Feuille d'activités de la leçon : Le triangle de Pascal et la formule du binôme de Newton Mathématiques

Dans cette feuille d'activités, nous nous entraînerons à utiliser le triangle de Pascal pour déterminer les coefficients dans le développement algébrique de toute expression binomiale de la forme (𝑎+𝑏)⌃𝑛.

Q1:

Simon a étudié la relation entre le triangle de Pascal et la formule du binôme. Il a remarqué que chaque ligne du triangle de Pascal peut être utilisée pour déterminer les coefficients du développement binomial de (𝑥+𝑦), comme c'est indiqué sur la figure. Par exemple, la cinquième ligne du triangle de Pascal peut être utilisée pour déterminer les coefficients du développement de (𝑥+𝑦).

En calculant la ligne suivante du triangle de Pascal, détermine les coefficients du développement de (𝑥+𝑦).

  • A1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1
  • B2, 8, 12, 8, 2
  • C1, 7, 21, 34, 34, 21, 7, 1
  • D1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
  • E1, 6, 8, 20, 8, 1

Simon veut maintenant calculer les coefficients pour chacun des termes du développement de (2𝑥+𝑦). En remplaçant avec 2𝑥 dans l'expression ci-dessus, ou autrement, calcule tous les coefficients du développement.

  • A8, 64, 24, 8, 1
  • B8, 32, 24, 8, 1
  • C16, 64, 24, 8, 1
  • D16, 32, 24, 8, 1
  • E8, 32, 24, 8, 1

Q2:

Rémi sait qu'il peut utiliser la 6e rangée du triangle de Pascal pour calculer les coefficients du développement (𝑎+𝑏).

Calcule les nombres dans la 6e rangée du triangle de Pascal, puis écris les coefficients du développement (𝑎+𝑏).

  • A1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
  • B2, 6, 15, 20, 15, 6, 2
  • C1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1
  • D1, 5, 10, 10, 5, 1
  • E1, 3, 3, 1

Maintenant, en considérant les différentes puissances de 𝑎 et 𝑏, et en utilisant le triangle de Pascal, détermine les coefficients du développement (2𝑎−2𝑏).

  • A32, −160, 320, −320, 160, −32
  • B64, 160, 320, 320, 160, 64
  • C32, 160, 320, 320, 160, 32
  • D64, −160, 320, −640, 160, −64
  • E−32, 160, −320, 320, −160, 32

Q3:

Voici une image partiellement remplie du triangle de Pascal. En repérant les motifs, ou autrement, détermine les valeurs de 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑.

  • A𝑎=6, 𝑏=11, 𝑐=21 et 𝑑=10
  • B𝑎=6, 𝑏=11, 𝑐=15 et 𝑑=10
  • C𝑎=9, 𝑏=12, 𝑐=21 et 𝑑=10
  • D𝑎=10, 𝑏=15, 𝑐=21 et 𝑑=11
  • E𝑎=10, 𝑏=15, 𝑐=20 et 𝑑=11

Q4:

Développe complètement l'expression (2+3𝑥).

  • A1024+7680𝑥+34560𝑥+103680𝑥+217728𝑥+326592𝑥+349920𝑥+524880𝑥+393660𝑥+196830𝑥+59049𝑥
  • B1024+15360𝑥+34560𝑥+46080𝑥+40320𝑥+24192𝑥+10080𝑥+2880𝑥+540𝑥+60𝑥+3𝑥
  • C1024+15360𝑥+103680𝑥+414720𝑥+1088640𝑥+1959552𝑥+2449440𝑥+2099520𝑥+1180980𝑥+393660𝑥+59049𝑥
  • D1024+5120𝑥+11520𝑥+15360𝑥+13440𝑥+8064𝑥+3360𝑥+960𝑥+180𝑥+20𝑥+𝑥
  • E10240+69120𝑥+276480𝑥+725760𝑥+1306368𝑥+1632960𝑥+1399680𝑥+787320𝑥+262440𝑥+39366𝑥+59049𝑥

Q5:

Utilise le triangle de Pascal pour développer l'expression (𝑥+𝑦).

  • A𝑥+3𝑥𝑦+6𝑥𝑦+4𝑥𝑦+𝑦
  • B𝑥+3𝑥𝑦+9𝑥𝑦+3𝑥𝑦+𝑦
  • C𝑥+4𝑥𝑦+9𝑥𝑦+4𝑥𝑦+𝑦
  • D𝑥+4𝑥𝑦+6𝑥𝑦+4𝑥𝑦+𝑦
  • E𝑥+4𝑥𝑦+6𝑥𝑦+4𝑥𝑦+𝑦

Q6:

Utilise le triangle de Pascal pour développer l'expression 𝑥+1𝑥.

  • A𝑥+4𝑥+6+4𝑥+1𝑥
  • B𝑥+4𝑥+6+4𝑥+1𝑥
  • C𝑥+4𝑥+6+4𝑥+1𝑥
  • D𝑥+4𝑥+6+1𝑥+1𝑥
  • E𝑥+6𝑥+6+4𝑥+1𝑥

Q7:

Utilise le triangle de Pascal pour développer l'expression (3+𝑥).

  • A𝑥+12𝑥+54𝑥+108𝑥
  • B𝑥+12𝑥+54𝑥+90𝑥+81
  • C𝑥+12𝑥+54𝑥+108𝑥+81
  • D𝑥+9𝑥+81𝑥+81𝑥+81
  • E𝑥+4𝑥+18𝑥+36𝑥+27

Q8:

Utilise le triangle de Pascal pour déterminer les coefficients des termes qui résultent du développement de (𝑥+𝑦).

  • A1;6;15;20;15;6;1
  • B1;6;7;13;7;6;1
  • C1;3;6;10;15;21;28
  • D1;6;6;6;6;6;1
  • E1;5;10;10;5;1

Q9:

Écris les coefficients des termes qui résultent du développement de (𝑥+𝑦).

  • A1;3;3;1
  • B3;6;3
  • C1;2;2;1
  • D3;6;6;3
  • E1;4;6;4;1

Q10:

Trouve le produit des coefficients des termes dans le développement de (1−𝑥).

  • A9
  • B18
  • C−18
  • D−9

Q11:

Détermine la somme des coefficients des termes dans la forme développée de 𝑥+1𝑥.

  • A2
  • B2
  • C0
  • D2

Q12:

Réponds aux questions suivantes pour le développement de (1+𝑘𝑥).

Sachant que le coefficient de 𝑥 est 160, et que 𝑘 est positif, détermine 𝑘.

  • A𝑘=√16
  • B𝑘=4√10
  • C𝑘=4
  • D𝑛=16
  • E𝑘=2

Ainsi, en utilisant ta valeur de 𝑘, calcule les trois premiers termes dans l'ordre croissant des puissances de 𝑥 dans le développement.

  • A1+20𝑥+160𝑥
  • B1−20𝑥+160𝑥
  • C1+80𝑥+2560𝑥
  • D1+20√10𝑥+40√10𝑥
  • E1+10𝑥+40𝑥

Q13:

Détermine les coefficients des termes qui résultent du développement de (𝑥+𝑦).

  • A1;5;10;5;1
  • B1;3;3;1
  • C1;2;1
  • D1;4;4;1
  • E1;4;6;4;1

Q14:

Détermine le coefficient de 𝑥 dans le développement de (2−5𝑥).

Q15:

Détermine le coefficient de 𝑥 dans le développement de 𝑥+2𝑥𝑥−2𝑥.

Q16:

Détermine le coefficient de 𝑥 dans (1−𝑥)(5−2𝑥).

Q17:

Détermine le coefficient de 𝑥 dans le développement de (2+3𝑥).

Q18:

Dans le développement de 𝑥+2𝑥 suivant les puissances décroissantes de 𝑥, détermine le coefficient du troisième terme.

Q19:

Dans le développement de (2𝑥+5𝑦) suivant la puissance croissante de 𝑦, si les deux termes moyens sont égaux, alors détermine la valeur de 𝑥𝑦.

  • A254
  • B52
  • C25
  • D32
  • E425

Q20:

Détermine la somme des coefficients des termes qui résultent du développement de (𝑥−𝑦).

Q21:

Détermine la somme des coefficients des trois premiers termes qui résultent du développement de (𝑥+2) suivant les puissances décroissantes de 𝑥.

Q22:

Dans le développement de (2𝑥+𝑎) suivant les puissances décroissantes de 𝑥, si le coefficient du deuxième terme est égal à −1344, alors détermine la valeur de 𝑎.

Q23:

Dans le développement de 2−𝑥 suivant les puissances décroissantes de 𝑥, détermine le coefficient de 𝑥.

Q24:

Détermine la somme des coefficients des trois premiers termes qui résultent du développement de (𝑥−2) suivant les puissances décroissantes de 𝑥.

Q25:

Dans le développement de 𝑥−12 suivant les puissances décroissantes de 𝑥, détermine le deuxième terme en partant de la fin.

  • A−4𝑥
  • B7𝑥
  • C−𝑥16
  • D7𝑥16
  • E𝑥16

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