Feuille d'activités : Déterminer l'ensemble des racines d'une fonction polynomiale

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Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer l'ensemble des racines d'une fonction polynomiale du second degré, cubique ou de degré supérieur.

Q1:

Détermine, par factorisation, les zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥+2𝑥−35.

  • A − 7 , − 5
  • B − 7 , 5
  • C 5 , 7
  • D − 6 , 8
  • E − 5 , 7

Q2:

Quels sont les zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=2(𝑥−1)−7 ?

  • A − 1 + 7 2 et −1−72
  • B − 1 + √ 7 2 et −1−√72
  • C 1 + √ 7 2 et 1−√72
  • D 1 − √ 7 2 et −1−√72
  • E 1 + 7 2 et 1−72

Q3:

Détermine, en factorisant, les zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑦)=𝑦+8𝑦+7.

  • A − 7 , 1
  • B − 8 , 1
  • C − 7 , − 1
  • D 7 , 1
  • E − 1 , 8

Q4:

Détermine l’ensemble des zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥−17𝑥+16.

  • A { 1 , 4 }
  • B { − 4 , − 1 , 1 , 4 }
  • C { 1 }
  • D { 4 }
  • E { − 4 , − 1 }

Q5:

Sachant que l’ensemble des zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥+𝑏𝑥+343 est {−8,8}, trouve 𝑏.

Q6:

Détermine, en factorisant, les zéros de la fonction 𝑓(𝑥)=9𝑥+9𝑥−40.

  • A 5 3 , − 8 3
  • B − 5 , 8
  • C − 5 3 , 8 3
  • D − 5 3 , − 8 3
  • E 5 , − 8

Q7:

Détermine l’ensemble des zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥𝑥−81−2𝑥−81.

  • A { − 9 , − 2 , 9 }
  • B { 2 , 9 }
  • C { − 9 , 9 }
  • D { − 9 , 2 , 9 }
  • E { − 2 , 9 }

Q8:

Détermine l’ensemble des zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=13(𝑥−4).

  • A { − 4 }
  • B { 4 }
  • C 1 3 , 4
  • D 1 3 , − 4

Q9:

Détermine l'ensemble des zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥−1𝑥−4.

  • A ℝ ⧵ { − 2 , 2 }
  • B { − 2 , 2 }
  • C ℝ ⧵ { 1 }
  • D { 1 }
  • E { − 2 , 1 , 2 }

Q10:

𝑓 ( 𝑥 ) = 4 𝑥 + 𝑏 𝑥 − 5 𝑥 + 4 2 , 𝑓 ( 4 ) = 2 2 et 𝑓(2)=0. Détermine les autres racines de 𝑓(𝑥) et la valeur de 𝑏.

  • A 𝑏 = 1 6 , 𝑥 = − 3 2 , 𝑥 = 7 2
  • B 𝑏 = − 1 6 , 𝑥 = − 3 2
  • C 𝑏 = − 1 6 , 𝑥 = − 3 2 , 𝑥 = 7 2
  • D 𝑏 = − 1 6 , 𝑥 = − 3 2 , 𝑥 = − 7 2
  • E 𝑏 = − 1 6 , 𝑥 = 3 2 , 𝑥 = 7 2

Q11:

Détermine toutes les racines de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥+5𝑥−9𝑥−45 et détermine leur ordre de multiplicité.

  • A 𝑥 = − 3 , ordre de multiplicité 1, 𝑥=−5, ordre de multiplicité 1, 𝑥=3, ordre de multiplicité 1
  • B 𝑥 = − 5 , ordre de multiplicité 1, 𝑥=3, ordre de multiplicité 2
  • C 𝑥 = − 3 , ordre de multiplicité 2, 𝑥=3, ordre de multiplicité 2
  • D 𝑥 = − 3 , ordre de multiplicité 1, 𝑥=−5, ordre de multiplicité 1

Q12:

Quelles sont les fonctions qui ont les mêmes racines parmi les couples de fonctions suivantes ?

  • A 𝑘 ( 𝑥 ) = 𝑥 + 1 0 𝑥 et 𝑓(𝑥)=𝑥−20𝑥+100𝑥
  • B 𝑘 ( 𝑥 ) = 𝑥 − 1 0 𝑥 et 𝑓(𝑥)=𝑥+20𝑥+100𝑥
  • C 𝑘 ( 𝑥 ) = 𝑥 + 1 0 𝑥 et 𝑓(𝑥)=𝑥−20𝑥+100𝑥
  • D 𝑘 ( 𝑥 ) = 𝑥 − 1 0 𝑥 et 𝑓(𝑥)=𝑥+20𝑥+100𝑥
  • E 𝑘 ( 𝑥 ) = 𝑥 + 1 0 𝑥 et 𝑓(𝑥)=𝑥+20𝑥+100𝑥

Q13:

Détermine l’ensemble des zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=6𝑥𝑥+64.

  • A { − 8 }
  • B { − 8 , 8 }
  • C ∅
  • D { 0 , − 8 , 8 }
  • E { 0 }

Q14:

On pose 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+54𝑥+81 et 𝑔(𝑥)=𝑎𝑥+9. L’ensemble des zéros est le même pour les deux fonctions. Détermine la valeur de 𝑎 ainsi que l’ensemble des zéros 𝑍.

  • A 𝑎 = 3 , 𝑍 = { − 3 }
  • B 𝑎 = 9 , 𝑍 = { − 3 }
  • C 𝑎 = 3 , 𝑍 = { 3 }
  • D 𝑎 = 9 , 𝑍 = { 3 }
  • E 𝑎 = 3 , 𝑍 = − 1 3

Q15:

Détermine l’ensemble des zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=−9𝑥+225𝑥.

  • A { − 5 , 5 , 9 }
  • B { 0 , 5 }
  • C { − 9 , − 5 , 5 }
  • D { − 5 , 5 }
  • E { − 5 , 0 , 5 }

Q16:

Détermine l’ensemble des zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=7𝑥−112𝑥.

  • A { 0 , 4 }
  • B { − 7 , 4 , − 4 }
  • C { 7 , 4 , − 4 }
  • D { 0 , 4 , − 4 }
  • E { 4 , − 4 }

Q17:

Quel est l'ensemble des racines de la fonction définie par 𝑛(𝑥)=𝑥𝑥+7−6𝑥+7?

  • A { − 6 }
  • B { 7 }
  • C ℝ ⧵ { − 7 }
  • D { 6 }
  • E { − 7 }

Q18:

Détermine l’ensemble des zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=−𝑥−24.

  • A ∅
  • B { 0 , − 2 4 }
  • C { 2 4 }
  • D { − 2 4 }
  • E { 0 , 2 4 }

Q19:

Considère la fonction définie par 𝑘(𝑥)=−5𝑥+2𝑥−30𝑥−88𝑥+40.

Sachant que l'une des racines de 𝑘(𝑥) est 1−3𝑖, détermine toutes les racines de 𝑘(𝑥) en utilisant la division synthétique.

  • A 1 − 3 𝑖 , 1 + 3 𝑖 , 2 , − 2 5
  • B 1 − 3 𝑖 , 1 + 3 𝑖 , − 2 , 2 5
  • C 1 − 3 𝑖 , 1 + 3 𝑖 , 4 , − 1 5
  • D 1 − 3 𝑖 , 1 + 3 𝑖 , − 4 , 1 5
  • E 1 − 3 𝑖 , 1 + 3 𝑖 , 1 , − 4 5

Écris la factorisation linéaire de 𝑘(𝑥).

  • A 𝑘 ( 𝑥 ) = − ( 𝑥 − 1 + 3 𝑖 ) ( 𝑥 − 1 − 3 𝑖 ) ( 5 𝑥 + 2 ) ( 𝑥 − 2 )
  • B 𝑘 ( 𝑥 ) = − ( 𝑥 − 1 + 3 𝑖 ) ( 𝑥 − 1 − 3 𝑖 ) ( 5 𝑥 + 1 ) ( 𝑥 − 4 )
  • C 𝑘 ( 𝑥 ) = − ( 𝑥 − 1 + 3 𝑖 ) ( 𝑥 − 1 − 3 𝑖 ) ( 5 𝑥 − 2 ) ( 𝑥 + 2 )
  • D 𝑘 ( 𝑥 ) = − ( 𝑥 − 1 + 3 𝑖 ) ( 𝑥 − 1 − 3 𝑖 ) ( 5 𝑥 + 4 ) ( 𝑥 − 1 )
  • E 𝑘 ( 𝑥 ) = − ( 𝑥 − 1 + 3 𝑖 ) ( 𝑥 − 1 − 3 𝑖 ) ( 5 𝑥 − 1 ) ( 𝑥 + 4 )

Q20:

Considère la fonction définie par ℎ(𝑥)=16𝑥−88𝑥+313𝑥−348𝑥+117.

Sachant que l’une des racines de la fonction ℎ(𝑥) est multiple de 2 et vaut 34, détermine toutes les racines de ℎ(𝑥) en utilisant la division synthétique.

  • A 3 4 , − 2 − 3 𝑖 , − 2 + 3 𝑖
  • B 3 4 , 2 − 6 𝑖 , 2 + 6 𝑖
  • C 3 4 , 2 − 3 𝑖 , 2 + 3 𝑖
  • D 3 4 , − 2 − 6 𝑖 , − 2 + 6 𝑖

Écris la factorisation linéaire de ℎ(𝑥).

  • A ℎ ( 𝑥 ) = ( 4 𝑥 − 3 ) ( 𝑥 + 2 + 3 𝑖 ) ( 𝑥 + 2 − 3 𝑖 )
  • B ℎ ( 𝑥 ) = ( 4 𝑥 − 3 ) ( 𝑥 − 2 + 3 𝑖 ) ( 𝑥 − 2 − 3 𝑖 )
  • C ℎ ( 𝑥 ) = ( 4 𝑥 − 3 ) ( 𝑥 − 2 + 6 𝑖 ) ( 𝑥 − 2 − 6 𝑖 )
  • D ℎ ( 𝑥 ) = ( 4 𝑥 − 3 ) ( 𝑥 + 2 + 6 𝑖 ) ( 𝑥 + 2 − 6 𝑖 )

Q21:

Considère la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥−6𝑥+14𝑥−32𝑥−40.

Sachant que l'un des zéros de 𝑓(𝑥) est 2−2√2, détermine tous les zéros de 𝑓(𝑥) en utilisant la division synthétique.

  • A 2 − 2 √ 2 , 2 + 2 √ 2 , 1 − 3 𝑖 , 1 + 3 𝑖
  • B 2 − 2 √ 2 , 2 + 2 √ 2 , − 1 − 3 𝑖 , 1 − 3 𝑖
  • C 2 − 2 √ 2 , 2 + 2 √ 2 , − 1 + 3 𝑖 , 1 + 3 𝑖
  • D − 2 − 2 √ 2 , 2 − 2 √ 2 , 1 − 3 𝑖 , − 1 − 3 𝑖
  • E 2 − 2 √ 2 , − 2 − 2 √ 2 , 1 − 3 𝑖 , 1 + 3 𝑖

Écris la factorisation linéaire de 𝑓(𝑥).

  • A 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 − 2 + 2 √ 2 𝑥 − 2 − 2 √ 2 ( 𝑥 + 1 + 3 𝑖 ) ( 𝑥 − 1 + 3 𝑖 )
  • B 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 − 2 + 2 √ 2 𝑥 − 2 − 2 √ 2 ( 𝑥 + 1 − 3 𝑖 ) ( 𝑥 − 1 − 3 𝑖 )
  • C 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 − 2 + 2 √ 2 𝑥 + 2 + 2 √ 2 ( 𝑥 − 1 + 3 𝑖 ) ( 𝑥 − 1 − 3 𝑖 )
  • D 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 + 2 + 2 √ 2 𝑥 − 2 + 2 √ 2 ( 𝑥 − 1 + 3 𝑖 ) ( 𝑥 + 1 + 3 𝑖 )
  • E 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 − 2 + 2 √ 2 𝑥 − 2 − 2 √ 2 ( 𝑥 − 1 + 3 𝑖 ) ( 𝑥 − 1 − 3 𝑖 )

Q22:

Considère la fonction définie par 𝑔(𝑥)=𝑥+6𝑥+38𝑥+24𝑥+136.

Sachant que l'une des racines de 𝑔(𝑥) est −3+5𝑖, détermine toutes les racines de 𝑔(𝑥) en utilisant la division synthétique.

  • A − 3 + 5 𝑖 , − 3 − 5 𝑖 , − 2 𝑖 , 2 𝑖
  • B − 3 + 5 𝑖 , − 3 − 5 𝑖 , − 2 , 2
  • C 3 + 5 𝑖 , − 3 + 5 𝑖 , − 2 𝑖 , 2 𝑖
  • D − 3 + 5 𝑖 , − 3 − 5 𝑖 , 2

Écris la factorisation linéaire de 𝑔(𝑥).

  • A 𝑔 ( 𝑥 ) = ( 𝑥 + 3 − 5 𝑖 ) ( 𝑥 + 3 + 5 𝑖 ) ( 𝑥 + 2 ) ( 𝑥 − 2 )
  • B 𝑔 ( 𝑥 ) = ( 𝑥 + 3 − 5 𝑖 ) ( 𝑥 + 3 + 5 𝑖 ) ( 𝑥 − 2 )
  • C 𝑔 ( 𝑥 ) = ( 𝑥 − 3 − 5 𝑖 ) ( 𝑥 + 3 − 5 𝑖 ) ( 𝑥 + 2 𝑖 ) ( 𝑥 − 2 𝑖 )
  • D 𝑔 ( 𝑥 ) = ( 𝑥 + 3 − 5 𝑖 ) ( 𝑥 + 3 + 5 𝑖 ) ( 𝑥 + 2 𝑖 ) ( 𝑥 − 2 𝑖 )

Q23:

Étant données 𝑓(𝑥)=𝑥+3𝑥−13𝑥−15 et 𝑓(−1)=0, détermine les autres racines de 𝑓.

  • A 𝑥 = − 2 , 𝑥 = − 6
  • B 𝑥 = 2 , 𝑥 = 6
  • C 𝑥 = − 3 , 𝑥 = − 5
  • D 𝑥 = 3 , 𝑥 = − 5
  • E 𝑥 = − 3 , 𝑥 = 5

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