝑥=2𝑡,𝑦=4𝑡,𝑧=−2𝑡
  • B𝑥=1+2𝑡,𝑦=4𝑡,𝑧=−4𝑡
  • C𝑥=𝑡,𝑦=4𝑡,𝑧=−2𝑡
  • D𝑥=2𝑡,𝑦=−3𝑡,𝑧=−4𝑡
  • E𝑥=1+2𝑡,𝑦=−3𝑡,𝑧=−2𝑡

Question 16

Étant donnée une sphère d’équation (𝑥−5)+(𝑦−5)+(𝑧−4)=53, détermine l'équation paramétrique de la droite passant par l'origine et le centre de la sphère.

  • A𝑥=5𝑡,𝑦=−5𝑡,𝑧=−4𝑡
  • B𝑥=5+5𝑡,𝑦=−5𝑡,𝑧=4𝑡
  • C𝑥=5−5𝑡,𝑦=−5𝑡,𝑧=4𝑡
  • D𝑥=5−5𝑡,𝑦=5𝑡,𝑧=−4𝑡
  • E𝑥=5𝑡,𝑦=5𝑡,𝑧=4𝑡

Question 17

On cosidère une sphère d’équation 𝑥−6𝑥+𝑦−16𝑦+𝑧−2𝑧+44=0, détermine l’équation paramétrique du diamètre 𝐴𝐵, à l'aide du point 𝐴(4;3;−1).

  • A𝑥=3+𝑡,𝑦=16−13𝑡,𝑧=1−2𝑡
  • B𝑥=6−2𝑡,𝑦=16−13𝑡,𝑧=2−3𝑡
  • C𝑥=3+𝑡,𝑦=8−5𝑡,𝑧=1−2𝑡
  • D𝑥=6−2𝑡,𝑦=8−5𝑡,𝑧=1−2𝑡
  • E𝑥=−3+7𝑡,𝑦=8−5𝑡,𝑧=2−3𝑡

Question 18

La figure suivante montre un prisme rectangulaire, où les coordonnées de 𝐶 et 𝐹 sont respectivement (6;0;7) et (0;5;7).

Lequel des choix suivants représente l'équation paramétrique de ⃖⃗𝐶𝐸 ?

  • A𝑥=6𝑡,𝑦=5𝑡,𝑧=7𝑡
  • B𝑥=6−6𝑡,𝑦=5−5𝑡,𝑧=7𝑡
  • C𝑥=6𝑡,𝑦=5−5𝑡,𝑧=7−7𝑡
  • D𝑥=6−6𝑡,𝑦=5𝑡,𝑧=7−7𝑡
  • E𝑥=6−6𝑡,𝑦=5𝑡,𝑧=7𝑡

Lequel des choix suivants représente l'équation paramétrique de ⃖⃗𝐷𝐹 ?

  • A𝑥=−6𝑡,𝑦=5𝑡,𝑧=7𝑡
  • B𝑥=6𝑡,𝑦=5−5𝑡,𝑧=7𝑡
  • C𝑥=6−6𝑡,𝑦=5𝑡,𝑧=7𝑡
  • D𝑥=6−6𝑡,𝑦=5−5𝑡,𝑧=7−7𝑡
  • E𝑥=6𝑡,𝑦=5𝑡,𝑧=7−7𝑡

Question 19

Détermine l'équation cartésienne de la droite d'équation 𝑥=3+2𝑡,𝑦=1+𝑡,𝑧=3−5𝑡.

  • A𝑥−32=𝑦+11=𝑧+3−5
  • B𝑥−23=𝑦−11=𝑧+3−5
  • C𝑥+32=𝑦+11=𝑧−3−5
  • D𝑥+32=𝑦+11=𝑧+3−5
  • E𝑥−32=𝑦−11=𝑧−3−5

Question 20

La figure ci-dessous est un cube de volume 27 unités cubiques. Détermine l’équation paramétrique de ⃖⃗𝐺𝐵.

  • A𝑥=3𝑡,𝑦=3𝑡,𝑧=3+3𝑡
  • B𝑥=3−3𝑡,𝑦=−3𝑡,𝑧=3𝑡
  • C𝑥=3𝑡,𝑦=3𝑡,𝑧=3−3𝑡
  • D𝑥=3−3𝑡,𝑦=3𝑡,𝑧=3𝑡
  • E𝑥=3𝑡,𝑦=−3𝑡,𝑧=3+3𝑡

Question 21

Détermine l'équation paramétrique de la droite qui passe par le milieu des points 𝑝=(1;2;3) et 𝑝=(3;6;−5), et qui a pour vecteur directeur (−1;2;5).

  • A𝑥=2−𝑡,𝑦=2+2𝑡,𝑧=1+5𝑡
  • B𝑥=1−𝑡,𝑦=2+2𝑡,𝑧=−1+5𝑡
  • C𝑥=−2−𝑡,𝑦=4+2𝑡,𝑧=−1+5𝑡
  • D𝑥=1−𝑡,𝑦=4+2𝑡,𝑧=1+5𝑡
  • E𝑥=2−𝑡,𝑦=4+2𝑡,𝑧=−1+5𝑡

Question 22

La droite d'équation 𝑥−2−5=𝑦−2−7=𝑧−1−10 croise la sphère d'équation 𝑥+𝑦+𝑧−18𝑥+8𝑦+14𝑧+28=0. Détermine la longueur du segment formé par les deux points d'intersection de la droite et de la sphère. Donne ta réponse au centième près.

Question 23

La figure suivante montre une pyramide régulière à base carrée. L'aire de sa base vaut 225, et sa hauteur vaut 17. Lequel des choix suivants est la représentation paramétrique de ⃖⃗𝐵𝐷 ?

  • A𝑥=15−7,5𝑡,𝑦=15−7,5𝑡,𝑧=17𝑡
  • B𝑥=15−7,5𝑡,𝑦=15−15𝑡,𝑧=17𝑡
  • C𝑥=7,5−7,5𝑡,𝑦=7,5−7,5𝑡,𝑧=17𝑡
  • D𝑥=15−15𝑡,𝑦=15−15𝑡,𝑧=17−17𝑡
  • E𝑥=15−7,5𝑡,𝑦=7,5−7,5𝑡,𝑧=17−17𝑡

Question 24

La figure montre un cube de côté 6. Le point 𝑀 est le milieu de 𝐴𝐵. Lequel des choix suivants est la représentation paramétrique de ⃖⃗𝑂𝑀 ?

  • A𝑥=6−6𝑡,𝑦=6−6𝑡,𝑧=3𝑡
  • B𝑥=6𝑡,𝑦=3𝑡,𝑧=3𝑡
  • C𝑥=6𝑡,𝑦=6𝑡,𝑧=3𝑡
  • D𝑥=6𝑡,𝑦=6−6𝑡,𝑧=3−3𝑡
  • E𝑥=3𝑡,𝑦=3𝑡,𝑧=6𝑡

Question 25

La figure suivante montre une pyramide régulière à base rectangulaire, où les coordonnées de 𝐴 et 𝐶 sont respectivement (0;20;0) et (14;0;0), et sa hauteur vaut 19. Lequel des choix suivants est la représentation paramétrique de ⃖⃗𝑂𝐷 ?

  • A𝑥=7𝑡,𝑦=20𝑡,𝑧=19𝑡
  • B𝑥=7−7𝑡,𝑦=10−10𝑡,𝑧=19𝑡
  • C𝑥=7𝑡,𝑦=10−10𝑡,𝑧=19−19𝑡
  • D𝑥=14𝑡,𝑦=20𝑡,𝑧=19𝑡
  • E𝑥=7𝑡,𝑦=10𝑡,𝑧=19𝑡

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