Feuille d'activités de la leçon : Équation d'une droite dans l'espace : équations cartésienne et vectorielle Mathématiques

Dans cette feuille d'activités, nous nous entraînerons à déterminer les équations cartésienne et vectorielle d'une droite dans l'espace.

Question 1

Détermine le vecteur directeur de la droite d'équation 𝑥−16=𝑦−64=𝑧−83.

  • A(6;4;3)
  • B(1;−6;−8)
  • C(−6;4;−3)
  • D(1;6;8)
  • E(−1;6;−8)

Question 2

Détermine la forme cartésienne de l'équation de la droite passant par les points de coordonnées (−7,−3,−7) et (−3,−10,−4).

  • A𝑥+73=𝑦+3−7=𝑧+74
  • B𝑥−74=𝑦−3−7=𝑧−73
  • C𝑥+74=𝑦+3−7=𝑧+73
  • D𝑥−4−7=𝑦+7−3=𝑧−3−7

Question 3

Détermine le vecteur directeur de la droite d'équation 𝑥−36=𝑦+22=𝑧−3−3.

  • A(6;2;−3)
  • B(3;2;−3)
  • C(−6;2;3)
  • D(3;−2;3)
  • E(−3;−2;−3)

Question 4

Détermine le vecteur directeur de la droite d'équation 𝑥−6−4=𝑦−36=𝑧−17.

  • A(−4;6;7)
  • B(6;−3;−1)
  • C(4;6;−7)
  • D(6;3;1)
  • E(−6;3;−1)

Question 5

Détermine le vecteur directeur de la droite d'équation 𝑥+1−5=𝑦−4−2=𝑧−7−5.

  • A(−5;−2;−5)
  • B(−1;−4;−7)
  • C(5;−2;5)
  • D(−1;4;7)
  • E(1;4;−7)

Question 6

Donne l'équation cartésienne de la droite ⃑𝑟=(−3;−2;−2)+𝑡(4;2;4).

  • A𝑥+34=𝑦+22=𝑧+24
  • B𝑥−4−3=𝑦−2−2=𝑧−4−2
  • C𝑥+4−3=𝑦+2−2=𝑧+4−2
  • D𝑥−34=𝑦+22=𝑧+24

Question 7

Détermine la forme cartésienne de l'équation de la droite passant par le point de coordonnées (−4,1,2) et qui forme des angles de même mesure avec l'axe du repère.

  • A𝑥−1−4=𝑦−11=𝑧−12
  • B𝑥−4=𝑦1=𝑧2
  • C𝑥+4√3=𝑦−1√3=𝑧−23
  • D𝑥+41=𝑦−11=𝑧−21

Question 8

Donne l'équation cartésienne de la droite passant par le point de coordonnées (−2,5,2) et de vecteur directeur de coordonnées (3,−5,−4).

  • A𝑥+23=𝑦−5−5=𝑧−2−4
  • B𝑥−3−2=𝑦+55=𝑧+42
  • C𝑥+3−2=𝑦−55=𝑧−42
  • D𝑥−23=𝑦+5−5=𝑧+2−4

Question 9

Donne l'équation vectorielle de la droite passant par le point de coordonnées (3;7;−7) et de vecteur directeur (0;−5;7).

  • A⃑𝑟=(3;7;−7)+𝑡(0;−5;7)
  • B⃑𝑟=(0;−5;7)+𝑡(3;7;−7)
  • C⃑𝑟=(3;7;−7)+𝑡(3;7;−7)
  • D⃑𝑟=(0;−5;7)+𝑡(0;−5;7)

Question 10

Détermine un vecteur directeur de la droite passant par 𝐴(1;−2;7) et 𝐵(4;−1;3).

  • A⃑𝑑=(3;1;−4)
  • B⃑𝑑=(5;−3;10)
  • C⃑𝑑=(−3;1;4)
  • D⃑𝑑=(3;−1;−4)

Question 11

Donne un vecteur directeur de la droite passant par l'origine et le point de coordonnées (6;6;1).

  • A⃑𝑑=(6;−6;1)
  • B⃑𝑑=(6;6;1)
  • C⃑𝑑=(0;0;0)
  • D⃑𝑑=(−6;6;−1)

Question 12

Donne les équations de l'axe des 𝑧 dans un espace tridimensionnel.

  • A𝑥=0, 𝑧=0
  • B𝑥=0, 𝑦=0
  • C𝑧=0
  • D𝑥=1
  • E𝑧=1

Question 13

Détermine les équations de l’axe des 𝑥 dans l’espace tridimensionnel.

  • A𝑦=0, 𝑧=0
  • B𝑧=1
  • C𝑥=1
  • D𝑦=0, 𝑥=0
  • E𝑥=0

Question 14

Donne les équations de l'axe des 𝑦 dans un espace tridimensionnel.

  • A𝑥=0, 𝑦=0
  • B𝑦=0
  • C𝑥=0, 𝑧=0
  • D𝑧=1
  • E𝑦=1

Question 15

Détermine la forme vectorielle de l'équation de la droite passant par le point de coordonnées (2;−5;−5) et par le centre de la sphère d'équation 2𝑥+2𝑦+2𝑧+12𝑥−8𝑦+8𝑧=1.

  • A⃑𝑟=(2;−5;−5)+𝑡(−12;8;−8)
  • B⃑𝑟=(2;−5;−5)+𝑡(5;7;3)
  • C⃑𝑟=(2;−5;−5)+𝑡(5;−7;−3)
  • D⃑𝑟=(2;−5;−5)+𝑡(12;−8;8)

Question 16

Détermine, sous forme vectorielle, l’équation de la droite passant par les points de coordonnées (−5;−5;3) et (−3;−4;4).

  • A⃗𝑟=(2;1;1)+𝑡(−5;−5;3)
  • B⃗𝑟=(−5;−5;3)+𝑡(−8;−9;7)
  • C⃗𝑟=(2;1;1)+𝑡(−3;−4;4)
  • D⃗𝑟=(−5;−5;3)+𝑡(2;1;1)

Question 17

Les points 𝐴(−8;−9;−2), 𝐵(0;−7;6) et 𝐶(−8;−1;−4) forment un triangle. Détermine, sous forme vectorielle, l’équation de la médiane issue de 𝐶.

  • A⃑𝑟=(−8;−2;−8)+𝑡(−8;−1;−4)
  • B⃑𝑟=(−8;−1;−4)+𝑡(−8;−2;−8)
  • C⃑𝑟=(−8;−1;−4)+𝑡(4;−7;6)
  • D⃑𝑟=(4;−7;6)+𝑡(−8;−1;−4)

Question 18

Détermine la forme vectorielle de l'équation de droite 4𝑥−3−9=7𝑦−8−2=7+6𝑧4.

  • A⃑𝑟=43;78;−67+𝑡−49;−72;32
  • B⃑𝑟=−34;−87;76+𝑡94;27;−23
  • C⃑𝑟=34;87;−76+𝑡−94;−27;23
  • D⃑𝑟=−94;−27;23+𝑡34;87;−76

Question 19

Lequel des points suivants se situe sur la droite d'équation ⃑𝑟=(3;2;1)+𝑡(2;−1;−5) ?

  • A(1;−3;0)
  • B(−3;5;16)
  • C(−1;−2;4)
  • D(2;0;3)

Question 20

La droite d'équation 𝑥−2−5=𝑦−2−7=𝑧−1−10 croise la sphère d'équation 𝑥+𝑦+𝑧−18𝑥+8𝑦+14𝑧+28=0. Détermine la longueur du segment formé par les deux points d'intersection de la droite et de la sphère. Donne ta réponse au centième près.

Question 21

La droite d'équation 𝑥+9−10=𝑦+4−4=𝑧−85 est tangente à la sphère d'équation (𝑥−7)+(𝑦+3)+(𝑧−7)=𝑟. Calcule le rayon de la sphère au centième près.

Question 22

Lequel des points suivants appartient à la droite d'équation 𝑥−4−1=𝑦+2−2=𝑧−1−2 ?

  • A(−2;−6;−3)
  • B(−1;−2;−2)
  • C(4;2;1)
  • D(2;−6;3)
  • E(2;−6;−3)

Question 23

Détermine le vecteur directeur de la droite dont l'équation vectorielle est ⃗𝑟=(2;3;1)+𝑡(3;4;5).

  • A(2;3;1)
  • B(3;4;5)
  • C(3;−4;5)
  • D(−2;−3;−1)
  • E(−3;−4;−5)

Question 24

Laquelle des droites suivantes a un vecteur directeur (2;3;4) et passe par le point (2;−6;3) ?

  • A𝑥+2−2=𝑦−6−3=𝑧+3−4
  • B𝑥−22=𝑦−3−6=𝑧−43
  • C𝑥+22=𝑦−63=𝑧+34
  • D𝑥−2−2=𝑦+6−3=𝑧−3−4
  • E𝑥−22=𝑦+63=𝑧−34

Question 25

Laquelle des droites suivantes passe par les points de coordonnées (5;3;−2) et (1;3;2) ?

  • A⃑𝑟=(5;3;−2)+𝑡(1;3;2)
  • B⃑𝑟=(1;3;2)+𝑡(4;0;−4)
  • C⃑𝑟=(4;3;2)+𝑡(6;6;0)
  • D⃑𝑟=(5;3;−2)+𝑡(−1;−3;−2)
  • E⃑𝑟=(1;3;2)+𝑡(5;3;−2)

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