Feuille d'activités : Résoudre des problèmes de valeur initiale des équations différentielles

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Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à résoudre des problèmes de valeur initiale d'équations différentielles.

Q1:

Détermine une solution particulière pour l’équation différentielle suivante pour laquelle 𝑦(0)=12: dd𝑦𝑥=8𝑥+3.

  • A 𝑦 = 8 𝑥 + 3 𝑥
  • B 𝑦 = 4 𝑥 + 3 𝑥
  • C 𝑦 = 4 𝑥 + 3 𝑥 + 1 2
  • D 𝑦 = 8 𝑥 + 3 𝑥 + 1 2

Q2:

Détermine la solution de l'équation différentielle suivante pour 𝑦(0)=0 : dd𝑦=𝑒𝑥.

  • A 𝑒 + 𝑒 = 2
  • B 𝑒 + 𝑒 = 2
  • C 𝑒 + 𝑒 = 2
  • D 𝑒 + 𝑒 = 2

Q3:

Détermine la solution de l'équation différentielle suivante pour 𝑦(1)=1 : dd𝑦𝑥+𝑦=0.

  • A 𝑦 = 𝑒
  • B 𝑦 = 𝑒
  • C 𝑦 = 𝑒
  • D 𝑦 = 𝑒

Q4:

Détermine la solution de l'équation différentielle suivante pour 𝑦(0)=1: dd𝑦𝑥−𝑥−𝑥=0.

  • A 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑥 3 + 1
  • B 𝑦 = − 𝑥 2 − 𝑥 3 + 1
  • C 𝑦 = − 2 𝑥 − 3 𝑥 + 1
  • D 𝑦 = 2 𝑥 + 3 𝑥 + 1

Q5:

Détermine la solution de l'équation différentielle ddsec𝑢𝑡=𝑡+𝑡𝑢 qui vérifie la condition initiale 𝑢(0)=−3.

  • A 𝑢 = 𝑡 + 2 𝑡 + 9 t a n
  • B 𝑢 = 𝑡 + 2 𝑡 t a n
  • C 𝑢 = 𝑡 − 2 𝑡 + 9 t a n
  • D 𝑢 = 𝑡 + 𝑡 + 9 t a n
  • E 𝑢 = 𝑡 + 2 𝑡 − 9 t a n

Q6:

Résous l’équation différentielle 𝑦(𝑥)𝑥=𝑎+𝑦(𝑥)tan pour 0<𝑥<𝜋2 et qui satisfait la condition 𝑦𝜋3=𝑎.

  • A 𝑦 ( 𝑥 ) = 4 𝑎 √ 3 𝑥 − 𝑎 s i n
  • B 𝑦 ( 𝑥 ) = 4 𝑎 𝑥 − 𝑎 s i n
  • C 𝑦 ( 𝑥 ) = 4 𝑎 𝑥 − 𝑎 c o s
  • D 𝑦 ( 𝑥 ) = 𝑎 − 4 𝑎 √ 3 𝑥 s i n
  • E 𝑦 ( 𝑥 ) = 𝑎 − 4 𝑎 𝑥 c o s

Q7:

Résous l'équation différentielle dd𝑦𝑥√𝑥−9=1 pour la fonction 𝑦 sachant que 𝑦(5)=3ln.

  • A 𝑦 = − 1 3 √ 𝑥 − 9 𝑥 + 1 3 4 5 l n l n
  • B 𝑦 = 𝑥 + √ 𝑥 − 9 + 3 l n l n
  • C 𝑦 = 𝑥 + √ 𝑥 − 9 − 3 l n l n
  • D 𝑦 = 𝑥 + √ 𝑥 − 9 − 2 3 l n l n
  • E 𝑦 = 1 3 √ 𝑥 − 9 𝑥 + 1 3 4 5 l n l n

Q8:

On sait que 𝑓′′(𝑥)=12[𝑒+𝑒]. Si 𝑓(0)=1 et 𝑓′(0)=0, alors laquelle des expressions suivantes est égale à 𝑓(𝑥) ?

  • A − 𝑓 ′ ( 𝑥 )
  • B 𝑓 ′ ( 𝑥 )
  • C − 𝑓 ′ ′ ( 𝑥 )
  • D 𝑓 ′ ′ ( 𝑥 )

Q9:

Détermine la fonction de dérivée première 27𝑥−83𝑥−2 sachant que la fonction vaut −1 lorsque 𝑥 est égale à −1.

  • A 𝑓 ( 𝑥 ) = 9 𝑥 + 6 𝑥 + 4 𝑥 + 6
  • B 𝑓 ( 𝑥 ) = 3 𝑥 + 3 𝑥 + 4 𝑥 + 3
  • C 𝑓 ( 𝑥 ) = 3 𝑥 − 2 𝑥 − 6
  • D 𝑓 ( 𝑥 ) = 2 7 𝑥 4 − 8 𝑥 − 6 3 4

Q10:

On suppose que 𝑓(𝑥)=8𝑥csc et que 𝑓(𝑥)=−12 lorsque 𝑥=𝜋3. Donne l’expression de 𝑓(𝑥).

  • A − 8 𝑥 − 1 2 c o t
  • B − 8 𝑥 − 8 √ 3 3 + 1 2 c o t
  • C − 8 𝑥 + 1 2 c o t
  • D − 8 𝑥 − 1 2 + 8 √ 3 3 c o t
  • E 8 𝑥 − 1 2 + 8 √ 3 3 c o t

Q11:

Détermine la fonction 𝑓 sachant que 𝑓′(𝑡)=2𝑡(𝑡+4𝑡)sectansec, pour −𝜋2<𝑡<𝜋2 et avec 𝑓−𝜋3=−2.

  • A 𝑓 ( 𝑡 ) = 2 𝑡 + 8 𝑡 − 8 √ 3 + 2 t a n s e c
  • B 𝑓 ( 𝑡 ) = 4 𝑡 + 𝑡 − 6 + 8 √ 3 t a n s e c
  • C 𝑓 ( 𝑡 ) = 8 𝑡 + 2 𝑡 − 6 + 8 √ 3 t a n s e c
  • D 𝑓 ( 𝑡 ) = 8 𝑡 + 2 𝑡 − 8 √ 3 + 2 t a n s e c
  • E 𝑓 ( 𝑡 ) = 2 𝑡 + 8 𝑡 − 6 + 8 √ 3 t a n s e c

Q12:

Supposons que 𝑑𝑦𝑑𝑥=−92𝑥−35𝑥sincos et que 𝑦=7 lorsque 𝑥=𝜋6. Exprime 𝑦 en fonction de 𝑥.

  • A 𝑦 = − 9 2 2 𝑥 − 3 5 5 𝑥 + 8 9 2 0 s i n c o s
  • B 𝑦 = − 9 2 𝑥 − 3 5 𝑥 + 1 3 s i n c o s
  • C 𝑦 = 9 2 5 𝑥 + 3 5 2 𝑥 + 8 9 2 0 s i n c o s
  • D 𝑦 = − 3 5 2 𝑥 − 9 2 5 𝑥 + 8 9 2 0 s i n c o s
  • E 𝑦 = − 3 5 5 𝑥 + 9 2 2 𝑥 + 1 0 1 2 0 s i n c o s

Q13:

Détermine la fonction 𝑓 sachant que 𝑓(𝑥)=−𝑥+1, 𝑓(1)=5 et 𝑓(1)=3.

  • A 𝑓 ( 𝑥 ) = − 𝑥 3 0 + 𝑥 2 + 2 1 𝑥 5 + 1 3
  • B 𝑓 ( 𝑥 ) = − 𝑥 5 + 2 6 𝑥 5 + 1 3
  • C 𝑓 ( 𝑥 ) = − 𝑥 3 0 + 𝑥 2 + 1 1 𝑥 5 + 7 3
  • D 𝑓 ( 𝑥 ) = − 𝑥 3 0 + 𝑥 2 − 1 1 𝑥 5 − 7 3
  • E 𝑓 ( 𝑥 ) = − 𝑥 5 + 1 6 𝑥 5

Q14:

Détermine la fonction 𝑓 vérifiant 𝑓(𝑥)=12𝑥−10𝑥+3, 𝑓(0)=5 et 𝑓(0)=2.

  • A 𝑓 ( 𝑥 ) = 4 𝑥 − 5 𝑥 + 3 𝑥 + 2
  • B 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 − 5 𝑥 3 + 3 𝑥 2 + 5 𝑥 + 2
  • C 𝑓 ( 𝑥 ) = 1 2 𝑥 − 1 0 𝑥 + 3 𝑥 + 2 𝑥 + 5
  • D 𝑓 ( 𝑥 ) = 4 𝑥 − 5 𝑥 + 3 𝑥 + 5
  • E 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 − 5 𝑥 3 + 3 𝑥 2 + 2 𝑥 + 5

Q15:

La fonction 𝑓 vérifie la relation 𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)=−2𝑎ℎ𝑘+2ℎ où 𝑎,ℎ∈ℝ et 𝑘 est une constante. Détermine 𝑓(𝑥) sachant que 𝑓(−4)=8 et 𝑓(2)=−4.

  • A − 𝑥 + 1 2
  • B − 𝑥
  • C − 2 𝑥
  • D 𝑥 − 8

Q16:

Sachant que 𝑑𝑠𝑑𝑡=−99𝑡4cos et que 𝑠=−4 pour 𝑡=4𝜋3, détermine la relation entre 𝑠 et 𝑡.

  • A 𝑠 ( 𝑡 ) = − 4 9 𝑡 4 − 4 s i n
  • B 𝑠 ( 𝑡 ) = − 9 9 𝑡 4 − 4 s i n
  • C 𝑠 ( 𝑡 ) = 9 9 𝑡 4 − 4 s i n
  • D 𝑠 ( 𝑡 ) = 4 9 𝑡 4 − 4 s i n

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