Fiche d'activités de la leçon : Formule de Moivre Mathématiques

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à utiliser la formule de Moivre pour obtenir des identités trigonométriques.

Q1:

Utilise la formule de Moivre pour dΓ©terminer la valeur exacte de ο„Έπœƒπœƒ.ο‘½οŽ‘οŠ¦οŠ­sind

  • Aβˆ’1635
  • B102435
  • C51235
  • D1635
  • Eβˆ’102435

Q2:

Laquelle des expressions suivantes est Γ©quivalente Γ  cos3πœƒβ€‰?

  • AcoscossinοŠ©οŠ¨πœƒ+3πœƒπœƒ
  • BcoscossinοŠ©οŠ¨πœƒβˆ’3πœƒπœƒ
  • CcoscossinοŠ©οŠ¨πœƒ+3πœƒπœƒ
  • D1βˆ’πœƒsin
  • EcoscossinοŠ©οŠ¨πœƒβˆ’3πœƒπœƒ

Q3:

Utilise la formule de Moivre pour dΓ©terminer la valeur exacte de ο„Έπœƒπœƒο‘½οŽ‘οŠ¦οŠ«cosd.

  • A0
  • B815
  • C5
  • D158
  • E1

Q4:

Exprime sincosοŠ¨οŠ©πœƒπœƒ sous la forme π‘Žπœƒ+𝑏3πœƒ+𝑐5πœƒcoscoscos, oΓΉ π‘Ž,𝑏 et 𝑐 sont des constantes que tu devras dΓ©terminer.

  • A2(2πœƒβˆ’5πœƒβˆ’3πœƒ)coscoscos
  • Bβˆ’116(2πœƒβˆ’5πœƒβˆ’3πœƒ)coscoscos
  • C116(2πœƒβˆ’5πœƒβˆ’3πœƒ)coscoscos
  • D2(βˆ’2πœƒ+5πœƒ+3πœƒ)coscoscos
  • E12(2πœƒβˆ’5πœƒβˆ’3πœƒ)coscoscos

Ensuite, dΓ©termine toutes les solutions de coscos5πœƒ+3πœƒ=0 dans l'intervalle 0β©½πœƒ<πœ‹. Donne tes rΓ©ponses sous la forme exacte.

  • Aπœƒ=πœ‹8;3πœ‹8;πœ‹2
  • Bπœƒ=πœ‹8;3πœ‹8
  • Cπœƒ=πœ‹8;3πœ‹8;5πœ‹8;7πœ‹8
  • Dπœƒ=πœ‹8;3πœ‹8;πœ‹2;5πœ‹8;7πœ‹8
  • Eπœƒ=πœ‹2

Q5:

Utilise le thΓ©orΓ¨me de Moivre pour exprimer sin4πœƒ en fonction des puissances de sinπœƒ et cosπœƒ.

  • A4πœƒπœƒ+πœƒπœƒβˆ’4πœƒπœƒsincossincossincos
  • BsinsincossincosοŠͺοŠ©οŠ©πœƒ+2πœƒπœƒβˆ’4πœƒπœƒ
  • C4πœƒπœƒβˆ’4πœƒπœƒsincossincos
  • DcossincossincosοŠͺοŠ©οŠ©πœƒ+2πœƒπœƒβˆ’4πœƒπœƒ
  • E4πœƒπœƒβˆ’πœƒπœƒβˆ’4πœƒπœƒsincossincossincos

Q6:

Utilise la formule de Moivre pour exprimer sin5πœƒ en fonction des puissances de sinπœƒ.

  • Asinsinsinsin5πœƒ=βˆ’4πœƒβˆ’20πœƒ+5πœƒοŠ«οŠ©
  • Bsinsinsin5πœƒ=11πœƒβˆ’10πœƒοŠ«οŠ©
  • Csinsinsinsin5πœƒ=16πœƒβˆ’20πœƒ+5πœƒοŠ«οŠ©
  • Dsinsinsinsin5πœƒ=15πœƒβˆ’20πœƒ+5πœƒοŠ«οŠ©
  • Esinsinsin5πœƒ=16πœƒ+5πœƒοŠ«

En considΓ©rant les solutions de sin5πœƒ=0, dΓ©termine une reprΓ©sentation exacte de sinοŠ¨ο€»πœ‹5.

  • AsinοŠ¨ο€»πœ‹5=5βˆ’βˆš58
  • BsinοŠ¨ο€»πœ‹5=1011
  • CsinοŠ¨ο€»πœ‹5=5+√58
  • DsinοŠ¨ο€»πœ‹5=βˆ’5+√302
  • EsinοŠ¨ο€»πœ‹5=13

Q7:

Exprime cosοŠ¬πœƒ en fonction de cos6πœƒ, cos5πœƒ, cos4πœƒ, cos3πœƒ, cos2πœƒ, cosπœƒ et une constante.

  • AcoscoscoscosοŠ¬πœƒ=6πœƒ+64πœƒ+152πœƒ+10
  • BcoscoscoscosοŠ¬πœƒ=1166πœƒ+384πœƒ+15162πœƒ+58
  • CcoscoscoscosοŠ¬πœƒ=26πœƒ+124πœƒ+302πœƒ+20
  • DcoscoscoscosοŠ¬πœƒ=1646πœƒ+3324πœƒ+15642πœƒ+532
  • EcoscoscoscosοŠ¬πœƒ=1326πœƒ+3164πœƒ+15322πœƒ+516

Q8:

Utilise le thΓ©orΓ¨me de Moivre pour exprimer cos5πœƒ en fonction des puissances de cosπœƒ.

  • A16πœƒβˆ’12πœƒ+5πœƒcoscoscos
  • B16πœƒ+20πœƒ+5πœƒcoscoscos
  • C6πœƒβˆ’8πœƒβˆ’5πœƒcoscoscos
  • D16πœƒβˆ’20πœƒ+5πœƒcoscoscos
  • E11πœƒβˆ’18πœƒβˆ’5πœƒcoscoscos

Q9:

Exprime sin6πœƒ en fonction des puissances de sinπœƒ et cosπœƒ.

  • Asincossincossincossin6πœƒ=βˆ’6πœƒπœƒβˆ’20πœƒπœƒβˆ’6πœƒπœƒοŠ«οŠ©οŠ©οŠ«
  • Bsincossincossincossin6πœƒ=6πœƒπœƒβˆ’20πœƒπœƒ+6πœƒπœƒοŠ«οŠ©οŠ©οŠ«
  • Csincoscossincossinsin6πœƒ=πœƒβˆ’15πœƒπœƒ+15πœƒπœƒβˆ’πœƒοŠ¬οŠͺοŠͺ
  • Dsincossincossincossin6πœƒ=βˆ’6πœƒπœƒ+20πœƒπœƒβˆ’6πœƒπœƒοŠ«οŠ©οŠ©οŠ«
  • Esincossincossincossin6πœƒ=6πœƒπœƒ+20πœƒπœƒ+6πœƒπœƒοŠ«οŠ©οŠ©οŠ«

Exprime cos6πœƒ en fonction des puissances de sinπœƒ et cosπœƒ.

  • Acoscossincossincossin6πœƒ=6πœƒπœƒβˆ’20πœƒπœƒ+6πœƒπœƒοŠ«οŠ©οŠ©οŠ«
  • Bcoscoscossincossinsin6πœƒ=πœƒ+15πœƒπœƒ+15πœƒπœƒ+πœƒοŠ¬οŠͺοŠͺ
  • Ccoscoscossincossinsin6πœƒ=πœƒβˆ’15πœƒπœƒ+15πœƒπœƒ+πœƒοŠ¬οŠͺοŠͺ
  • Dcoscoscossincossinsin6πœƒ=πœƒβˆ’15πœƒπœƒ+15πœƒπœƒβˆ’πœƒοŠ¬οŠͺοŠͺ
  • Ecoscoscossincossinsin6πœƒ=πœƒβˆ’15πœƒπœƒβˆ’15πœƒπœƒβˆ’πœƒοŠ¬οŠͺοŠͺ

Ensuite, exprime tan6πœƒ en fonction de tanπœƒ.

  • Atantantantantantantan6πœƒ=6πœƒβˆ’20πœƒ+6πœƒ1βˆ’15πœƒ+15πœƒβˆ’πœƒοŠ©οŠ«οŠ¨οŠͺ
  • Btantantantantantantan6πœƒ=1βˆ’15πœƒ+15πœƒβˆ’πœƒ6πœƒβˆ’20πœƒ+6πœƒοŠ¨οŠͺ
  • Ctantantantantantantan6πœƒ=6πœƒ+20πœƒ+6πœƒ1+15πœƒ+15πœƒ+πœƒοŠ©οŠ«οŠ¨οŠͺ
  • Dtantantantantantantan6πœƒ=6πœƒβˆ’20πœƒ+6πœƒ1βˆ’15πœƒβˆ’15πœƒβˆ’πœƒοŠ©οŠ«οŠ¨οŠͺ
  • Etantantantantantantan6πœƒ=βˆ’6πœƒ+20πœƒβˆ’6πœƒ1βˆ’15πœƒβˆ’15πœƒβˆ’πœƒοŠ©οŠ«οŠ¨οŠͺ

Q10:

Utilise la formule de Moivre pour exprimer tan5πœƒ en fonction des puissances de tanπœƒ.

  • A1βˆ’10πœƒ+5πœƒ5πœƒβˆ’10πœƒ+πœƒtantantantantanοŠͺ
  • B5πœƒ+10πœƒβˆ’πœƒ1+10πœƒβˆ’5πœƒtantantantantanοŠͺ
  • Ctantantantantanπœƒβˆ’πœƒ+πœƒ1βˆ’πœƒ+πœƒοŠ©οŠ«οŠ¨οŠͺ
  • D5πœƒβˆ’10πœƒ+πœƒ1βˆ’10πœƒ+5πœƒtantantantantanοŠͺ
  • Etantantantantanπœƒ+πœƒβˆ’πœƒ1+πœƒβˆ’πœƒοŠ©οŠ«οŠ¨οŠͺ

Q11:

Utilise la formule de Moivre pour exprimer cos3πœƒ et sin3πœƒ en fonction de cosπœƒ et sinπœƒ.

  • Acoscos3πœƒ=πœƒοŠ©, sinsin3πœƒ=πœƒοŠ©
  • Bcoscos3πœƒ=3πœƒ, sinsin3πœƒ=3πœƒ
  • Ccoscoscos3πœƒ=4πœƒ+3πœƒοŠ©, sinsinsin3πœƒ=4πœƒβˆ’3πœƒοŠ©
  • Dcoscoscos3πœƒ=4πœƒβˆ’3πœƒοŠ©, sinsinsin3πœƒ=3πœƒβˆ’4πœƒοŠ©
  • Ecoscoscos3πœƒ=3πœƒβˆ’2πœƒοŠ©, sinsinsin3πœƒ=3πœƒβˆ’2πœƒοŠ©

Q12:

En utilisant la formule de Moivre, dΓ©termine la valeur exacte de ο„Έπœƒπœƒο‘½οŽ‘οŠ¦οŠ©cosd.

  • Aβˆ’23
  • B0
  • C83
  • D23
  • E12

Q13:

En utilisant la formule de Moivre, dΓ©termine la valeur exacte de ο„Έπœƒπœƒο‘½οŽ‘οŠ¦οŠͺsind.

  • A0
  • Bπœ‹2
  • Cπœ‹16
  • D3πœ‹16
  • Eβˆ’3πœ‹16

Q14:

En utilisant la formule de Moivre, dΓ©termine la valeur exacte de ο„Έπœƒπœƒο‘½οŽ‘οŠ¦οŠͺcosd.

  • A0
  • Bπœ‹2
  • Cπœ‹16
  • D3πœ‹16
  • Eβˆ’3πœ‹16

Q15:

En utilisant la formule de Moivre, dΓ©termine la valeur exacte de ο„Έπœƒπœƒο‘½οŽ‘οŠ¦οŠ©sind.

  • A12
  • B0
  • Cβˆ’23
  • D23
  • E83

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