Feuille d'activités : Produit vectoriel

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Dans cette feuille d'exercices, nous allons nous entraîner à déterminer le produit vectoriel de deux vecteurs dans l'espace.

Q1:

On considΓ¨re les vecteurs ⃗𝑉=βƒ—πš€ et οƒͺπ‘Š=3βƒ—πš€+2βƒ—πš₯+4βƒ—π‘˜. Calcule βƒ—π‘‰βˆ§οƒͺπ‘Š.

  • A40βˆ’3
  • Bο€βˆ’230
  • C300
  • D200
  • E0βˆ’42

Q2:

Sachant que ⃗𝐴=βˆ’9βƒ—πš€βˆ’βƒ—πš₯+3βƒ—π‘˜ et ⃗𝐡=3βƒ—πš€βˆ’2βƒ—πš₯βˆ’7βƒ—π‘˜, dΓ©termine βƒ—π΄βˆ§βƒ—π΅.

  • Aβƒ—πš€βˆ’72βƒ—πš₯+15βƒ—π‘˜
  • B21βƒ—πš€βˆ’54βƒ—πš₯+13βƒ—π‘˜
  • Cβˆ’27βƒ—πš€βˆ’2βƒ—πš₯βˆ’21βƒ—π‘˜
  • D13βƒ—πš€βˆ’54βƒ—πš₯+21βƒ—π‘˜

Q3:

Sachant que ⃗𝐴=ο€βˆ’5βˆ’9βˆ’1 et ⃗𝐡=2βˆ’1βˆ’7, dΓ©termine βƒ—π΄βˆ§βƒ—π΅.

  • A62βƒ—πš€+37βƒ—πš₯+23βƒ—π‘˜
  • B64βƒ—πš€+33βƒ—πš₯βˆ’13βƒ—π‘˜
  • C62βƒ—πš€βˆ’37βƒ—πš₯+23βƒ—π‘˜
  • D23βƒ—πš€+62βƒ—πš₯βˆ’37βƒ—π‘˜

Q4:

Sachant que ⃗𝐴=βˆ’3βƒ—πš€+3βƒ—πš₯βˆ’5βƒ—π‘˜ et ⃗𝐡=βˆ’βƒ—πš€βˆ’3βƒ—πš₯+5βƒ—π‘˜, dΓ©termine ο€Ί4βƒ—π΄ο†βˆ§ο€Ί2⃗𝐡.

  • A80βƒ—πš₯+48βƒ—π‘˜
  • B160βƒ—πš₯+96βƒ—π‘˜
  • C24βƒ—πš€βˆ’72βƒ—πš₯βˆ’200βƒ—π‘˜
  • Dβˆ’160βƒ—πš₯βˆ’96βƒ—π‘˜

Q5:

Sachant que ⃗𝐴=4βˆ’2βˆ’9 et ⃗𝐡=434, dΓ©termine βƒ—π΄βˆ§βƒ—π΅.

  • Aβˆ’35βƒ—πš€+20βƒ—πš₯+4βƒ—π‘˜
  • B16βƒ—πš€+6βƒ—πš₯βˆ’36βƒ—π‘˜
  • C20βƒ—πš€βˆ’52βƒ—πš₯+19βƒ—π‘˜
  • D19βƒ—πš€βˆ’52βƒ—πš₯+20βƒ—π‘˜

Q6:

Soient ⃗𝑉 et οƒͺπ‘Š deux vecteurs tels que ⃗𝑉=βˆ’βƒ—πš€+2βƒ—πš₯+βƒ—π‘˜ et οƒͺπ‘Š=βˆ’3βƒ—πš€+6βƒ—πš₯+3βƒ—π‘˜, calcule βƒ—π‘‰βˆ§οƒͺπ‘Š.

  • A06βˆ’12
  • B12012
  • C3123
  • Dο€βˆ’369
  • E000

Q7:

Soient ⃗𝑉 et οƒͺπ‘Š deux vecteurs dΓ©finis par ⃗𝑉=72βˆ’10 et οƒͺπ‘Š=264. Calcule βƒ—π‘‰βˆ§οƒͺπ‘Š.

  • A1412βˆ’40
  • Bο€βˆ’3454βˆ’64
  • C68βˆ’4838
  • Dο€βˆ’284βˆ’40
  • Eο€βˆ’52βˆ’838

Q8:

Γ‰tant donnΓ©s ⃗𝑒=34βˆ’4, ⃗𝑀=25βˆ’4 et βƒ—π‘Ÿ=ο€βˆ’4βˆ’42, dΓ©termine ο€Ήβƒ—π‘’βˆ’βƒ—π‘€ο…βˆ§ο€Ήβƒ—π‘Ÿβˆ’βƒ—π‘’ο….

  • Aβˆ’6βƒ—πš€βˆ’6βƒ—πš₯βˆ’15βƒ—π‘˜
  • Bβˆ’2βƒ—πš€βˆ’2βƒ—πš₯βˆ’8βƒ—π‘˜
  • C6βƒ—πš€+6βƒ—πš₯+15βƒ—π‘˜
  • Dβˆ’2βƒ—πš€+16βƒ—πš₯+19βƒ—π‘˜

Q9:

DΓ©termine les vecteurs unitaires qui sont orthogonaux Γ  ⃗𝑒=420 et βƒ—π‘Ÿ=46βˆ’4.

  • Aο€βˆ’122 ou 1βˆ’2βˆ’2
  • Bο€βˆ’244848 ou 24βˆ’48βˆ’48
  • Cο€βˆ’81616 ou 8βˆ’16βˆ’16
  • DβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽœβŽβˆ’132323⎞⎟⎟⎟⎟⎠ ou βŽ›βŽœβŽœβŽœβŽœβŽ13βˆ’23βˆ’23⎞⎟⎟⎟⎟⎠

Q10:

Soient ⃗𝑉 et οƒͺπ‘Š deux vecteurs tels que ⃗𝑉=51βˆ’2 et οƒͺπ‘Š=4βˆ’43, calcule βƒ—π‘‰βˆ§οƒͺπ‘Š.

  • Aο€βˆ’35116
  • B11βˆ’2316
  • C20βˆ’4βˆ’6
  • D23264
  • Eο€βˆ’5βˆ’23βˆ’24

Q11:

Γ‰tant donnΓ©s ⃗𝑒=ο€βˆ’340 et βƒ—π‘Ÿ=1βˆ’51, dΓ©termine le vecteur unitaire normal Γ  un plan dirigΓ© par ⃗𝑒 et βƒ—π‘Ÿ.

  • A4√146βƒ—πš€+3√146βƒ—πš₯+11√146βƒ—π‘˜
  • B4√386βƒ—πš€βˆ’3√386βƒ—πš₯+19√386βƒ—π‘˜
  • C11√386βƒ—πš€+4√386βƒ—πš₯+3√386βƒ—π‘˜
  • D4√146βƒ—πš€βˆ’3√146βƒ—πš₯+11√146βƒ—π‘˜

Q12:

Soient ⃗𝑉=132 et οƒͺπ‘Š=72βˆ’10. DΓ©termine βƒ—π‘‰βˆ§οƒͺπ‘Š.

  • Aο€βˆ’3227βˆ’17
  • Bο€βˆ’12βˆ’36βˆ’10
  • Cο€βˆ’3424βˆ’19
  • D264βˆ’19
  • E76βˆ’20

Q13:

Sachant que l'aire de 𝐴𝐡𝐢 est Γ©gale Γ  340, que vaut β€–β€–οƒ«π΅π΄βˆ§οƒͺ𝐡𝐢‖‖ ?

Q14:

Si 𝐴𝐡𝐢 est un triangle d'aire 248,5 cm2, alors dΓ©termine la valeur de β€–β€–οƒ«π΅π΄βˆ§οƒ«π΄πΆβ€–β€–.

Q15:

Sachant que 𝐷=(0,βˆ’2,βˆ’8), 𝐸=(6,4,6) et 𝐹=(βˆ’4,βˆ’9,βˆ’2), dΓ©termine l'aire du triangle 𝐷𝐸𝐹 arrondie au centiΓ¨me prΓ¨s.

  • A163,54 unitΓ©s d'aire
  • B81,77 unitΓ©s d'aire
  • C327,07 unitΓ©s d'aire
  • D28,23 unitΓ©s d'aire

Q16:

Le triangle 𝐴𝐡𝐢 a pour sommets 𝐴(5,βˆ’4), 𝐡(βˆ’1,βˆ’5) et 𝐢(βˆ’3,2). Utilise les vecteurs pour calculer son aire.

Q17:

Supposons que ⃗𝐴=113 et ⃗𝐡=48βˆ’8 dΓ©finissent deux cΓ΄tΓ©s d’un triangle. Quelle est l'aire de ce triangle, au centiΓ¨me prΓ¨s ?

Q18:

Si ⃗𝐴=βˆ’10βƒ—πš₯+5βƒ—π‘˜ et ⃗𝐡=βˆ’4βƒ—πš€+9βƒ—πš₯+βƒ—π‘˜, alors dΓ©termine β€–β€–5βƒ—π΅βˆ§βƒ—π΄β€–β€–.

  • A25√201
  • B25√129
  • C10√129
  • D10√201

Q19:

Si ⃗𝐴=ο€βˆ’2βˆ’4βˆ’1, ⃗𝐡=ο€βˆ’415 et ⃗𝐢=030, alors dΓ©termine βƒ—π΄βˆ§ο€Ίβƒ—π΅+⃗𝐢.

  • A16βƒ—πš€βˆ’14βƒ—πš₯+24βƒ—π‘˜
  • Bβˆ’16βƒ—πš€+14βƒ—πš₯βˆ’24βƒ—π‘˜
  • C8βƒ—πš€βˆ’16βƒ—πš₯βˆ’5βƒ—π‘˜
  • D8βƒ—πš€+16βƒ—πš₯βˆ’5βƒ—π‘˜

Q20:

Γ‰tant donnΓ©s ⃗𝐴=9βˆ’5βˆ’1, ⃗𝐡=7βˆ’π‘˜βˆ’5, ⃗𝑒=10βˆ’55π‘šβˆ’3 et 𝐴𝐡⫽⃗𝑒, calcule π‘˜βˆ’π‘š.

Q21:

Sachant que les vecteurs de coordonnΓ©es ο€»6,βƒ—π‘˜,1 et (12,βˆ’6,2) sont colinΓ©aires, dΓ©termine la valeur de βƒ—π‘˜.

  • Aβˆ’6
  • B7
  • Cβˆ’3
  • D1

Q22:

Si ⃗𝑒 et ⃗𝑀 sont deux vecteurs unitaires et que πœƒ est l'angle qu'ils forment, Γ©value β€–β€–ο€Ήβƒ—π‘’βˆ’βƒ—π‘€)∧(⃗𝑒+⃗𝑀‖‖.

  • Aπ‘’π‘€πœƒ22sin
  • Bsinπœƒ
  • C2πœƒsin
  • Dπ‘’π‘€πœƒsin
  • E2π‘’π‘€πœƒsin

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