Feuille d'activités : Déterminer l'ensemble des racines d'une fonction polynomiale

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer l'ensemble des racines d'une fonction polynomiale du second degré, cubique ou de degré supérieur.

Q1:

Détermine, par factorisation, les zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥+2𝑥35.

  • A7,5
  • B7,5
  • C5,7
  • D6,8
  • E5,7

Q2:

Quels sont les zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=2(𝑥1)7?

  • A1+72 et 172
  • B1+72 et 172
  • C1+72 et 172
  • D172 et 172
  • E1+72 et 172

Q3:

Détermine, en factorisant, les zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑦)=𝑦+8𝑦+7.

  • A7,1
  • B8,1
  • C7,1
  • D7,1
  • E1,8

Q4:

Détermine l’ensemble des zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥17𝑥+16.

  • A{1,4}
  • B{4,1,1,4}
  • C{1}
  • D{4}
  • E{4,1}

Q5:

Sachant que l’ensemble des zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥+𝑏𝑥+343 est {8,8}, trouve 𝑏.

Q6:

Détermine, en factorisant, les zéros de la fonction 𝑓(𝑥)=9𝑥+9𝑥40.

  • A53,83
  • B5,8
  • C53,83
  • D53,83
  • E5,8

Q7:

Détermine l’ensemble des zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥𝑥812𝑥81.

  • A{9,2,9}
  • B{2,9}
  • C{9,9}
  • D{9,2,9}
  • E{2,9}

Q8:

Détermine l’ensemble des zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=13(𝑥4).

  • A{4}
  • B13,4
  • C{4}
  • D13,4

Q9:

Détermine l'ensemble des zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥1𝑥4.

  • A{2,2}
  • B{2,2}
  • C{1}
  • D{1}
  • E{2,1,2}

Q10:

𝑓(𝑥)=4𝑥+𝑏𝑥5𝑥+42, 𝑓(4)=22 et 𝑓(2)=0. Détermine les autres racines de 𝑓(𝑥) et la valeur de 𝑏.

  • A𝑏=16, 𝑥=32, 𝑥=72
  • B𝑏=16, 𝑥=32
  • C𝑏=16, 𝑥=32, 𝑥=72
  • D𝑏=16, 𝑥=32, 𝑥=72
  • E𝑏=16, 𝑥=32, 𝑥=72

Q11:

Détermine toutes les racines de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥+5𝑥9𝑥45 et détermine leur ordre de multiplicité.

  • A𝑥=3, ordre de multiplicité 1, 𝑥=5, ordre de multiplicité 1, 𝑥=3, ordre de multiplicité 1
  • B𝑥=5, ordre de multiplicité 1, 𝑥=3, ordre de multiplicité 2
  • C𝑥=3, ordre de multiplicité 2, 𝑥=3, ordre de multiplicité 2
  • D𝑥=3, ordre de multiplicité 1, 𝑥=5, ordre de multiplicité 1

Q12:

Quelles sont les fonctions qui ont les mêmes racines parmi les couples de fonctions suivantes?

  • A𝑘(𝑥)=𝑥+10𝑥 et 𝑓(𝑥)=𝑥20𝑥+100𝑥
  • B𝑘(𝑥)=𝑥10𝑥 et 𝑓(𝑥)=𝑥+20𝑥+100𝑥
  • C𝑘(𝑥)=𝑥+10𝑥 et 𝑓(𝑥)=𝑥20𝑥+100𝑥
  • D𝑘(𝑥)=𝑥10𝑥 et 𝑓(𝑥)=𝑥+20𝑥+100𝑥
  • E𝑘(𝑥)=𝑥+10𝑥 et 𝑓(𝑥)=𝑥+20𝑥+100𝑥

Q13:

Détermine l’ensemble des zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=6𝑥𝑥+64.

  • A{8}
  • B{8,8}
  • C
  • D{0,8,8}
  • E{0}

Q14:

On pose 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+54𝑥+81 et 𝑔(𝑥)=𝑎𝑥+9. L’ensemble des zéros est le même pour les deux fonctions. Détermine la valeur de 𝑎 ainsi que l’ensemble des zéros 𝑍.

  • A𝑎=3, 𝑍={3}
  • B𝑎=9, 𝑍={3}
  • C𝑎=3, 𝑍={3}
  • D𝑎=9, 𝑍={3}
  • E𝑎=3, 𝑍=13

Q15:

Détermine l’ensemble des zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=9𝑥+225𝑥.

  • A{5,5,9}
  • B{0,5}
  • C{9,5,5}
  • D{5,5}
  • E{5,0,5}

Q16:

Détermine l’ensemble des zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=7𝑥112𝑥.

  • A{0,4}
  • B{7,4,4}
  • C{7,4,4}
  • D{0,4,4}
  • E{4,4}

Q17:

Quel est l'ensemble des racines de la fonction définie par 𝑛(𝑥)=𝑥𝑥+76𝑥+7?

  • A{6}
  • B{7}
  • C{7}
  • D{6}
  • E{7}

Q18:

Détermine l’ensemble des zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥24.

  • A
  • B{0,24}
  • C{24}
  • D{24}
  • E{0,24}

Q19:

Considère la fonction définie par 𝑘(𝑥)=5𝑥+2𝑥30𝑥88𝑥+40.

Sachant que l'une des racines de 𝑘(𝑥) est 13𝑖, détermine toutes les racines de 𝑘(𝑥) en utilisant la division synthétique.

  • A13𝑖,1+3𝑖,2,25
  • B13𝑖,1+3𝑖,2,25
  • C13𝑖,1+3𝑖,4,15
  • D13𝑖,1+3𝑖,4,15
  • E13𝑖,1+3𝑖,1,45

Écris la factorisation linéaire de 𝑘(𝑥).

  • A𝑘(𝑥)=(𝑥1+3𝑖)(𝑥13𝑖)(5𝑥+2)(𝑥2)
  • B𝑘(𝑥)=(𝑥1+3𝑖)(𝑥13𝑖)(5𝑥+1)(𝑥4)
  • C𝑘(𝑥)=(𝑥1+3𝑖)(𝑥13𝑖)(5𝑥2)(𝑥+2)
  • D𝑘(𝑥)=(𝑥1+3𝑖)(𝑥13𝑖)(5𝑥+4)(𝑥1)
  • E𝑘(𝑥)=(𝑥1+3𝑖)(𝑥13𝑖)(5𝑥1)(𝑥+4)

Q20:

Considère la fonction définie par (𝑥)=16𝑥88𝑥+313𝑥348𝑥+117.

Sachant que l’une des racines de la fonction (𝑥) est multiple de 2 et vaut 34, détermine toutes les racines de (𝑥) en utilisant la division synthétique.

  • A34,23𝑖,2+3𝑖
  • B34,26𝑖,2+6𝑖
  • C34,23𝑖,2+3𝑖
  • D34,26𝑖,2+6𝑖

Écris la factorisation linéaire de (𝑥).

  • A(𝑥)=(4𝑥3)(𝑥+2+3𝑖)(𝑥+23𝑖)
  • B(𝑥)=(4𝑥3)(𝑥2+3𝑖)(𝑥23𝑖)
  • C(𝑥)=(4𝑥3)(𝑥2+6𝑖)(𝑥26𝑖)
  • D(𝑥)=(4𝑥3)(𝑥+2+6𝑖)(𝑥+26𝑖)

Q21:

Considère la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥6𝑥+14𝑥32𝑥40.

Sachant que l'un des zéros de 𝑓(𝑥) est 222, détermine tous les zéros de 𝑓(𝑥) en utilisant la division synthétique.

  • A222, 2+22, 13𝑖, 1+3𝑖
  • B222, 2+22, 13𝑖, 13𝑖
  • C222, 2+22, 1+3𝑖, 1+3𝑖
  • D222, 222, 13𝑖, 13𝑖
  • E222, 222, 13𝑖, 1+3𝑖

Écris la factorisation linéaire de 𝑓(𝑥).

  • A𝑓(𝑥)=𝑥2+22𝑥222(𝑥+1+3𝑖)(𝑥1+3𝑖)
  • B𝑓(𝑥)=𝑥2+22𝑥222(𝑥+13𝑖)(𝑥13𝑖)
  • C𝑓(𝑥)=𝑥2+22𝑥+2+22(𝑥1+3𝑖)(𝑥13𝑖)
  • D𝑓(𝑥)=𝑥+2+22𝑥2+22(𝑥1+3𝑖)(𝑥+1+3𝑖)
  • E𝑓(𝑥)=𝑥2+22𝑥222(𝑥1+3𝑖)(𝑥13𝑖)

Q22:

Considère la fonction définie par 𝑔(𝑥)=𝑥+6𝑥+38𝑥+24𝑥+136.

Sachant que l'une des racines de 𝑔(𝑥) est 3+5𝑖, détermine toutes les racines de 𝑔(𝑥) en utilisant la division synthétique.

  • A3+5𝑖, 35𝑖, 2𝑖, 2𝑖
  • B3+5𝑖, 35𝑖, 2, 2
  • C3+5𝑖, 3+5𝑖, 2𝑖, 2𝑖
  • D3+5𝑖, 35𝑖, 2

Écris la factorisation linéaire de 𝑔(𝑥).

  • A𝑔(𝑥)=(𝑥+35𝑖)(𝑥+3+5𝑖)(𝑥+2)(𝑥2)
  • B𝑔(𝑥)=(𝑥+35𝑖)(𝑥+3+5𝑖)(𝑥2)
  • C𝑔(𝑥)=(𝑥35𝑖)(𝑥+35𝑖)(𝑥+2𝑖)(𝑥2𝑖)
  • D𝑔(𝑥)=(𝑥+35𝑖)(𝑥+3+5𝑖)(𝑥+2𝑖)(𝑥2𝑖)

Q23:

Étant données 𝑓(𝑥)=𝑥+3𝑥13𝑥15 et 𝑓(1)=0, détermine les autres racines de 𝑓.

  • A𝑥=2, 𝑥=6
  • B𝑥=2, 𝑥=6
  • C𝑥=3, 𝑥=5
  • D𝑥=3, 𝑥=5
  • E𝑥=3, 𝑥=5

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