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Feuille d'activités de la leçon : Triangle de Pascal et formule du binôme de Newton Mathématiques

Dans cette feuille d'activités, nous nous entraînerons à utiliser le triangle de Pascal pour déterminer les coefficients dans le développement algébrique de toute expression binomiale de la forme (𝑎+𝑏)⌃𝑛.

Q1:

Voici une image partiellement remplie du triangle de Pascal. En repérant les motifs, ou autrement, détermine les valeurs de 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑.

  • A𝑎=6, 𝑏=11, 𝑐=21 et 𝑑=10
  • B𝑎=6, 𝑏=11, 𝑐=15 et 𝑑=10
  • C𝑎=9, 𝑏=12, 𝑐=21 et 𝑑=10
  • D𝑎=10, 𝑏=15, 𝑐=21 et 𝑑=11
  • E𝑎=10, 𝑏=15, 𝑐=20 et 𝑑=11

Q2:

Utilise le triangle de Pascal pour développer l'expression (𝑥+𝑦).

  • A𝑥+3𝑥𝑦+6𝑥𝑦+4𝑥𝑦+𝑦
  • B𝑥+3𝑥𝑦+9𝑥𝑦+3𝑥𝑦+𝑦
  • C𝑥+4𝑥𝑦+9𝑥𝑦+4𝑥𝑦+𝑦
  • D𝑥+4𝑥𝑦+6𝑥𝑦+4𝑥𝑦+𝑦
  • E𝑥+4𝑥𝑦+6𝑥𝑦+4𝑥𝑦+𝑦

Q3:

Simon a étudié la relation entre le triangle de Pascal et la formule du binôme. Il a remarqué que chaque ligne du triangle de Pascal peut être utilisée pour déterminer les coefficients du développement binomial de (𝑥+𝑦), comme c'est indiqué sur la figure. Par exemple, la cinquième ligne du triangle de Pascal peut être utilisée pour déterminer les coefficients du développement de (𝑥+𝑦).

En calculant la ligne suivante du triangle de Pascal, détermine les coefficients du développement de (𝑥+𝑦).

  • A1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1
  • B2, 8, 12, 8, 2
  • C1, 7, 21, 34, 34, 21, 7, 1
  • D1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
  • E1, 6, 8, 20, 8, 1

Simon veut maintenant calculer les coefficients pour chacun des termes du développement de (2𝑥+𝑦). En remplaçant avec 2𝑥 dans l'expression ci-dessus, ou autrement, calcule tous les coefficients du développement.

  • A8, 64, 24, 8, 1
  • B8, 32, 24, 8, 1
  • C16, 64, 24, 8, 1
  • D16, 32, 24, 8, 1
  • E8, 32, 24, 8, 1

Q4:

Rémi sait qu'il peut utiliser la 6e rangée du triangle de Pascal pour calculer les coefficients du développement (𝑎+𝑏).

Calcule les nombres dans la 6e rangée du triangle de Pascal, puis écris les coefficients du développement (𝑎+𝑏).

  • A1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
  • B2, 6, 15, 20, 15, 6, 2
  • C1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1
  • D1, 5, 10, 10, 5, 1
  • E1, 3, 3, 1

Maintenant, en considérant les différentes puissances de 𝑎 et 𝑏, et en utilisant le triangle de Pascal, détermine les coefficients du développement (2𝑎2𝑏).

  • A32, 160, 320, 320, 160, 32
  • B64, 160, 320, 320, 160, 64
  • C32, 160, 320, 320, 160, 32
  • D64, 160, 320, 640, 160, 64
  • E32, 160, 320, 320, 160, 32

Q5:

Détermine le coefficient de 𝑎 dans le développement de 𝑎+1𝑎𝑎+1𝑎.

Q6:

Détermine le coefficient de 𝑥 dans le développement de (25𝑥).

Q7:

Détermine les 5 premiers termes du développement de (2+𝑥) dans l'ordre croissant des puissances de 𝑥.

  • A262144+2359296𝑥+10027008𝑥+26738688𝑥+50135040𝑥
  • B4718592+20054016𝑥+53477376𝑥+100270080𝑥+280756224𝑥
  • C262144+4718592𝑥+40108032𝑥+213909504𝑥+802160640𝑥
  • D262144+2228224𝑥+8912896𝑥+22282240𝑥+38993920𝑥
  • E262144+1179648𝑥+3342336𝑥+6684672𝑥+10027008𝑥

Q8:

Développe complètement l'expression (2+3𝑥).

  • A1024+7680𝑥+34560𝑥+103680𝑥+217728𝑥+326592𝑥+349920𝑥+524880𝑥+393660𝑥+196830𝑥+59049𝑥
  • B1024+15360𝑥+34560𝑥+46080𝑥+40320𝑥+24192𝑥+10080𝑥+2880𝑥+540𝑥+60𝑥+3𝑥
  • C1024+15360𝑥+103680𝑥+414720𝑥+1088640𝑥+1959552𝑥+2449440𝑥+2099520𝑥+1180980𝑥+393660𝑥+59049𝑥
  • D1024+5120𝑥+11520𝑥+15360𝑥+13440𝑥+8064𝑥+3360𝑥+960𝑥+180𝑥+20𝑥+𝑥
  • E10240+69120𝑥+276480𝑥+725760𝑥+1306368𝑥+1632960𝑥+1399680𝑥+787320𝑥+262440𝑥+39366𝑥+59049𝑥

Q9:

Trouve le produit des coefficients des termes dans le développement de (1𝑥).

  • A9
  • B18
  • C18
  • D9

Q10:

Dans le développement de (2𝑥+5𝑦) suivant la puissance croissante de 𝑦, si les deux termes moyens sont égaux, alors détermine la valeur de 𝑥𝑦.

  • A254
  • B52
  • C25
  • D32
  • E425

Cette leçon comprend 22 questions additionnelles et 155 variantes de questions additionnelles pour les abonnés.

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