Feuille d'activités : Relier le triangle de Pascal au coefficient du développement du binôme

Dans cette feuille d'exercices, nous allons nous entraîner à utiliser le triangle de Pascal pour déterminer les coefficients du développement algébrique de toute expression binomiale de la forme (a+x)^n.

Q1:

Rémi sait qu'il peut utiliser la 6e rangée du triangle de Pascal pour calculer les coefficients du développement (𝑎+𝑏).

Calcule les nombres dans la 6e rangée du triangle de Pascal, puis écris les coefficients du développement (𝑎+𝑏).

  • A1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
  • B2, 6, 15, 20, 15, 6, 2
  • C1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1
  • D1, 5, 10, 10, 5, 1
  • E1, 3, 3, 1

Maintenant, en considérant les différentes puissances de 𝑎 et 𝑏, et en utilisant le triangle de Pascal, détermine les coefficients du développement (2𝑎2𝑏).

  • A32, 160, 320, 320, 160, 32
  • B64, 160, 320, 320, 160, 64
  • C32, 160, 320, 320, 160, 32
  • D64, 160, 320, 640, 160, 64
  • E32, 160, 320, 320, 160, 32

Q2:

Voici une image partiellement remplie du triangle de Pascal. En repérant les motifs, ou autrement, détermine les valeurs de 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑.

  • A𝑎=6, 𝑏=11, 𝑐=21 et 𝑑=10
  • B𝑎=6, 𝑏=11, 𝑐=15 et 𝑑=10
  • C𝑎=9, 𝑏=12, 𝑐=21 et 𝑑=10
  • D𝑎=10, 𝑏=15, 𝑐=21 et 𝑑=11
  • E𝑎=10, 𝑏=15, 𝑐=20 et 𝑑=11

Q3:

Développe complètement l'expression (2+3𝑥).

  • A1024+7680𝑥+34560𝑥+103680𝑥+217728𝑥+326592𝑥+349920𝑥+524880𝑥+393660𝑥+196830𝑥+59049𝑥
  • B1024+15360𝑥+34560𝑥+46080𝑥+40320𝑥+24192𝑥+10080𝑥+2880𝑥+540𝑥+60𝑥+3𝑥
  • C1024+15360𝑥+103680𝑥+414720𝑥+1088640𝑥+1959552𝑥+2449440𝑥+2099520𝑥+1180980𝑥+393660𝑥+59049𝑥
  • D1024+5120𝑥+11520𝑥+15360𝑥+13440𝑥+8064𝑥+3360𝑥+960𝑥+180𝑥+20𝑥+𝑥
  • E10240+69120𝑥+276480𝑥+725760𝑥+1306368𝑥+1632960𝑥+1399680𝑥+787320𝑥+262440𝑥+39366𝑥+59049𝑥

Q4:

Utilise le triangle de Pascal pour développer l'expression (𝑥+𝑦).

  • A𝑥+3𝑥𝑦+6𝑥𝑦+4𝑥𝑦+𝑦
  • B𝑥+3𝑥𝑦+9𝑥𝑦+3𝑥𝑦+𝑦
  • C𝑥+4𝑥𝑦+9𝑥𝑦+4𝑥𝑦+𝑦
  • D𝑥+4𝑥𝑦+6𝑥𝑦+4𝑥𝑦+𝑦
  • E𝑥+4𝑥𝑦+6𝑥𝑦+4𝑥𝑦+𝑦

Q5:

Utilise le triangle de Pascal pour développer l'expression 𝑥+1𝑥.

  • A𝑥+4𝑥+6+4𝑥+1𝑥
  • B𝑥+4𝑥+6+4𝑥+1𝑥
  • C𝑥+4𝑥+6+4𝑥+1𝑥
  • D𝑥+4𝑥+6+1𝑥+1𝑥
  • E𝑥+6𝑥+6+4𝑥+1𝑥

Q6:

Utilise le triangle de Pascal pour développer l'expression (3+𝑥).

  • A𝑥+12𝑥+54𝑥+108𝑥
  • B𝑥+12𝑥+54𝑥+90𝑥+81
  • C𝑥+12𝑥+54𝑥+108𝑥+81
  • D𝑥+9𝑥+81𝑥+81𝑥+81
  • E𝑥+4𝑥+18𝑥+36𝑥+27

Q7:

Utilise le triangle de Pascal pour déterminer les coefficients des termes qui résultent du développement de (𝑥+𝑦).

  • A1;6;15;20;15;6;1
  • B1;6;7;13;7;6;1
  • C1;3;6;10;15;21;28
  • D1;6;6;6;6;6;1
  • E1;5;10;10;5;1

Q8:

Écris les coefficients des termes qui résultent du développement de (𝑥+𝑦).

  • A1;3;3;1
  • B3;6;3
  • C1;2;2;1
  • D3;6;6;3
  • E1;4;6;4;1

Q9:

Trouve le produit des coefficients des termes dans le développement de (1𝑥).

  • A9
  • B18
  • C18
  • D9

Q10:

Détermine la somme des coefficients des termes dans la forme développée de 𝑥+1𝑥.

  • A2
  • B2
  • C0
  • D2

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