Fiche d'activités de la leçon : Déterminer l'ensemble des racines d'une fonction polynomiale Mathématiques

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer l'ensemble des racines d'une fonction polynomiale du second degré, cubique ou de degré supérieur.

Q1:

DΓ©termine, par factorisation, les zΓ©ros de la fonction dΓ©finie par 𝑓(π‘₯)=π‘₯+2π‘₯βˆ’35.

  • Aβˆ’7,βˆ’5
  • Bβˆ’7,5
  • C5,7
  • Dβˆ’6,8
  • Eβˆ’5,7

Q2:

Quels sont les zΓ©ros de la fonction dΓ©finie par 𝑓(π‘₯)=2(π‘₯βˆ’1)βˆ’7οŠ¨β€‰?

  • Aβˆ’1+ο„ž72 et βˆ’1βˆ’ο„ž72
  • B1+ο„ž72 et 1βˆ’ο„ž72
  • C1βˆ’βˆš72 et βˆ’1βˆ’βˆš72
  • Dβˆ’1+√72 et βˆ’1βˆ’βˆš72
  • E1+√72 et 1βˆ’βˆš72

Q3:

DΓ©termine, en factorisant, les zΓ©ros de la fonction dΓ©finie par 𝑓(𝑦)=𝑦+8𝑦+7.

  • Aβˆ’7,1
  • Bβˆ’8,1
  • Cβˆ’7,βˆ’1
  • D7,1
  • Eβˆ’1,8

Q4:

DΓ©termine l’ensemble des zΓ©ros de la fonction dΓ©finie par 𝑓(π‘₯)=π‘₯βˆ’17π‘₯+16οŠͺ.

  • A{βˆ’4;βˆ’1}
  • B{1;4}
  • C{1}
  • D{4}
  • E{βˆ’4;βˆ’1;1;4}

Q5:

Sachant que l’ensemble des zΓ©ros de la fonction dΓ©finie par 𝑓(π‘₯)=π‘₯+𝑏π‘₯+343 est {βˆ’8;8}, dΓ©termine la valeur de 𝑏.

Q6:

DΓ©termine, en factorisant, les zΓ©ros de la fonction 𝑓(π‘₯)=9π‘₯+9π‘₯βˆ’40.

  • Aβˆ’5;8
  • B53;βˆ’83
  • Cβˆ’53;βˆ’83
  • D5;βˆ’8
  • Eβˆ’53;83

Q7:

DΓ©termine l’ensemble des zΓ©ros de la fonction dΓ©finie par 𝑓(π‘₯)=π‘₯ο€Ήπ‘₯βˆ’81ο…βˆ’2ο€Ήπ‘₯βˆ’81ο…οŠ¨οŠ¨.

  • A{2;9}
  • B{βˆ’9;9}
  • C{βˆ’9;βˆ’2;9}
  • D{βˆ’9;2;9}
  • E{βˆ’2;9}

Q8:

DΓ©termine l’ensemble des zΓ©ros de la fonction dΓ©finie par 𝑓(π‘₯)=13(π‘₯βˆ’4).

  • A{4}
  • B13,4
  • C{βˆ’4}
  • D13,βˆ’4

Q9:

DΓ©termine l'ensemble des zΓ©ros de la fonction dΓ©finie par 𝑓(π‘₯)=π‘₯βˆ’1π‘₯βˆ’4.

  • Aℝ⧡{βˆ’2;2}
  • Bℝ⧡{1}
  • C{βˆ’2;2}
  • D{βˆ’2;1;2}
  • E{1}

Q10:

𝑓(π‘₯)=4π‘₯+𝑏π‘₯βˆ’5π‘₯+42, 𝑓(4)=22 et 𝑓(2)=0. DΓ©termine les autres racines de 𝑓(π‘₯) et la valeur de 𝑏.

  • A𝑏=16, π‘₯=βˆ’32, π‘₯=72
  • B𝑏=βˆ’16, π‘₯=βˆ’32
  • C𝑏=βˆ’16, π‘₯=βˆ’32, π‘₯=72
  • D𝑏=βˆ’16, π‘₯=βˆ’32, π‘₯=βˆ’72
  • E𝑏=βˆ’16, π‘₯=32, π‘₯=72

Q11:

Parmi les couples de fonctions suivantes, quelles sont celles qui ont les mΓͺmes racines ?

  • Aπ‘˜(π‘₯)=π‘₯+10π‘₯ et 𝑓(π‘₯)=π‘₯βˆ’20π‘₯+100π‘₯
  • Bπ‘˜(π‘₯)=π‘₯βˆ’10π‘₯ et 𝑓(π‘₯)=π‘₯+20π‘₯+100π‘₯
  • Cπ‘˜(π‘₯)=π‘₯βˆ’10π‘₯ et 𝑓(π‘₯)=π‘₯+20π‘₯+100π‘₯
  • Dπ‘˜(π‘₯)=π‘₯+10π‘₯ et 𝑓(π‘₯)=π‘₯+20π‘₯+100π‘₯
  • Eπ‘˜(π‘₯)=π‘₯+10π‘₯ et 𝑓(π‘₯)=π‘₯βˆ’20π‘₯+100π‘₯

Q12:

DΓ©termine l’ensemble des zΓ©ros de la fonction dΓ©finie par 𝑓(π‘₯)=6π‘₯ο€Ήπ‘₯+64ο…οŠ¨.

  • A{βˆ’8}
  • B{βˆ’8,8}
  • Cβˆ…
  • D{0,βˆ’8,8}
  • E{0}

Q13:

On pose 𝑓(π‘₯)=π‘Žπ‘₯+54π‘₯+81 et 𝑔(π‘₯)=π‘Žπ‘₯+9. L’ensemble des zΓ©ros est le mΓͺme pour les deux fonctions. DΓ©termine la valeur de π‘Ž ainsi que l’ensemble des zΓ©ros 𝑍.

  • Aπ‘Ž=9, 𝑧(𝑓)={3}
  • Bπ‘Ž=9, 𝑧(𝑓)={βˆ’3}
  • Cπ‘Ž=3, 𝑧(𝑓)=ο¬βˆ’13
  • Dπ‘Ž=3, 𝑧(𝑓)={3}
  • Eπ‘Ž=3, 𝑧(𝑓)={βˆ’3}

Q14:

DΓ©termine l’ensemble des zΓ©ros de la fonction dΓ©finie par 𝑓(π‘₯)=βˆ’9π‘₯+225π‘₯οŠͺ.

  • A{βˆ’5,5,9}
  • B{0,5}
  • C{βˆ’5,0,5}
  • D{βˆ’9,βˆ’5,5}
  • E{βˆ’5,5}

Q15:

DΓ©termine l’ensemble des zΓ©ros de la fonction dΓ©finie par 𝑓(π‘₯)=7π‘₯βˆ’112π‘₯οŠͺ.

  • A{0,4,βˆ’4}
  • B{7,4,βˆ’4}
  • C{βˆ’7,4,βˆ’4}
  • D{4,βˆ’4}
  • E{0,4}

Q16:

Quel est l'ensemble des racines de la fonction dΓ©finie par 𝑛(π‘₯)=π‘₯π‘₯+7βˆ’6π‘₯+7 ?

  • A{βˆ’6}
  • B{7}
  • Cℝ⧡{βˆ’7}
  • D{6}
  • E{βˆ’7}

Q17:

DΓ©termine l’ensemble des zΓ©ros de la fonction dΓ©finie par 𝑓(π‘₯)=βˆ’π‘₯βˆ’24.

  • Aβˆ…
  • B{0,βˆ’24}
  • C{24}
  • D{βˆ’24}
  • E{0,24}

Q18:

ConsidΓ¨re la fonction dΓ©finie par π‘˜(π‘₯)=βˆ’5π‘₯+2π‘₯βˆ’30π‘₯βˆ’88π‘₯+40οŠͺ.

Sachant que l'une des racines de π‘˜(π‘₯) est 1βˆ’3𝑖, dΓ©termine toutes les racines de π‘˜(π‘₯) en utilisant la division synthΓ©tique.

  • A1βˆ’3𝑖;1+3𝑖;1;βˆ’45
  • B1βˆ’3𝑖;1+3𝑖;βˆ’2;25
  • C1βˆ’3𝑖;1+3𝑖;βˆ’4;15
  • D1βˆ’3𝑖;1+3𝑖;2;βˆ’25
  • E1βˆ’3𝑖;1+3𝑖;4;βˆ’15

Γ‰cris la factorisation linΓ©aire de π‘˜(π‘₯).

  • Aπ‘˜(π‘₯)=βˆ’(π‘₯βˆ’1+3𝑖)(π‘₯βˆ’1βˆ’3𝑖)(5π‘₯+4)(π‘₯βˆ’1)
  • Bπ‘˜(π‘₯)=βˆ’(π‘₯βˆ’1+3𝑖)(π‘₯βˆ’1βˆ’3𝑖)(5π‘₯+1)(π‘₯βˆ’4)
  • Cπ‘˜(π‘₯)=βˆ’(π‘₯βˆ’1+3𝑖)(π‘₯βˆ’1βˆ’3𝑖)(5π‘₯βˆ’1)(π‘₯+4)
  • Dπ‘˜(π‘₯)=βˆ’(π‘₯βˆ’1+3𝑖)(π‘₯βˆ’1βˆ’3𝑖)(5π‘₯βˆ’2)(π‘₯+2)
  • Eπ‘˜(π‘₯)=βˆ’(π‘₯βˆ’1+3𝑖)(π‘₯βˆ’1βˆ’3𝑖)(5π‘₯+2)(π‘₯βˆ’2)

Q19:

ConsidΓ¨re la fonction dΓ©finie par β„Ž(π‘₯)=16π‘₯βˆ’88π‘₯+313π‘₯βˆ’348π‘₯+117οŠͺ.

Sachant que l’une des racines de la fonction β„Ž(π‘₯) est multiple de 2 et vaut 34, dΓ©termine toutes les racines de β„Ž(π‘₯) en utilisant la division synthΓ©tique.

  • A34;βˆ’2βˆ’3𝑖;βˆ’2+3𝑖
  • B34;2βˆ’3𝑖;2+3𝑖
  • C34;βˆ’2βˆ’6𝑖;βˆ’2+6𝑖
  • D34;2βˆ’6𝑖;2+6𝑖

Γ‰cris la factorisation linΓ©aire de β„Ž(π‘₯).

  • Aβ„Ž(π‘₯)=(4π‘₯βˆ’3)(π‘₯βˆ’2+3𝑖)(π‘₯βˆ’2βˆ’3𝑖)
  • Bβ„Ž(π‘₯)=(4π‘₯βˆ’3)(π‘₯+2+3𝑖)(π‘₯+2βˆ’3𝑖)
  • Cβ„Ž(π‘₯)=(4π‘₯βˆ’3)(π‘₯+2+6𝑖)(π‘₯+2βˆ’6𝑖)
  • Dβ„Ž(π‘₯)=(4π‘₯βˆ’3)(π‘₯βˆ’2+6𝑖)(π‘₯βˆ’2βˆ’6𝑖)

Q20:

ConsidΓ¨re la fonction dΓ©finie par 𝑓(π‘₯)=π‘₯βˆ’6π‘₯+14π‘₯βˆ’32π‘₯βˆ’40οŠͺ.

Sachant que l'un des zΓ©ros de 𝑓(π‘₯) est 2βˆ’2√2, dΓ©termine tous les zΓ©ros de 𝑓(π‘₯) en utilisant la division synthΓ©tique.

  • A2βˆ’2√2, 2+2√2, βˆ’1βˆ’3𝑖, 1βˆ’3𝑖
  • Bβˆ’2βˆ’2√2, 2βˆ’2√2, 1βˆ’3𝑖, βˆ’1βˆ’3𝑖
  • C2βˆ’2√2, βˆ’2βˆ’2√2, 1βˆ’3𝑖, 1+3𝑖
  • D2βˆ’2√2, 2+2√2, 1βˆ’3𝑖, 1+3𝑖
  • E2βˆ’2√2, 2+2√2, βˆ’1+3𝑖, 1+3𝑖

Γ‰cris la factorisation linΓ©aire de 𝑓(π‘₯).

  • A𝑓(π‘₯)=ο€»π‘₯βˆ’2+2√2π‘₯βˆ’2βˆ’2√2(π‘₯βˆ’1+3𝑖)(π‘₯βˆ’1βˆ’3𝑖)
  • B𝑓(π‘₯)=ο€»π‘₯βˆ’2+2√2π‘₯βˆ’2βˆ’2√2(π‘₯+1+3𝑖)(π‘₯βˆ’1+3𝑖)
  • C𝑓(π‘₯)=ο€»π‘₯βˆ’2+2√2π‘₯βˆ’2βˆ’2√2(π‘₯+1βˆ’3𝑖)(π‘₯βˆ’1βˆ’3𝑖)
  • D𝑓(π‘₯)=ο€»π‘₯+2+2√2π‘₯βˆ’2+2√2(π‘₯βˆ’1+3𝑖)(π‘₯+1+3𝑖)
  • E𝑓(π‘₯)=ο€»π‘₯βˆ’2+2√2π‘₯+2+2√2(π‘₯βˆ’1+3𝑖)(π‘₯βˆ’1βˆ’3𝑖)

Q21:

ConsidΓ¨re la fonction dΓ©finie par 𝑔(π‘₯)=π‘₯+6π‘₯+38π‘₯+24π‘₯+136οŠͺ.

Sachant que l'une des racines de 𝑔(π‘₯) est βˆ’3+5𝑖, dΓ©termine toutes les racines de 𝑔(π‘₯) en utilisant la division synthΓ©tique.

  • Aβˆ’3+5𝑖, βˆ’3βˆ’5𝑖, βˆ’2𝑖, 2𝑖
  • Bβˆ’3+5𝑖, βˆ’3βˆ’5𝑖, βˆ’2, 2
  • C3+5𝑖, βˆ’3+5𝑖, βˆ’2𝑖, 2𝑖
  • Dβˆ’3+5𝑖, βˆ’3βˆ’5𝑖, 2

Γ‰cris la factorisation linΓ©aire de 𝑔(π‘₯).

  • A𝑔(π‘₯)=(π‘₯+3βˆ’5𝑖)(π‘₯+3+5𝑖)(π‘₯+2)(π‘₯βˆ’2)
  • B𝑔(π‘₯)=(π‘₯+3βˆ’5𝑖)(π‘₯+3+5𝑖)(π‘₯βˆ’2)
  • C𝑔(π‘₯)=(π‘₯βˆ’3βˆ’5𝑖)(π‘₯+3βˆ’5𝑖)(π‘₯+2𝑖)(π‘₯βˆ’2𝑖)
  • D𝑔(π‘₯)=(π‘₯+3βˆ’5𝑖)(π‘₯+3+5𝑖)(π‘₯+2𝑖)(π‘₯βˆ’2𝑖)

Q22:

Γ‰tant donnΓ©es 𝑓(π‘₯)=π‘₯+3π‘₯βˆ’13π‘₯βˆ’15 et 𝑓(βˆ’1)=0, dΓ©termine les autres racines de 𝑓(π‘₯).

  • Aπ‘₯=βˆ’3, π‘₯=5
  • Bπ‘₯=2, π‘₯=6
  • Cπ‘₯=3, π‘₯=βˆ’5
  • Dπ‘₯=βˆ’2, π‘₯=βˆ’6
  • Eπ‘₯=βˆ’3, π‘₯=βˆ’5

Q23:

Combien le polynΓ΄me 3π‘₯βˆ’2π‘₯+π‘₯+4π‘₯βˆ’2 possΓ¨de-t-il de racines ?

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