Feuille d'activités : Déterminer l'ensemble des racines d'une fonction polynomiale

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer l'ensemble des racines d'une fonction polynomiale du second degré, cubique ou de degré supérieur.

Q1:

Détermine, par factorisation, les zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥+2𝑥35.

  • A 7 , 5
  • B 7 , 5
  • C 5 , 7
  • D 6 , 8
  • E 5 , 7

Q2:

Quels sont les zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=2(𝑥1)7?

  • A 1 + 7 2 et 172
  • B 1 + 7 2 et 172
  • C 1 + 7 2 et 172
  • D 1 7 2 et 172
  • E 1 + 7 2 et 172

Q3:

Détermine, en factorisant, les zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑦)=𝑦+8𝑦+7.

  • A 7 , 1
  • B 8 , 1
  • C 7 , 1
  • D 7 , 1
  • E 1 , 8

Q4:

Détermine l’ensemble des zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥17𝑥+16.

  • A { 1 , 4 }
  • B { 4 , 1 , 1 , 4 }
  • C { 1 }
  • D { 4 }
  • E { 4 , 1 }

Q5:

Sachant que l’ensemble des zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥+𝑏𝑥+343 est {8,8}, trouve 𝑏.

Q6:

Détermine, en factorisant, les zéros de la fonction 𝑓(𝑥)=9𝑥+9𝑥40.

  • A 5 3 , 8 3
  • B 5 , 8
  • C 5 3 , 8 3
  • D 5 3 , 8 3
  • E 5 , 8

Q7:

Détermine l’ensemble des zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥𝑥812𝑥81.

  • A { 9 , 2 , 9 }
  • B { 2 , 9 }
  • C { 9 , 9 }
  • D { 9 , 2 , 9 }
  • E { 2 , 9 }

Q8:

Détermine l’ensemble des zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=13(𝑥4).

  • A { 4 }
  • B { 4 }
  • C 1 3 , 4
  • D 1 3 , 4

Q9:

Détermine l'ensemble des zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥1𝑥4.

  • A { 2 , 2 }
  • B { 2 , 2 }
  • C { 1 }
  • D { 1 }
  • E { 2 , 1 , 2 }

Q10:

𝑓 ( 𝑥 ) = 4 𝑥 + 𝑏 𝑥 5 𝑥 + 4 2 , 𝑓 ( 4 ) = 2 2 et 𝑓(2)=0. Détermine les autres racines de 𝑓(𝑥) et la valeur de 𝑏.

  • A 𝑏 = 1 6 , 𝑥 = 3 2 , 𝑥 = 7 2
  • B 𝑏 = 1 6 , 𝑥 = 3 2
  • C 𝑏 = 1 6 , 𝑥 = 3 2 , 𝑥 = 7 2
  • D 𝑏 = 1 6 , 𝑥 = 3 2 , 𝑥 = 7 2
  • E 𝑏 = 1 6 , 𝑥 = 3 2 , 𝑥 = 7 2

Q11:

Détermine toutes les racines de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥+5𝑥9𝑥45 et détermine leur ordre de multiplicité.

  • A 𝑥 = 3 , ordre de multiplicité 1, 𝑥=5, ordre de multiplicité 1, 𝑥=3, ordre de multiplicité 1
  • B 𝑥 = 5 , ordre de multiplicité 1, 𝑥=3, ordre de multiplicité 2
  • C 𝑥 = 3 , ordre de multiplicité 2, 𝑥=3, ordre de multiplicité 2
  • D 𝑥 = 3 , ordre de multiplicité 1, 𝑥=5, ordre de multiplicité 1

Q12:

Quelles sont les fonctions qui ont les mêmes racines parmi les couples de fonctions suivantes?

  • A 𝑘 ( 𝑥 ) = 𝑥 + 1 0 𝑥 et 𝑓(𝑥)=𝑥20𝑥+100𝑥
  • B 𝑘 ( 𝑥 ) = 𝑥 1 0 𝑥 et 𝑓(𝑥)=𝑥+20𝑥+100𝑥
  • C 𝑘 ( 𝑥 ) = 𝑥 + 1 0 𝑥 et 𝑓(𝑥)=𝑥20𝑥+100𝑥
  • D 𝑘 ( 𝑥 ) = 𝑥 1 0 𝑥 et 𝑓(𝑥)=𝑥+20𝑥+100𝑥
  • E 𝑘 ( 𝑥 ) = 𝑥 + 1 0 𝑥 et 𝑓(𝑥)=𝑥+20𝑥+100𝑥

Q13:

Détermine l’ensemble des zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=6𝑥𝑥+64.

  • A { 8 }
  • B { 8 , 8 }
  • C
  • D { 0 , 8 , 8 }
  • E { 0 }

Q14:

On pose 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+54𝑥+81 et 𝑔(𝑥)=𝑎𝑥+9. L’ensemble des zéros est le même pour les deux fonctions. Détermine la valeur de 𝑎 ainsi que l’ensemble des zéros 𝑍.

  • A 𝑎 = 3 , 𝑍 = { 3 }
  • B 𝑎 = 9 , 𝑍 = { 3 }
  • C 𝑎 = 3 , 𝑍 = { 3 }
  • D 𝑎 = 9 , 𝑍 = { 3 }
  • E 𝑎 = 3 , 𝑍 = 1 3

Q15:

Détermine l’ensemble des zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=9𝑥+225𝑥.

  • A { 5 , 5 , 9 }
  • B { 0 , 5 }
  • C { 9 , 5 , 5 }
  • D { 5 , 5 }
  • E { 5 , 0 , 5 }

Q16:

Détermine l’ensemble des zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=7𝑥112𝑥.

  • A { 0 , 4 }
  • B { 7 , 4 , 4 }
  • C { 7 , 4 , 4 }
  • D { 0 , 4 , 4 }
  • E { 4 , 4 }

Q17:

Quel est l'ensemble des racines de la fonction définie par 𝑛(𝑥)=𝑥𝑥+76𝑥+7?

  • A { 6 }
  • B { 7 }
  • C { 7 }
  • D { 6 }
  • E { 7 }

Q18:

Détermine l’ensemble des zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥24.

  • A
  • B { 0 , 2 4 }
  • C { 2 4 }
  • D { 2 4 }
  • E { 0 , 2 4 }

Q19:

Considère la fonction définie par 𝑘(𝑥)=5𝑥+2𝑥30𝑥88𝑥+40.

Sachant que l'une des racines de 𝑘(𝑥) est 13𝑖, détermine toutes les racines de 𝑘(𝑥) en utilisant la division synthétique.

  • A 1 3 𝑖 , 1 + 3 𝑖 , 2 , 2 5
  • B 1 3 𝑖 , 1 + 3 𝑖 , 2 , 2 5
  • C 1 3 𝑖 , 1 + 3 𝑖 , 4 , 1 5
  • D 1 3 𝑖 , 1 + 3 𝑖 , 4 , 1 5
  • E 1 3 𝑖 , 1 + 3 𝑖 , 1 , 4 5

Écris la factorisation linéaire de 𝑘(𝑥).

  • A 𝑘 ( 𝑥 ) = ( 𝑥 1 + 3 𝑖 ) ( 𝑥 1 3 𝑖 ) ( 5 𝑥 + 2 ) ( 𝑥 2 )
  • B 𝑘 ( 𝑥 ) = ( 𝑥 1 + 3 𝑖 ) ( 𝑥 1 3 𝑖 ) ( 5 𝑥 + 1 ) ( 𝑥 4 )
  • C 𝑘 ( 𝑥 ) = ( 𝑥 1 + 3 𝑖 ) ( 𝑥 1 3 𝑖 ) ( 5 𝑥 2 ) ( 𝑥 + 2 )
  • D 𝑘 ( 𝑥 ) = ( 𝑥 1 + 3 𝑖 ) ( 𝑥 1 3 𝑖 ) ( 5 𝑥 + 4 ) ( 𝑥 1 )
  • E 𝑘 ( 𝑥 ) = ( 𝑥 1 + 3 𝑖 ) ( 𝑥 1 3 𝑖 ) ( 5 𝑥 1 ) ( 𝑥 + 4 )

Q20:

Considère la fonction définie par (𝑥)=16𝑥88𝑥+313𝑥348𝑥+117.

Sachant que l’une des racines de la fonction (𝑥) est multiple de 2 et vaut 34, détermine toutes les racines de (𝑥) en utilisant la division synthétique.

  • A 3 4 , 2 3 𝑖 , 2 + 3 𝑖
  • B 3 4 , 2 6 𝑖 , 2 + 6 𝑖
  • C 3 4 , 2 3 𝑖 , 2 + 3 𝑖
  • D 3 4 , 2 6 𝑖 , 2 + 6 𝑖

Écris la factorisation linéaire de (𝑥).

  • A ( 𝑥 ) = ( 4 𝑥 3 ) ( 𝑥 + 2 + 3 𝑖 ) ( 𝑥 + 2 3 𝑖 )
  • B ( 𝑥 ) = ( 4 𝑥 3 ) ( 𝑥 2 + 3 𝑖 ) ( 𝑥 2 3 𝑖 )
  • C ( 𝑥 ) = ( 4 𝑥 3 ) ( 𝑥 2 + 6 𝑖 ) ( 𝑥 2 6 𝑖 )
  • D ( 𝑥 ) = ( 4 𝑥 3 ) ( 𝑥 + 2 + 6 𝑖 ) ( 𝑥 + 2 6 𝑖 )

Q21:

Considère la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥6𝑥+14𝑥32𝑥40.

Sachant que l'un des zéros de 𝑓(𝑥) est 222, détermine tous les zéros de 𝑓(𝑥) en utilisant la division synthétique.

  • A 2 2 2 , 2 + 2 2 , 1 3 𝑖 , 1 + 3 𝑖
  • B 2 2 2 , 2 + 2 2 , 1 3 𝑖 , 1 3 𝑖
  • C 2 2 2 , 2 + 2 2 , 1 + 3 𝑖 , 1 + 3 𝑖
  • D 2 2 2 , 2 2 2 , 1 3 𝑖 , 1 3 𝑖
  • E 2 2 2 , 2 2 2 , 1 3 𝑖 , 1 + 3 𝑖

Écris la factorisation linéaire de 𝑓(𝑥).

  • A 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 2 + 2 2 𝑥 2 2 2 ( 𝑥 + 1 + 3 𝑖 ) ( 𝑥 1 + 3 𝑖 )
  • B 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 2 + 2 2 𝑥 2 2 2 ( 𝑥 + 1 3 𝑖 ) ( 𝑥 1 3 𝑖 )
  • C 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 2 + 2 2 𝑥 + 2 + 2 2 ( 𝑥 1 + 3 𝑖 ) ( 𝑥 1 3 𝑖 )
  • D 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 + 2 + 2 2 𝑥 2 + 2 2 ( 𝑥 1 + 3 𝑖 ) ( 𝑥 + 1 + 3 𝑖 )
  • E 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 2 + 2 2 𝑥 2 2 2 ( 𝑥 1 + 3 𝑖 ) ( 𝑥 1 3 𝑖 )

Q22:

Considère la fonction définie par 𝑔(𝑥)=𝑥+6𝑥+38𝑥+24𝑥+136.

Sachant que l'une des racines de 𝑔(𝑥) est 3+5𝑖, détermine toutes les racines de 𝑔(𝑥) en utilisant la division synthétique.

  • A 3 + 5 𝑖 , 3 5 𝑖 , 2 𝑖 , 2 𝑖
  • B 3 + 5 𝑖 , 3 5 𝑖 , 2 , 2
  • C 3 + 5 𝑖 , 3 + 5 𝑖 , 2 𝑖 , 2 𝑖
  • D 3 + 5 𝑖 , 3 5 𝑖 , 2

Écris la factorisation linéaire de 𝑔(𝑥).

  • A 𝑔 ( 𝑥 ) = ( 𝑥 + 3 5 𝑖 ) ( 𝑥 + 3 + 5 𝑖 ) ( 𝑥 + 2 ) ( 𝑥 2 )
  • B 𝑔 ( 𝑥 ) = ( 𝑥 + 3 5 𝑖 ) ( 𝑥 + 3 + 5 𝑖 ) ( 𝑥 2 )
  • C 𝑔 ( 𝑥 ) = ( 𝑥 3 5 𝑖 ) ( 𝑥 + 3 5 𝑖 ) ( 𝑥 + 2 𝑖 ) ( 𝑥 2 𝑖 )
  • D 𝑔 ( 𝑥 ) = ( 𝑥 + 3 5 𝑖 ) ( 𝑥 + 3 + 5 𝑖 ) ( 𝑥 + 2 𝑖 ) ( 𝑥 2 𝑖 )

Q23:

Étant données 𝑓(𝑥)=𝑥+3𝑥13𝑥15 et 𝑓(1)=0, détermine les autres racines de 𝑓.

  • A 𝑥 = 2 , 𝑥 = 6
  • B 𝑥 = 2 , 𝑥 = 6
  • C 𝑥 = 3 , 𝑥 = 5
  • D 𝑥 = 3 , 𝑥 = 5
  • E 𝑥 = 3 , 𝑥 = 5

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