Feuille d'activités : Résoudre des problèmes de valeur initiale des équations différentielles

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Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à résoudre des problèmes de valeur initiale d'équations différentielles.

Q1:

Détermine une solution particulière pour l’équation différentielle suivante pour laquelle 𝑦(0)=12 : dd𝑦𝑥=8𝑥+3.

  • A𝑦=8𝑥+3𝑥
  • B𝑦=4𝑥+3𝑥
  • C𝑦=4𝑥+3𝑥+12
  • D𝑦=8𝑥+3𝑥+12

Q2:

Détermine la solution de l'équation différentielle suivante pour 𝑦(0)=0 : dd𝑦=𝑒𝑥.

  • A𝑒+𝑒=2
  • B𝑒+𝑒=2
  • C𝑒+𝑒=2
  • D𝑒+𝑒=2

Q3:

Détermine la solution de l'équation différentielle suivante pour 𝑦(1)=1 : dd𝑦𝑥+𝑦=0.

  • A𝑦=𝑒
  • B𝑦=𝑒
  • C𝑦=𝑒
  • D𝑦=𝑒

Q4:

Détermine la solution de l'équation différentielle suivante pour 𝑦(0)=1 : dd𝑦𝑥−𝑥−𝑥=0.

  • A𝑦=𝑥2+𝑥3+1
  • B𝑦=−𝑥2−𝑥3+1
  • C𝑦=−2𝑥−3𝑥+1
  • D𝑦=2𝑥+3𝑥+1

Q5:

Détermine la solution de l'équation différentielle ddsec𝑢𝑡=𝑡+𝑡𝑢 qui vérifie la condition initiale 𝑢(0)=−3.

  • A𝑢=𝑡+2𝑡+9tan
  • B𝑢=𝑡+2𝑡tan
  • C𝑢=𝑡−2𝑡+9tan
  • D𝑢=𝑡+𝑡+9tan
  • E𝑢=𝑡+2𝑡−9tan

Q6:

Résous l’équation différentielle 𝑦(𝑥)𝑥=𝑎+𝑦(𝑥)tan pour 0<𝑥<𝜋2 et qui satisfait la condition 𝑦𝜋3=𝑎.

  • A𝑦(𝑥)=4𝑎√3𝑥−𝑎sin
  • B𝑦(𝑥)=4𝑎𝑥−𝑎sin
  • C𝑦(𝑥)=4𝑎𝑥−𝑎cos
  • D𝑦(𝑥)=𝑎−4𝑎√3𝑥sin
  • E𝑦(𝑥)=𝑎−4𝑎𝑥cos

Q7:

Résous l'équation différentielle dd𝑦𝑥√𝑥−9=1 pour la fonction 𝑦 sachant que 𝑦(5)=3ln.

  • A𝑦=−13√𝑥−9𝑥+1345lnln
  • B𝑦=𝑥+√𝑥−9+3lnln
  • C𝑦=𝑥+√𝑥−9−3lnln
  • D𝑦=𝑥+√𝑥−9−23lnln
  • E𝑦=13√𝑥−9𝑥+1345lnln

Q8:

On sait que 𝑓′′(𝑥)=12[𝑒+𝑒]. Si 𝑓(0)=1 et 𝑓′(0)=0, alors laquelle des expressions suivantes est égale à 𝑓(𝑥) ?

  • A−𝑓′(𝑥)
  • B𝑓′(𝑥)
  • C−𝑓′′(𝑥)
  • D𝑓′′(𝑥)

Q9:

Détermine la fonction de dérivée première 27𝑥−83𝑥−2 sachant que la fonction vaut −1 lorsque 𝑥 est égale à −1.

  • A𝑓(𝑥)=9𝑥+6𝑥+4𝑥+6
  • B𝑓(𝑥)=3𝑥+3𝑥+4𝑥+3
  • C𝑓(𝑥)=3𝑥−2𝑥−6
  • D𝑓(𝑥)=27𝑥4−8𝑥−634

Q10:

On suppose que 𝑓(𝑥)=8𝑥csc et que 𝑓(𝑥)=−12 lorsque 𝑥=𝜋3. Donne l’expression de 𝑓(𝑥).

  • A−8𝑥−12cot
  • B−8𝑥−8√33+12cot
  • C−8𝑥+12cot
  • D−8𝑥−12+8√33cot
  • E8𝑥−12+8√33cot

Q11:

Détermine la fonction 𝑓 sachant que 𝑓′(𝑡)=2𝑡(𝑡+4𝑡)sectansec, pour −𝜋2<𝑡<𝜋2 et avec 𝑓−𝜋3=−2.

  • A𝑓(𝑡)=2𝑡+8𝑡−8√3+2tansec
  • B𝑓(𝑡)=4𝑡+𝑡−6+8√3tansec
  • C𝑓(𝑡)=8𝑡+2𝑡−6+8√3tansec
  • D𝑓(𝑡)=8𝑡+2𝑡−8√3+2tansec
  • E𝑓(𝑡)=2𝑡+8𝑡−6+8√3tansec

Q12:

Détermine la fonction 𝑓 vérifiant 𝑓′′(𝜃)=2𝜃+3𝜃sincos, 𝑓(0)=5 et 𝑓′(0)=1.

  • A𝑓(𝜃)=3𝜃−2𝜃+3sincos
  • B𝑓(𝜃)=−2𝜃−3𝜃−1sincos
  • C𝑓(𝜃)=3𝜃−2𝜃−3𝜃−2sincos
  • D𝑓(𝜃)=3𝜃−2𝜃−3𝜃+8sincos
  • E𝑓(𝜃)=−𝜃−2𝜃−3𝜃+2sincos

Q13:

Détermine la fonction 𝑓 si 𝑓′′′(𝑥)=4𝑥cos, 𝑓(0)=−1, 𝑓′(0)=4 et 𝑓′′(0)=−4.

  • A𝑓(𝑥)=−4𝑥+8𝑥−4𝑥−1sin
  • B𝑓(𝑥)=2𝑥+8𝑥+𝑥+1sin
  • C𝑓(𝑥)=4𝑥−8𝑥−4𝑥−1sin
  • D𝑓(𝑥)=−2𝑥+8𝑥−4𝑥−1sin
  • E𝑓(𝑥)=−4𝑥−8𝑥−4𝑥+1sin

Q14:

Supposons que 𝑑𝑦𝑑𝑥=−92𝑥−35𝑥sincos et que 𝑦=7 lorsque 𝑥=𝜋6. Exprime 𝑦 en fonction de 𝑥.

  • A𝑦=−355𝑥+922𝑥+10120sincos
  • B𝑦=−92𝑥−35𝑥+13sincos
  • C𝑦=925𝑥+352𝑥+8920sincos
  • D𝑦=−352𝑥−925𝑥+8920sincos
  • E𝑦=−922𝑥−355𝑥+8920sincos

Q15:

Détermine la fonction 𝑓 sachant que 𝑓′′(𝑥)=−𝑥+1, 𝑓(1)=5 et 𝑓′(1)=3.

  • A𝑓(𝑥)=−𝑥30+𝑥2−11𝑥5−73
  • B𝑓(𝑥)=−𝑥30+𝑥2+11𝑥5+73
  • C𝑓(𝑥)=−𝑥30+𝑥2+21𝑥5+13
  • D𝑓(𝑥)=−𝑥5+16𝑥5
  • E𝑓(𝑥)=−𝑥5+26𝑥5+13

Q16:

Détermine la fonction 𝑓 définie sur ]0;+∞[ qui vérifie 𝑓(1)=−3, 𝑓(4)=0, ainsi que 𝑓′′(𝑥)=4𝑥.

  • A𝑓(𝑥)=𝑥1+434−4𝑥−4−434lnlnln
  • B𝑓(𝑥)=−𝑥1+434−4𝑥+434+4lnlnln
  • C𝑓(𝑥)=𝑥1+434−4𝑥+434+4lnlnln
  • D𝑓(𝑥)=4𝑥34−4𝑥−434lnlnln
  • E𝑓(𝑥)=−𝑥1+434−4𝑥−4−434lnlnln

Q17:

Détermine la fonction 𝑓 vérifiant 𝑓′′(𝑥)=12𝑥−10𝑥+3, 𝑓(0)=5 et 𝑓′(0)=2.

  • A𝑓(𝑥)=4𝑥−5𝑥+3𝑥+5
  • B𝑓(𝑥)=4𝑥−5𝑥+3𝑥+2
  • C𝑓(𝑥)=𝑥−5𝑥3+3𝑥2+5𝑥+2
  • D𝑓(𝑥)=𝑥−5𝑥3+3𝑥2+2𝑥+5
  • E𝑓(𝑥)=12𝑥−10𝑥+3𝑥+2𝑥+5

Q18:

La fonction 𝑓(𝑥) vérifie la relation 𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)=−2𝑎ℎ𝑘+2ℎ où 𝑎;ℎ∈ℝ et 𝑘 est une constante. Détermine 𝑓(𝑥) sachant que 𝑓(−4)=8 et 𝑓(2)=−4.

  • A𝑥−8
  • B−𝑥+12
  • C−2𝑥
  • D−𝑥

Q19:

Sachant que ddcos𝑠𝑡=−99𝑡4 et que 𝑠=−4 pour 𝑡=4𝜋3, détermine la relation entre 𝑠 et 𝑡.

  • A𝑠(𝑡)=99𝑡4−4sin
  • B𝑠(𝑡)=−99𝑡4−4sin
  • C𝑠(𝑡)=49𝑡4−4sin
  • D𝑠(𝑡)=−49𝑡4−4sin

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