Feuille d'activités : Equations paramétriques d'une droite dans l'espace

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Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer les équations paramétriques d'une droite dans l'espace.

Q1:

Écris sous forme paramétrique l’équation de la droite 𝐿 passant par les points 𝑃=(4,1,5) et 𝑃=(−2,1,3).

  • A𝑥=4−6𝑡, 𝑦=1, 𝑧=5−2𝑡, pour −∞<𝑡<+∞
  • B𝑥=4+2𝑡, 𝑦=1+𝑡, 𝑧=5+3𝑡, pour −∞<𝑡<+∞
  • C𝑥=−2+6𝑡, 𝑦=1+𝑡, 𝑧=3+2𝑡, pour −∞<𝑡<+∞
  • D𝑥=−2−6𝑡, 𝑦=1, 𝑧=3−2𝑡, pour −∞<𝑡<+∞
  • E𝑥=6+4𝑡, 𝑦=1, 𝑧=5+2𝑡, pour −∞<𝑡<+∞

Q2:

Détermine quel système, parmi les suivants, est celui des équations paramétriques de la droite passant par le point 𝐴(−8,8) dans la direction perpendiculaire au vecteur ⃗𝑢=−67.

  • A𝑥=−8+7𝑡, 𝑦=8+6𝑡
  • B𝑥=−8+8𝑡, 𝑦=−6+7𝑡
  • C𝑥=−8−6𝑡, 𝑦=8+7𝑡
  • D𝑥=−8+7𝑡, 𝑦=8−6𝑡

Q3:

Détermine les équations paramétriques de la droite définie par 3𝑥−7−9=8𝑦−34=−8−6𝑧−9.

  • A𝑥=73−3𝑡, 𝑦=38+12𝑡, 𝑧=−43+32𝑡
  • B𝑥=−73+3𝑡, 𝑦=−38−12𝑡, 𝑧=43−32𝑡
  • C𝑥=37−13𝑡, 𝑦=83+2𝑡, 𝑧=−34+23𝑡
  • D𝑥=−3+73𝑡, 𝑦=12+38𝑡, 𝑧=32−43𝑡

Q4:

Détermine l'équation paramétrique de la droite passant par le point de coordonnées (2,−4,4) et de vecteur directeur (1,−1,5).

  • A𝑥=2+𝑡, 𝑦=−4−𝑡, 𝑧=4+5𝑡
  • B𝑥=4+5𝑡, 𝑦=−4−𝑡, 𝑧=2+𝑡
  • C𝑥=1+2𝑡, 𝑦=−1−4𝑡, 𝑧=5+4𝑡
  • D𝑥=3𝑡, 𝑦=−5𝑡, 𝑧=9𝑡

Q5:

Détermine les équations paramétriques de la droite passant par les points de coordonnées (3,3,4) et (5,2,−4).

  • A𝑥=5+2𝑡, 𝑦=2−𝑡, 𝑧=−4−8𝑡
  • B𝑥=5+3𝑡, 𝑦=2+3𝑡, 𝑧=−4+4𝑡
  • C𝑥=3+5𝑡, 𝑦=3+2𝑡, 𝑧=4−4𝑡
  • D𝑥=5+8𝑡, 𝑦=2+5𝑡, 𝑧=−4

Q6:

Détermine quel système, parmi les suivants, est celui des équations paramétriques de la droite passant par le point 𝐴(7,−8) dans la direction perpendiculaire au vecteur ⃗𝑢=−104.

  • A𝑥=7−8𝑡, 𝑦=−10+4𝑡
  • B𝑥=7−10𝑡, 𝑦=−8+4𝑡
  • C𝑥=7+4𝑡, 𝑦=−8−10𝑡
  • D𝑥=7+4𝑡, 𝑦=−8+10𝑡

Q7:

Détermine quel système, parmi les suivants, est celui des équations paramétriques de la droite passant par le point 𝐴(−1,−5) dans la direction perpendiculaire au vecteur ⃗𝑢=−2−1.

  • A𝑥=−1−2𝑡, 𝑦=−5−𝑡
  • B𝑥=−1−𝑡, 𝑦=−5−2𝑡
  • C𝑥=−1−𝑡, 𝑦=−5+2𝑡
  • D𝑥=−1−5𝑡, 𝑦=−2−𝑡

Q8:

Détermine quel système, parmi les suivants, est celui des équations paramétriques de la droite passant par le point 𝐴(−9,−10) dans la direction perpendiculaire au vecteur ⃗𝑢=2−3.

  • A𝑥=−9−3𝑡, 𝑦=−10+2𝑡
  • B𝑥=−9+2𝑡, 𝑦=−10−3𝑡
  • C𝑥=−9−3𝑡, 𝑦=−10−2𝑡
  • D𝑥=−9−10𝑡, 𝑦=2−3𝑡

Q9:

Détermine quel système, parmi les suivants, est celui des équations paramétriques de la droite passant par le point 𝐴(−6,−3) dans la direction perpendiculaire au vecteur ⃗𝑢=610.

  • A𝑥=−6+10𝑡, 𝑦=−3−6𝑡
  • B𝑥=−6−3𝑡, 𝑦=6+10𝑡
  • C𝑥=−6+6𝑡, 𝑦=−3+10𝑡
  • D𝑥=−6+10𝑡, 𝑦=−3+6𝑡

Q10:

Détermine quel système, parmi les suivants, est celui des équations paramétriques de la droite passant par le point 𝐴(−5,7) dans la direction perpendiculaire au vecteur ⃗𝑢=82.

  • A𝑥=−5+7𝑡, 𝑦=8+2𝑡
  • B𝑥=−5+2𝑡, 𝑦=7+8𝑡
  • C𝑥=−5+8𝑡, 𝑦=7+2𝑡
  • D𝑥=−5+2𝑡, 𝑦=7−8𝑡

Q11:

Détermine quel système, parmi les suivants, est celui des équations paramétriques de la droite passant par le point 𝐴(7,−10) dans la direction perpendiculaire au vecteur ⃗𝑢=6−1.

  • A𝑥=7+6𝑡, 𝑦=−10−𝑡
  • B𝑥=7−𝑡, 𝑦=−10+6𝑡
  • C𝑥=7−𝑡, 𝑦=−10−6𝑡
  • D𝑥=7−10𝑡, 𝑦=6−𝑡

Q12:

Détermine quel système, parmi les suivants, est celui des équations paramétriques de la droite passant par le point 𝐴(8,9) dans la direction perpendiculaire au vecteur ⃗𝑢=−6−1.

  • A𝑥=8−𝑡, 𝑦=9−6𝑡
  • B𝑥=8−𝑡, 𝑦=9+6𝑡
  • C𝑥=8+9𝑡, 𝑦=−6−𝑡
  • D𝑥=8−6𝑡, 𝑦=9−𝑡

Q13:

Détermine le point d’intersection des droites 𝐿𝑥=7+3𝑡,𝑦=−4−3𝑡,𝑧=−7−5𝑡: et 𝐿𝑥=1+6𝑡,𝑦=2+𝑡,𝑧=3−2𝑡:.

  • A(7,−4,−7)
  • B(6,1,−2)
  • C(7,3,7)
  • D(3,−3,−5)
  • E(1,2,3)

Q14:

Détermine le point d’intersection des droites d’équations 𝑥−64=𝑦+3=𝑧 et 𝑥−113=𝑦−14−6=𝑧+92.

  • A−4,−112,−52
  • B834,−112,−52
  • C(11,14,−9)
  • DIl n’y a pas de point d’intersection.
  • E(6,3,0)

Q15:

Lequel des points suivants se situe sur la droite d'équation ⃗𝑟=321+𝑡2−1−5 ?

  • A(1,−3,0)
  • B(−3,5,16)
  • C(−1,−2,4)
  • D(2,0,3)

Q16:

La droite d'équation 𝑥−2−5=𝑦−2−7=𝑧−1−10 croise la sphère d'équation 𝑥+𝑦+𝑧−18𝑥+8𝑦+14𝑧+28=0. Détermine la longueur du segment formé par les deux points d'intersection de la droite et de la sphère. Donne ta réponse au centième près.

Q17:

un cube de côté 3 est placé avec un sommet à l'origine et trois côtés le long des axes positifs. Trouve les équations paramétriques de la diagonale principale à partir de l'origine.

  • A𝑥=3, 𝑦=3, 𝑧=3
  • B𝑥=3+𝑡, 𝑦=3+𝑡, 𝑧=3+𝑡
  • C𝑥=1+3𝑡, 𝑦=1+3𝑡, 𝑧=1+3𝑡
  • D𝑥=3𝑡, 𝑦=3𝑡, 𝑧=3𝑡

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