Fiche d'activités de la leçon : Résoudre des problèmes de valeur initiale des équations différentielles Mathématiques

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à résoudre des problèmes de valeur initiale d'équations différentielles.

Q1:

DΓ©termine la solution de l'Γ©quation diffΓ©rentielle ddsec𝑒𝑑=𝑑+π‘‘π‘’οŠ¨ qui vΓ©rifie la condition initiale 𝑒(0)=βˆ’3.

  • A𝑒=𝑑+2𝑑+9tan
  • B𝑒=𝑑+2π‘‘οŠ¨οŠ¨tan
  • C𝑒=π‘‘βˆ’2𝑑+9tan
  • D𝑒=𝑑+𝑑+9tan
  • E𝑒=𝑑+2π‘‘βˆ’9tan

Q2:

RΓ©sous l’équation diffΓ©rentielle 𝑦′π‘₯=π‘Ž+𝑦tan, oΓΉ 0<π‘₯<πœ‹2, qui vΓ©rifie la condition initiale π‘¦ο€»πœ‹3=π‘Ž.

  • A𝑦=4π‘Žπ‘₯βˆ’π‘Žsin
  • B𝑦=4π‘Žπ‘₯βˆ’π‘Žcos
  • C𝑦=π‘Žβˆ’4π‘Žβˆš3π‘₯sin
  • D𝑦=4π‘Žβˆš3π‘₯βˆ’π‘Žsin
  • E𝑦=π‘Žβˆ’4π‘Žπ‘₯cos

Q3:

RΓ©sous l'Γ©quation diffΓ©rentielle dd𝑦π‘₯√π‘₯βˆ’9=1 pour la fonction 𝑦 sachant que 𝑦(5)=3ln.

  • A𝑦=ο€»π‘₯+√π‘₯βˆ’9+3lnln
  • B𝑦=ο€»π‘₯+√π‘₯βˆ’9ο‡βˆ’3lnln
  • C𝑦=βˆ’13√π‘₯βˆ’9π‘₯+1345lnln
  • D𝑦=13√π‘₯βˆ’9π‘₯+1345lnln
  • E𝑦=ο€»π‘₯+√π‘₯βˆ’9ο‡βˆ’23lnln

Q4:

On sait que 𝑓′′(π‘₯)=12[𝑒+𝑒]ο—οŠ±ο—. Si 𝑓(0)=1 et 𝑓′(0)=0, alors laquelle des expressions suivantes est Γ©gale Γ  𝑓(π‘₯) ?

  • Aβˆ’π‘“β€²(π‘₯)
  • B𝑓′(π‘₯)
  • Cβˆ’π‘“β€²β€²(π‘₯)
  • D𝑓′′(π‘₯)

Q5:

DΓ©termine la fonction de dΓ©rivΓ©e premiΓ¨re 27π‘₯βˆ’83π‘₯βˆ’2 sachant que la fonction vaut βˆ’1 lorsque π‘₯ est Γ©gale Γ  βˆ’1.

  • A𝑓(π‘₯)=9π‘₯+6π‘₯+4π‘₯+6
  • B𝑓(π‘₯)=3π‘₯+3π‘₯+4π‘₯+3
  • C𝑓(π‘₯)=3π‘₯βˆ’2π‘₯βˆ’6
  • D𝑓(π‘₯)=27π‘₯4βˆ’8π‘₯βˆ’634οŠͺ

Q6:

Suppose que ddcsc𝑦π‘₯=8π‘₯ et 𝑦=βˆ’12 lorsque π‘₯=πœ‹3. DΓ©termine 𝑦 en fonction de π‘₯.

  • Aβˆ’8π‘₯+12cot
  • Bβˆ’8π‘₯βˆ’8√33+12cot
  • Cβˆ’8π‘₯βˆ’12+8√33cot
  • D8π‘₯βˆ’12+8√33cot
  • Eβˆ’8π‘₯βˆ’12cot

Q7:

DΓ©termine la fonction 𝑓 sachant que 𝑓′(𝑑)=2𝑑(𝑑+4𝑑)sectansec, pour βˆ’πœ‹2<𝑑<πœ‹2 et avec π‘“ο€»βˆ’πœ‹3=βˆ’2.

  • A𝑓(𝑑)=2𝑑+8π‘‘βˆ’8√3+2tansec
  • B𝑓(𝑑)=4𝑑+π‘‘βˆ’6+8√3tansec
  • C𝑓(𝑑)=8𝑑+2π‘‘βˆ’6+8√3tansec
  • D𝑓(𝑑)=8𝑑+2π‘‘βˆ’8√3+2tansec
  • E𝑓(𝑑)=2𝑑+8π‘‘βˆ’6+8√3tansec

Q8:

DΓ©termine la fonction 𝑓 vΓ©rifiant 𝑓′′(πœƒ)=2πœƒ+3πœƒsincos, 𝑓(0)=5 et 𝑓′(0)=1.

  • A𝑓(πœƒ)=3πœƒβˆ’2πœƒ+3sincos
  • B𝑓(πœƒ)=βˆ’2πœƒβˆ’3πœƒβˆ’1sincos
  • C𝑓(πœƒ)=3πœƒβˆ’2πœƒβˆ’3πœƒβˆ’2sincos
  • D𝑓(πœƒ)=3πœƒβˆ’2πœƒβˆ’3πœƒ+8sincos
  • E𝑓(πœƒ)=βˆ’πœƒβˆ’2πœƒβˆ’3πœƒ+2sincos

Q9:

DΓ©termine la fonction 𝑓 si 𝑓′′′(π‘₯)=4π‘₯cos, 𝑓(0)=βˆ’1, 𝑓′(0)=4 et 𝑓′′(0)=βˆ’4.

  • A𝑓(π‘₯)=βˆ’4π‘₯+8π‘₯βˆ’4π‘₯βˆ’1sin
  • B𝑓(π‘₯)=2π‘₯+8π‘₯+π‘₯+1sin
  • C𝑓(π‘₯)=4π‘₯βˆ’8π‘₯βˆ’4π‘₯βˆ’1sin
  • D𝑓(π‘₯)=βˆ’2π‘₯+8π‘₯βˆ’4π‘₯βˆ’1sin
  • E𝑓(π‘₯)=βˆ’4π‘₯βˆ’8π‘₯βˆ’4π‘₯+1sin

Q10:

Supposons que 𝑑𝑦𝑑π‘₯=βˆ’92π‘₯βˆ’35π‘₯sincos et que 𝑦=7 lorsque π‘₯=πœ‹6. Exprime 𝑦 en fonction de π‘₯.

  • A𝑦=βˆ’355π‘₯+922π‘₯+10120sincos
  • B𝑦=βˆ’92π‘₯βˆ’35π‘₯+13sincos
  • C𝑦=925π‘₯+352π‘₯+8920sincos
  • D𝑦=βˆ’352π‘₯βˆ’925π‘₯+8920sincos
  • E𝑦=βˆ’922π‘₯βˆ’355π‘₯+8920sincos

Q11:

DΓ©termine la fonction 𝑓 sachant que 𝑓′′(π‘₯)=βˆ’π‘₯+1οŠͺ, 𝑓(1)=5 et 𝑓′(1)=3.

  • A𝑓(π‘₯)=βˆ’π‘₯30+π‘₯2βˆ’11π‘₯5βˆ’73
  • B𝑓(π‘₯)=βˆ’π‘₯30+π‘₯2+11π‘₯5+73
  • C𝑓(π‘₯)=βˆ’π‘₯30+π‘₯2+21π‘₯5+13
  • D𝑓(π‘₯)=βˆ’π‘₯5+16π‘₯5
  • E𝑓(π‘₯)=βˆ’π‘₯5+26π‘₯5+13

Q12:

DΓ©termine la fonction 𝑓 dΓ©finie sur ]0;+∞[ qui vΓ©rifie 𝑓(1)=βˆ’3, 𝑓(4)=0, ainsi que 𝑓′′(π‘₯)=4π‘₯.

  • A𝑓(π‘₯)=π‘₯ο€Ό1+434οˆβˆ’4π‘₯βˆ’4βˆ’434lnlnln
  • B𝑓(π‘₯)=βˆ’π‘₯ο€Ό1+434οˆβˆ’4π‘₯+434+4lnlnln
  • C𝑓(π‘₯)=π‘₯ο€Ό1+434οˆβˆ’4π‘₯+434+4lnlnln
  • D𝑓(π‘₯)=4π‘₯34βˆ’4π‘₯βˆ’434lnlnln
  • E𝑓(π‘₯)=βˆ’π‘₯ο€Ό1+434οˆβˆ’4π‘₯βˆ’4βˆ’434lnlnln

Q13:

DΓ©termine la fonction 𝑓 vΓ©rifiant 𝑓′′(π‘₯)=12π‘₯βˆ’10π‘₯+3, 𝑓(0)=5 et 𝑓′(0)=2.

  • A𝑓(π‘₯)=4π‘₯βˆ’5π‘₯+3π‘₯+5
  • B𝑓(π‘₯)=4π‘₯βˆ’5π‘₯+3π‘₯+2
  • C𝑓(π‘₯)=π‘₯βˆ’5π‘₯3+3π‘₯2+5π‘₯+2οŠͺ
  • D𝑓(π‘₯)=π‘₯βˆ’5π‘₯3+3π‘₯2+2π‘₯+5οŠͺ
  • E𝑓(π‘₯)=12π‘₯βˆ’10π‘₯+3π‘₯+2π‘₯+5οŠͺ

Q14:

La fonction 𝑓(π‘₯) vΓ©rifie la relation 𝑓(π‘Ž+β„Ž)βˆ’π‘“(π‘Ž)=βˆ’2π‘Žβ„Žπ‘˜+2β„ŽοŠ¨ oΓΉ π‘Ž;β„Žβˆˆβ„ et π‘˜ est une constante. DΓ©termine 𝑓(π‘₯) sachant que 𝑓(βˆ’4)=8 et 𝑓(2)=βˆ’4.

  • Aπ‘₯βˆ’8
  • Bβˆ’π‘₯+12
  • Cβˆ’2π‘₯
  • Dβˆ’π‘₯

Q15:

Sachant que ddcos𝑠𝑑=βˆ’9ο€Ό9𝑑4 et que 𝑠=βˆ’4 pour 𝑑=4πœ‹3, dΓ©termine la relation entre 𝑠 et 𝑑.

  • A𝑠(𝑑)=9ο€Ό9𝑑4οˆβˆ’4sin
  • B𝑠(𝑑)=βˆ’9ο€Ό9𝑑4οˆβˆ’4sin
  • C𝑠(𝑑)=4ο€Ό9𝑑4οˆβˆ’4sin
  • D𝑠(𝑑)=βˆ’4ο€Ό9𝑑4οˆβˆ’4sin

Q16:

DΓ©termine la fonction 𝑓(π‘₯) telle que 𝑓(π‘₯)=3π‘₯βˆ’6π‘₯βˆ’5, 𝑓(0)=2 et 𝑓(1)=0.

  • A𝑓(π‘₯)=π‘₯βˆ’3π‘₯+15π‘₯+54
  • B𝑓(π‘₯)=π‘₯4βˆ’π‘₯2βˆ’5π‘₯2+134οŠͺ
  • C𝑓(π‘₯)=π‘₯4βˆ’2π‘₯βˆ’5π‘₯2βˆ’4π‘₯3+2οŠͺ
  • D𝑓(π‘₯)=π‘₯4βˆ’π‘₯βˆ’5π‘₯2+5π‘₯4+2οŠͺ
  • E𝑓(π‘₯)=π‘₯4βˆ’π‘₯βˆ’5π‘₯2+13π‘₯4οŠͺ

Q17:

DΓ©termine la fonction 𝑓 si 𝑓′′(𝑑)=5βˆšπ‘‘βˆ’4π‘‘οŽ’cos, 𝑓(0)=2 et 𝑓(1)=3.

  • A𝑓(𝑑)=15𝑑4βˆ’4𝑑+ο€Ό9528βˆ’41οˆπ‘‘βˆ’2sincos
  • B𝑓(𝑑)=45𝑑28+4𝑑+ο€Ό9528βˆ’41οˆπ‘‘βˆ’2coscos
  • C𝑓(𝑑)=45𝑑28βˆ’4𝑑+ο€Ό6728βˆ’41οˆπ‘‘βˆ’1sincos
  • D𝑓(𝑑)=3𝑑28βˆ’π‘‘+ο€Ό9528βˆ’41οˆπ‘‘βˆ’2coscos
  • E𝑓(𝑑)=45𝑑28+4𝑑+ο€Ό6728βˆ’41οˆπ‘‘βˆ’1coscos

Q18:

DΓ©termine la fonction 𝑓, si 𝑓′′(𝑑)=βˆ’3𝑑+1π‘‘οŠ¨οŠ¨, lorsque 𝑑>0, 𝑓(2)=2 et 𝑓′(1)=2.

  • A𝑓(𝑑)=𝑑12+4π‘‘βˆ’π‘‘βˆ’2+2οŠͺlnln
  • B𝑓(𝑑)=βˆ’π‘‘+4βˆ’1π‘‘οŠ©
  • C𝑓(𝑑)=βˆ’π‘‘+192βˆ’1π‘‘οŠ©
  • D𝑓(𝑑)=βˆ’π‘‘4+4π‘‘βˆ’π‘‘βˆ’2+2οŠͺlnln
  • E𝑓(𝑑)=βˆ’π‘‘4+19𝑑2βˆ’π‘‘βˆ’13+2οŠͺlnln

Q19:

DΓ©termine la fonction 𝑓 vΓ©rifiant 𝑓′′(π‘₯)=βˆ’3𝑒+4π‘₯sin, 𝑓(0)=4 et 𝑓3πœ‹2=0.

  • A𝑓(π‘₯)=βˆ’3π‘’βˆ’4π‘₯+6𝑒+223πœ‹οπ‘₯+7cosοŽ’ο‘½οŽ‘
  • B𝑓(π‘₯)=βˆ’3π‘’βˆ’4π‘₯+6π‘’βˆ’223πœ‹οπ‘₯+7sinοŽ’ο‘½οŽ‘
  • C𝑓(π‘₯)=π‘’βˆ’π‘₯+6π‘’βˆ’223πœ‹οπ‘₯+7sinοŽ’ο‘½οŽ‘
  • D𝑓(π‘₯)=βˆ’3π‘’βˆ’4π‘₯+6𝑒+223πœ‹οπ‘₯+7sinοŽ’ο‘½οŽ‘
  • E𝑓(π‘₯)=βˆ’3π‘’βˆ’4π‘₯+6π‘’βˆ’223πœ‹οπ‘₯cosοŽ’ο‘½οŽ‘

Q20:

DΓ©termine la solution de l’équation diffΓ©rentielle ddln𝐿𝑑=π‘˜πΏπ‘‘οŠ¨ qui vΓ©rifie la condition initiale 𝐿(1)=βˆ’1.

  • A𝐿=1π‘˜π‘‘π‘‘βˆ’π‘˜π‘‘+1+π‘˜ln
  • B𝐿=βˆ’1π‘˜π‘‘π‘‘βˆ’π‘˜π‘‘+1+π‘˜ln
  • C𝐿=1π‘˜π‘‘π‘‘+π‘˜π‘‘+1ln
  • D𝐿=1π‘˜π‘‘π‘‘+π‘˜π‘‘+1βˆ’π‘˜ln
  • E𝐿=βˆ’1π‘˜π‘‘π‘‘+π‘˜π‘‘+1ln

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