Feuille d'activités : Extrema locaux et points critiques

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer des extrema locaux en utilisant le théorème de la dérivée première.

Q1:

Détermine les extrema locaux de 𝑓(𝑥)=2𝑥+3𝑥+12𝑥.

  • Amaximum local 7 en 𝑥=1, minimum local 20 en 𝑥=2
  • Bmaximum local 20 en 𝑥=2, minimum local 7 en 𝑥=1
  • Cmaximum local 13 en 𝑥=1, minimum local 4 en 𝑥=2
  • Dmaximum local 8 en 𝑥=2, minimum local 17 en 𝑥=20
  • Emaximum local 4 en 𝑥=2, minimum local 13 en 𝑥=1

Q2:

Détermine les points critiques de 𝑦=8𝑥 sur l'intervalle [2;1].

  • A(0,0), (1,8)
  • B(0,0)
  • C(0,0), (1,24)
  • D(2,64), (1,8)
  • E(2,64)

Q3:

Détermine en quelles abscisses 𝑥 la fonction définie par 𝑓(𝑥)=(𝑥+4) admet un extremum local.

  • ALa fonction admet un minimum local en 𝑥=4.
  • BLa fonction admet un maximum local en 𝑥=4.
  • CLa fonction admet un minimum local en 𝑥=4.
  • DLa fonction n’admet pas d’extremum local.

Q4:

Détermine les extrema locaux de 𝑓(𝑥)=2𝑥9𝑥12𝑥15, ainsi que les abscisses en lesquelles ils sont atteints.

  • ALe maximum local vaut 38 et est atteint en 𝑥=1. Il n’y a pas de minimum.
  • BLe maximum local vaut 10 et est atteint en 𝑥=1. Le minimum local vaut 11 et est atteint en 𝑥=2.
  • CLe minimum local vaut 15 et est atteint en 𝑥=0. Il n’y a pas de maximum.
  • DLe minimum local vaut 2 et est atteint en 𝑥=14. Le maximum local vaut 15 et est atteint en 𝑥=29.

Q5:

Détermine les extrema locaux de 𝑦=𝑥1𝑥+8.

  • Amaximum local=6, minimum local=10
  • Bmaximum local=6
  • Cminimum local=10
  • Dminimum local=6
  • Eminimum local=6, maximum local=10

Q6:

Détermine le maximum local et le minimum local de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥15𝑥15𝑥+1, s'ils existent.

  • Aminimum local =15, pas de maximum local
  • Bmaximum local =29, pas de minimum local
  • Cmaximum local =19, minimum local =15
  • Dminimum local =15, maximum local =15

Q7:

Détermine les extrema locaux de la courbe d’équation 𝑦=9𝑥|𝑥3|.

  • AIl n’y a pas d’extremum local.
  • Blocal minimum value =814, local maximum value =0
  • Clocal maximum value =814, local minimum value =0

Q8:

On sait que la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥+𝐿𝑥+𝑀 admet un minimum égal à 2 en 𝑥=1. Détermine les valeurs de 𝐿 et 𝑀.

  • A𝐿=4, 𝑀=3
  • B𝐿=2, 𝑀=3
  • C𝐿=1, 𝑀=2
  • D𝐿=2, 𝑀=1

Q9:

Détermine les points critiques de la fonction 𝑓(𝑥)=𝑥+6𝑥𝑥0,𝑥4𝑥𝑥>0,sisi sur l'intervalle [7;7].

  • A(7,49), (4,32), (0,0), (2,4), (7,21)
  • B(7,63), (4,0), (0,0), (2,0), (7,10)
  • C(4,0), (0,0), (2,0)
  • D(7,63), (0,0), (7,21)

Q10:

Détermine les points critiques de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥(𝑥1).

  • ALa fonction a des points critiques en 𝑥=0, 𝑥=25 et 𝑥=1.
  • BLa fonction a des points critiques en 𝑥=0, 𝑥=1 et 𝑥=13.
  • CLa fonction n'admet pas de point critique.
  • DLa fonction a des points critiques en 𝑥=0, 𝑥=25 et 𝑥=1.
  • ELa fonction a des points critiques en 𝑥=0, 𝑥=1 et 𝑥=13.

Q11:

Détermine, s'ils existent, les points (𝑥,𝑦)𝑦=𝑥4𝑥+2 a un maximum local ou un minimum local.

  • A(4,6)est un minimum local.
  • B(0,2)est un maximum local.
  • C(0,2)est un maximum local et (4,6)est un minimum local.
  • D(0,2)est un minimum local.
  • E(0,2)est un minimum local et (4,6)est un maximum local.

Q12:

Détermine les extrema locaux de 𝑓(𝑥)=3𝑥42𝑥+3, s'ils existent.

  • Ale maximum local est 1130, atteint en 𝑥=32
  • Ble minimum local est 1130, atteint en 𝑥=32
  • Cle maximum local est 43, atteint en 𝑥=0
  • Dle minimum local est 43, atteint en 𝑥=0
  • Ele minimum local est 2435, atteint en 𝑥=23

Q13:

Détermine, s'ils existent, le maximum local et le minimum local de 𝑓(𝑥)=𝑥8𝑥ln, ainsi que leur nature. Donne tes réponses au centième près.

  • ALa fonction n'a pas de maximum local ni de minimum local
  • B𝑓(2)=1,55, minimum local
  • C𝑓(2)=1,55, minimum local
  • D𝑓(2)=1,55, maximum local
  • E𝑓(2)=1,55, maximum local

Q14:

Détermine l’abscisse 𝑥 en laquelle la fonction définie par 𝑓(𝑥)=6𝑥 admet un point critique.

Q15:

Détermine (si possible) les extrema de 𝑓(𝑥)=3𝑒2𝑒+3.

  • Amaximum local 3𝑒2𝑒+3 en 𝑥=19
  • Bmaximum local 3 en 𝑥=0
  • Cminimum local 3 en 𝑥=0
  • Dminimum local 3𝑒2𝑒+3 en 𝑥=19
  • EIl n'y a pas d'extremum.

Q16:

Détermine le point où la fonction définie par 𝑓(𝑥)=3𝑥𝑒 a un maximum local, et indique la valeur en ce point.

  • A𝑥=12,34𝑒.
  • B𝑥=2,12𝑒.
  • C𝑥=23,43𝑒.
  • D𝑥=12,3𝑒4.
  • E𝑥=2,12𝑒.

Q17:

Détermine le maximum local et le minimum local de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=32𝑥+3ln.

  • Aminimum local 33ln en 𝑥=0
  • Bmaximum local ln3 en 𝑥=0
  • Cminimum local 2ln en 𝑥=12
  • Dmaximum local 33ln en 𝑥=0
  • Emaximum local 2ln en 𝑥=12

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