Feuille d'activités de la leçon : Le triangle de Pascal et la formule du binôme de Newton Mathématiques
Dans cette feuille d'activités, nous nous entraînerons à utiliser le triangle de Pascal pour déterminer les coefficients dans le développement algébrique de toute expression binomiale de la forme (𝑎+𝑏)⌃𝑛.
Q1:
Simon a étudié la relation entre le triangle de Pascal et la formule du binôme. Il a remarqué que chaque ligne du triangle de Pascal peut être utilisée pour déterminer les coefficients du développement binomial de , comme c'est indiqué sur la figure. Par exemple, la cinquième ligne du triangle de Pascal peut être utilisée pour déterminer les coefficients du développement de .
En calculant la ligne suivante du triangle de Pascal, détermine les coefficients du développement de .
- A1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1
- B2, 8, 12, 8, 2
- C1, 7, 21, 34, 34, 21, 7, 1
- D1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
- E1, 6, 8, 20, 8, 1
Simon veut maintenant calculer les coefficients pour chacun des termes du développement de . En remplaçant avec dans l'expression ci-dessus, ou autrement, calcule tous les coefficients du développement.
- A8, 64, 24, 8, 1
- B8, 32, 24, 8, 1
- C16, 64, 24, 8, 1
- D16, 32, 24, 8, 1
- E8, 32, 24, 8, 1
Q2:
Rémi sait qu'il peut utiliser la rangée du triangle de Pascal pour calculer les coefficients du développement .
Calcule les nombres dans la rangée du triangle de Pascal, puis écris les coefficients du développement .
- A1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
- B2, 6, 15, 20, 15, 6, 2
- C1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1
- D1, 5, 10, 10, 5, 1
- E1, 3, 3, 1
Maintenant, en considérant les différentes puissances de et , et en utilisant le triangle de Pascal, détermine les coefficients du développement .
- A32, , 320, , 160,
- B64, 160, 320, 320, 160, 64
- C32, 160, 320, 320, 160, 32
- D64, , 320, , 160,
- E, 160, , 320, , 32
Q3:
Voici une image partiellement remplie du triangle de Pascal. En repérant les motifs, ou autrement, détermine les valeurs de , , et .
- A, , et
- B, , et
- C, , et
- D, , et
- E, , et
Q4:
Développe complètement l'expression .
- A
- B
- C
- D
- E
Q5:
Utilise le triangle de Pascal pour développer l'expression .
- A
- B
- C
- D
- E
Q6:
Utilise le triangle de Pascal pour développer l'expression .
- A
- B
- C
- D
- E
Q7:
Utilise le triangle de Pascal pour développer l'expression .
- A
- B
- C
- D
- E
Q8:
Utilise le triangle de Pascal pour déterminer les coefficients des termes qui résultent du développement de .
- A
- B
- C
- D
- E
Q9:
Écris les coefficients des termes qui résultent du développement de .
- A
- B
- C
- D
- E
Q10:
Trouve le produit des coefficients des termes dans le développement de .
- A9
- B18
- C
- D
Q11:
Détermine la somme des coefficients des termes dans la forme développée de
- A
- B
- C0
- D
Q12:
Réponds aux questions suivantes pour le développement de .
Sachant que le coefficient de est 160, et que est positif, détermine .
- A
- B
- C
- D
- E
Ainsi, en utilisant ta valeur de , calcule les trois premiers termes dans l'ordre croissant des puissances de dans le développement.
- A
- B
- C
- D
- E
Q13:
Détermine les coefficients des termes qui résultent du développement de .
- A
- B
- C
- D
- E
Q14:
Détermine le coefficient de dans le développement de .
Q15:
Détermine le coefficient de dans le développement de .
Q16:
Détermine le coefficient de dans .
Q17:
Détermine le coefficient de dans le développement de .
Q18:
Dans le développement de suivant les puissances décroissantes de , détermine le coefficient du troisième terme.
Q19:
Dans le développement de suivant la puissance croissante de , si les deux termes moyens sont égaux, alors détermine la valeur de .
- A
- B
- C
- D
- E
Q20:
Détermine la somme des coefficients des termes qui résultent du développement de .
Q21:
Détermine la somme des coefficients des trois premiers termes qui résultent du développement de suivant les puissances décroissantes de .
Q22:
Dans le développement de suivant les puissances décroissantes de , si le coefficient du deuxième terme est égal à , alors détermine la valeur de .
Q23:
Dans le développement de suivant les puissances décroissantes de , détermine le coefficient de .
Q24:
Détermine la somme des coefficients des trois premiers termes qui résultent du développement de suivant les puissances décroissantes de .
Q25:
Dans le développement de suivant les puissances décroissantes de , détermine le deuxième terme en partant de la fin.
- A
- B
- C
- D
- E