Feuille d'activités : Déterminer l'ensemble des racines d'une fonction polynomiale

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Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer l'ensemble des racines d'une fonction polynomiale du second degré, cubique ou de degré supérieur.

Q1:

Détermine, par factorisation, les zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥+2𝑥−35.

  • A−7,−5
  • B−7,5
  • C5,7
  • D−6,8
  • E−5,7

Q2:

Quels sont les zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=2(𝑥−1)−7 ?

  • A−1+72 et −1−72
  • B−1+√72 et −1−√72
  • C1+√72 et 1−√72
  • D1−√72 et −1−√72
  • E1+72 et 1−72

Q3:

Détermine, en factorisant, les zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑦)=𝑦+8𝑦+7.

  • A−7,1
  • B−8,1
  • C−7,−1
  • D7,1
  • E−1,8

Q4:

Détermine l’ensemble des zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥−17𝑥+16.

  • A{1,4}
  • B{−4,−1,1,4}
  • C{1}
  • D{4}
  • E{−4,−1}

Q5:

Sachant que l’ensemble des zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥+𝑏𝑥+343 est {−8,8}, trouve 𝑏.

Q6:

Détermine, en factorisant, les zéros de la fonction 𝑓(𝑥)=9𝑥+9𝑥−40.

  • A53,−83
  • B−5,8
  • C−53,83
  • D−53,−83
  • E5,−8

Q7:

Détermine l’ensemble des zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥𝑥−81−2𝑥−81.

  • A{−9,−2,9}
  • B{2,9}
  • C{−9,9}
  • D{−9,2,9}
  • E{−2,9}

Q8:

Détermine l’ensemble des zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=13(𝑥−4).

  • A{4}
  • B13,4
  • C{−4}
  • D13,−4

Q9:

Détermine l'ensemble des zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥−1𝑥−4.

  • Aℝ⧵{−2,2}
  • B{−2,2}
  • Cℝ⧵{1}
  • D{1}
  • E{−2,1,2}

Q10:

𝑓(𝑥)=4𝑥+𝑏𝑥−5𝑥+42, 𝑓(4)=22 et 𝑓(2)=0. Détermine les autres racines de 𝑓(𝑥) et la valeur de 𝑏.

  • A𝑏=16, 𝑥=−32, 𝑥=72
  • B𝑏=−16, 𝑥=−32
  • C𝑏=−16, 𝑥=−32, 𝑥=72
  • D𝑏=−16, 𝑥=−32, 𝑥=−72
  • E𝑏=−16, 𝑥=32, 𝑥=72

Q11:

Détermine toutes les racines de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥+5𝑥−9𝑥−45 et détermine leur ordre de multiplicité.

  • A𝑥=−3, ordre de multiplicité 1, 𝑥=−5, ordre de multiplicité 1, 𝑥=3, ordre de multiplicité 1
  • B𝑥=−5, ordre de multiplicité 1, 𝑥=3, ordre de multiplicité 2
  • C𝑥=−3, ordre de multiplicité 2, 𝑥=3, ordre de multiplicité 2
  • D𝑥=−3, ordre de multiplicité 1, 𝑥=−5, ordre de multiplicité 1

Q12:

Quelles sont les fonctions qui ont les mêmes racines parmi les couples de fonctions suivantes ?

  • A𝑘(𝑥)=𝑥+10𝑥 et 𝑓(𝑥)=𝑥−20𝑥+100𝑥
  • B𝑘(𝑥)=𝑥−10𝑥 et 𝑓(𝑥)=𝑥+20𝑥+100𝑥
  • C𝑘(𝑥)=𝑥+10𝑥 et 𝑓(𝑥)=𝑥−20𝑥+100𝑥
  • D𝑘(𝑥)=𝑥−10𝑥 et 𝑓(𝑥)=𝑥+20𝑥+100𝑥
  • E𝑘(𝑥)=𝑥+10𝑥 et 𝑓(𝑥)=𝑥+20𝑥+100𝑥

Q13:

Détermine l’ensemble des zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=6𝑥𝑥+64.

  • A{−8}
  • B{−8,8}
  • C∅
  • D{0,−8,8}
  • E{0}

Q14:

On pose 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+54𝑥+81 et 𝑔(𝑥)=𝑎𝑥+9. L’ensemble des zéros est le même pour les deux fonctions. Détermine la valeur de 𝑎 ainsi que l’ensemble des zéros 𝑍.

  • A𝑎=3, 𝑍={−3}
  • B𝑎=9, 𝑍={−3}
  • C𝑎=3, 𝑍={3}
  • D𝑎=9, 𝑍={3}
  • E𝑎=3, 𝑍=−13

Q15:

Détermine l’ensemble des zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=−9𝑥+225𝑥.

  • A{−5,5,9}
  • B{0,5}
  • C{−9,−5,5}
  • D{−5,5}
  • E{−5,0,5}

Q16:

Détermine l’ensemble des zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=7𝑥−112𝑥.

  • A{0,4}
  • B{−7,4,−4}
  • C{7,4,−4}
  • D{0,4,−4}
  • E{4,−4}

Q17:

Quel est l'ensemble des racines de la fonction définie par 𝑛(𝑥)=𝑥𝑥+7−6𝑥+7 ?

  • A{−6}
  • B{7}
  • Cℝ⧵{−7}
  • D{6}
  • E{−7}

Q18:

Détermine l’ensemble des zéros de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=−𝑥−24.

  • A∅
  • B{0,−24}
  • C{24}
  • D{−24}
  • E{0,24}

Q19:

Considère la fonction définie par 𝑘(𝑥)=−5𝑥+2𝑥−30𝑥−88𝑥+40.

Sachant que l'une des racines de 𝑘(𝑥) est 1−3𝑖, détermine toutes les racines de 𝑘(𝑥) en utilisant la division synthétique.

  • A1−3𝑖,1+3𝑖,2,−25
  • B1−3𝑖,1+3𝑖,−2,25
  • C1−3𝑖,1+3𝑖,4,−15
  • D1−3𝑖,1+3𝑖,−4,15
  • E1−3𝑖,1+3𝑖,1,−45

Écris la factorisation linéaire de 𝑘(𝑥).

  • A𝑘(𝑥)=−(𝑥−1+3𝑖)(𝑥−1−3𝑖)(5𝑥+2)(𝑥−2)
  • B𝑘(𝑥)=−(𝑥−1+3𝑖)(𝑥−1−3𝑖)(5𝑥+1)(𝑥−4)
  • C𝑘(𝑥)=−(𝑥−1+3𝑖)(𝑥−1−3𝑖)(5𝑥−2)(𝑥+2)
  • D𝑘(𝑥)=−(𝑥−1+3𝑖)(𝑥−1−3𝑖)(5𝑥+4)(𝑥−1)
  • E𝑘(𝑥)=−(𝑥−1+3𝑖)(𝑥−1−3𝑖)(5𝑥−1)(𝑥+4)

Q20:

Considère la fonction définie par ℎ(𝑥)=16𝑥−88𝑥+313𝑥−348𝑥+117.

Sachant que l’une des racines de la fonction ℎ(𝑥) est multiple de 2 et vaut 34, détermine toutes les racines de ℎ(𝑥) en utilisant la division synthétique.

  • A34,−2−3𝑖,−2+3𝑖
  • B34,2−6𝑖,2+6𝑖
  • C34,2−3𝑖,2+3𝑖
  • D34,−2−6𝑖,−2+6𝑖

Écris la factorisation linéaire de ℎ(𝑥).

  • Aℎ(𝑥)=(4𝑥−3)(𝑥+2+3𝑖)(𝑥+2−3𝑖)
  • Bℎ(𝑥)=(4𝑥−3)(𝑥−2+3𝑖)(𝑥−2−3𝑖)
  • Cℎ(𝑥)=(4𝑥−3)(𝑥−2+6𝑖)(𝑥−2−6𝑖)
  • Dℎ(𝑥)=(4𝑥−3)(𝑥+2+6𝑖)(𝑥+2−6𝑖)

Q21:

Considère la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥−6𝑥+14𝑥−32𝑥−40.

Sachant que l'un des zéros de 𝑓(𝑥) est 2−2√2, détermine tous les zéros de 𝑓(𝑥) en utilisant la division synthétique.

  • A2−2√2, 2+2√2, 1−3𝑖, 1+3𝑖
  • B2−2√2, 2+2√2, −1−3𝑖, 1−3𝑖
  • C2−2√2, 2+2√2, −1+3𝑖, 1+3𝑖
  • D−2−2√2, 2−2√2, 1−3𝑖, −1−3𝑖
  • E2−2√2, −2−2√2, 1−3𝑖, 1+3𝑖

Écris la factorisation linéaire de 𝑓(𝑥).

  • A𝑓(𝑥)=𝑥−2+2√2𝑥−2−2√2(𝑥+1+3𝑖)(𝑥−1+3𝑖)
  • B𝑓(𝑥)=𝑥−2+2√2𝑥−2−2√2(𝑥+1−3𝑖)(𝑥−1−3𝑖)
  • C𝑓(𝑥)=𝑥−2+2√2𝑥+2+2√2(𝑥−1+3𝑖)(𝑥−1−3𝑖)
  • D𝑓(𝑥)=𝑥+2+2√2𝑥−2+2√2(𝑥−1+3𝑖)(𝑥+1+3𝑖)
  • E𝑓(𝑥)=𝑥−2+2√2𝑥−2−2√2(𝑥−1+3𝑖)(𝑥−1−3𝑖)

Q22:

Considère la fonction définie par 𝑔(𝑥)=𝑥+6𝑥+38𝑥+24𝑥+136.

Sachant que l'une des racines de 𝑔(𝑥) est −3+5𝑖, détermine toutes les racines de 𝑔(𝑥) en utilisant la division synthétique.

  • A−3+5𝑖, −3−5𝑖, −2𝑖, 2𝑖
  • B−3+5𝑖, −3−5𝑖, −2, 2
  • C3+5𝑖, −3+5𝑖, −2𝑖, 2𝑖
  • D−3+5𝑖, −3−5𝑖, 2

Écris la factorisation linéaire de 𝑔(𝑥).

  • A𝑔(𝑥)=(𝑥+3−5𝑖)(𝑥+3+5𝑖)(𝑥+2)(𝑥−2)
  • B𝑔(𝑥)=(𝑥+3−5𝑖)(𝑥+3+5𝑖)(𝑥−2)
  • C𝑔(𝑥)=(𝑥−3−5𝑖)(𝑥+3−5𝑖)(𝑥+2𝑖)(𝑥−2𝑖)
  • D𝑔(𝑥)=(𝑥+3−5𝑖)(𝑥+3+5𝑖)(𝑥+2𝑖)(𝑥−2𝑖)

Q23:

Étant données 𝑓(𝑥)=𝑥+3𝑥−13𝑥−15 et 𝑓(−1)=0, détermine les autres racines de 𝑓.

  • A𝑥=−2, 𝑥=−6
  • B𝑥=2, 𝑥=6
  • C𝑥=−3, 𝑥=−5
  • D𝑥=3, 𝑥=−5
  • E𝑥=−3, 𝑥=5

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