Feuille d'activités : Produit vectoriel

Dans cette feuille d'exercices, nous allons nous entraîner à déterminer le produit vectoriel de deux vecteurs dans l'espace.

Q1:

On considΓ¨re les vecteurs ⃗𝑉=βƒ—πš€ et οƒͺπ‘Š=3βƒ—πš€+2βƒ—πš₯+4βƒ—π‘˜. Calcule βƒ—π‘‰βˆ§οƒͺπ‘Š.

  • A  4 0 βˆ’ 3 
  • B  βˆ’ 2 3 0 
  • C  3 0 0 
  • D  2 0 0 
  • E  0 βˆ’ 4 2 

Q2:

Sachant que ⃗𝐴=βˆ’9βƒ—πš€βˆ’βƒ—πš₯+3βƒ—π‘˜ et ⃗𝐡=3βƒ—πš€βˆ’2βƒ—πš₯βˆ’7βƒ—π‘˜, dΓ©termine βƒ—π΄βˆ§βƒ—π΅.

  • A βƒ— 𝚀 βˆ’ 7 2 βƒ— πš₯ + 1 5 βƒ— π‘˜
  • B 2 1 βƒ— 𝚀 βˆ’ 5 4 βƒ— πš₯ + 1 3 βƒ— π‘˜
  • C βˆ’ 2 7 βƒ— 𝚀 βˆ’ 2 βƒ— πš₯ βˆ’ 2 1 βƒ— π‘˜
  • D 1 3 βƒ— 𝚀 βˆ’ 5 4 βƒ— πš₯ + 2 1 βƒ— π‘˜

Q3:

Sachant que ⃗𝐴=ο€βˆ’5βˆ’9βˆ’1 et ⃗𝐡=2βˆ’1βˆ’7, dΓ©termine βƒ—π΄βˆ§βƒ—π΅.

  • A 6 2 βƒ— 𝚀 + 3 7 βƒ— πš₯ + 2 3 βƒ— π‘˜
  • B 6 4 βƒ— 𝚀 + 3 3 βƒ— πš₯ βˆ’ 1 3 βƒ— π‘˜
  • C 6 2 βƒ— 𝚀 βˆ’ 3 7 βƒ— πš₯ + 2 3 βƒ— π‘˜
  • D 2 3 βƒ— 𝚀 + 6 2 βƒ— πš₯ βˆ’ 3 7 βƒ— π‘˜

Q4:

Sachant que ⃗𝐴=βˆ’3βƒ—πš€+3βƒ—πš₯βˆ’5βƒ—π‘˜ et ⃗𝐡=βˆ’βƒ—πš€βˆ’3βƒ—πš₯+5βƒ—π‘˜, dΓ©termine ο€Ί4βƒ—π΄ο†βˆ§ο€Ί2⃗𝐡.

  • A 8 0 βƒ— πš₯ + 4 8 βƒ— π‘˜
  • B 1 6 0 βƒ— πš₯ + 9 6 βƒ— π‘˜
  • C 2 4 βƒ— 𝚀 βˆ’ 7 2 βƒ— πš₯ βˆ’ 2 0 0 βƒ— π‘˜
  • D βˆ’ 1 6 0 βƒ— πš₯ βˆ’ 9 6 βƒ— π‘˜

Q5:

Sachant que ⃗𝐴=4βˆ’2βˆ’9 et ⃗𝐡=434, dΓ©termine βƒ—π΄βˆ§βƒ—π΅.

  • A βˆ’ 3 5 βƒ— 𝚀 + 2 0 βƒ— πš₯ + 4 βƒ— π‘˜
  • B 1 6 βƒ— 𝚀 + 6 βƒ— πš₯ βˆ’ 3 6 βƒ— π‘˜
  • C 2 0 βƒ— 𝚀 βˆ’ 5 2 βƒ— πš₯ + 1 9 βƒ— π‘˜
  • D 1 9 βƒ— 𝚀 βˆ’ 5 2 βƒ— πš₯ + 2 0 βƒ— π‘˜

Q6:

Soient ⃗𝑉 et οƒͺπ‘Š deux vecteurs tels que ⃗𝑉=βˆ’βƒ—πš€+2βƒ—πš₯+βƒ—π‘˜ et οƒͺπ‘Š=βˆ’3βƒ—πš€+6βƒ—πš₯+3βƒ—π‘˜, calcule βƒ—π‘‰βˆ§οƒͺπ‘Š.

  • A  0 6 βˆ’ 1 2 
  • B  1 2 0 1 2 
  • C  3 1 2 3 
  • D  βˆ’ 3 6 9 
  • E  0 0 0 

Q7:

Soient ⃗𝑉 et οƒͺπ‘Š deux vecteurs dΓ©finis par ⃗𝑉=72βˆ’10 et οƒͺπ‘Š=264. Calcule βƒ—π‘‰βˆ§οƒͺπ‘Š.

  • A  1 4 1 2 βˆ’ 4 0 
  • B  βˆ’ 3 4 5 4 βˆ’ 6 4 
  • C  6 8 βˆ’ 4 8 3 8 
  • D  βˆ’ 2 8 4 βˆ’ 4 0 
  • E  βˆ’ 5 2 βˆ’ 8 3 8 

Q8:

Γ‰tant donnΓ©s ⃗𝑒=34βˆ’4, ⃗𝑀=25βˆ’4 et βƒ—π‘Ÿ=ο€βˆ’4βˆ’42, dΓ©termine ο€Ήβƒ—π‘’βˆ’βƒ—π‘€ο…βˆ§ο€Ήβƒ—π‘Ÿβˆ’βƒ—π‘’ο….

  • A βˆ’ 6 βƒ— 𝚀 βˆ’ 6 βƒ— πš₯ βˆ’ 1 5 βƒ— π‘˜
  • B βˆ’ 2 βƒ— 𝚀 βˆ’ 2 βƒ— πš₯ βˆ’ 8 βƒ— π‘˜
  • C 6 βƒ— 𝚀 + 6 βƒ— πš₯ + 1 5 βƒ— π‘˜
  • D βˆ’ 2 βƒ— 𝚀 + 1 6 βƒ— πš₯ + 1 9 βƒ— π‘˜

Q9:

DΓ©termine les vecteurs unitaires qui sont orthogonaux Γ  ⃗𝑒=420 et βƒ—π‘Ÿ=46βˆ’4.

  • A  βˆ’ 1 2 2  ou 1βˆ’2βˆ’2
  • B  βˆ’ 2 4 4 8 4 8  ou 24βˆ’48βˆ’48
  • C  βˆ’ 8 1 6 1 6  ou 8βˆ’16βˆ’16
  • D βŽ› ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ βˆ’ 1 3 2 3 2 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ou βŽ›βŽœβŽœβŽœβŽœβŽ13βˆ’23βˆ’23⎞⎟⎟⎟⎟⎠

Q10:

Soient ⃗𝑉 et οƒͺπ‘Š deux vecteurs tels que ⃗𝑉=51βˆ’2 et οƒͺπ‘Š=4βˆ’43, calcule βƒ—π‘‰βˆ§οƒͺπ‘Š.

  • A  βˆ’ 3 5 1 1 6 
  • B  1 1 βˆ’ 2 3 1 6 
  • C  2 0 βˆ’ 4 βˆ’ 6 
  • D  2 3 2 6 4 
  • E  βˆ’ 5 βˆ’ 2 3 βˆ’ 2 4 

Q11:

Γ‰tant donnΓ©s ⃗𝑒=ο€βˆ’340 et βƒ—π‘Ÿ=1βˆ’51, dΓ©termine le vecteur unitaire normal Γ  un plan dirigΓ© par ⃗𝑒 et βƒ—π‘Ÿ.

  • A 4 √ 1 4 6 βƒ— 𝚀 + 3 √ 1 4 6 βƒ— πš₯ + 1 1 √ 1 4 6 βƒ— π‘˜
  • B 4 √ 3 8 6 βƒ— 𝚀 βˆ’ 3 √ 3 8 6 βƒ— πš₯ + 1 9 √ 3 8 6 βƒ— π‘˜
  • C 1 1 √ 3 8 6 βƒ— 𝚀 + 4 √ 3 8 6 βƒ— πš₯ + 3 √ 3 8 6 βƒ— π‘˜
  • D 4 √ 1 4 6 βƒ— 𝚀 βˆ’ 3 √ 1 4 6 βƒ— πš₯ + 1 1 √ 1 4 6 βƒ— π‘˜

Q12:

Soient ⃗𝑉=132 et οƒͺπ‘Š=72βˆ’10. DΓ©termine βƒ—π‘‰βˆ§οƒͺπ‘Š.

  • A  βˆ’ 3 2 2 7 βˆ’ 1 7 
  • B  βˆ’ 1 2 βˆ’ 3 6 βˆ’ 1 0 
  • C  βˆ’ 3 4 2 4 βˆ’ 1 9 
  • D  2 6 4 βˆ’ 1 9 
  • E  7 6 βˆ’ 2 0 

Q13:

Sachant que l'aire de 𝐴𝐡𝐢 est Γ©gale Γ  340, que vaut β€–β€–οƒ«π΅π΄βˆ§οƒͺ𝐡𝐢‖‖?

  • A 3 4 0 √ 3
  • B170
  • C680
  • D340

Q14:

Sachant que 𝐷=(0,βˆ’2,βˆ’8), 𝐸=(6,4,6) et 𝐹=(βˆ’4,βˆ’9,βˆ’2), dΓ©termine l'aire du triangle 𝐷𝐸𝐹 arrondie au centiΓ¨me prΓ¨s.

  • A163,54 unitΓ©s d'aire
  • B81,77 unitΓ©s d'aire
  • C327,07 unitΓ©s d'aire
  • D28,23 unitΓ©s d'aire

Q15:

Le triangle 𝐴𝐡𝐢 a pour sommets 𝐴(5,βˆ’4), 𝐡(βˆ’1,βˆ’5) et 𝐢(βˆ’3,2). Utilise les vecteurs pour calculer son aire.

Q16:

Supposons que ⃗𝐴=113 et ⃗𝐡=48βˆ’8 dΓ©finissent deux cΓ΄tΓ©s d’un triangle. Quelle est l'aire de ce triangle, au centiΓ¨me prΓ¨s?

  • A37,95 unitΓ©s d'aire
  • B18,97 unitΓ©s d'aire
  • C14,14 unitΓ©s d'aire
  • D20,40 unitΓ©s d'aire

Q17:

Γ‰tant donnΓ©s ⃗𝐴=9βˆ’5βˆ’1, ⃗𝐡=7βˆ’π‘˜βˆ’5, ⃗𝑒=10βˆ’55π‘šβˆ’3 et 𝐴𝐡⫽⃗𝑒, calcule π‘˜βˆ’π‘š.

Q18:

Sachant que les vecteurs de coordonnΓ©es ο€»6,βƒ—π‘˜,1 et (12,βˆ’6,2) sont colinΓ©aires, dΓ©termine la valeur de βƒ—π‘˜.

  • A βˆ’ 6
  • B7
  • C βˆ’ 3
  • D1

Q19:

Si ⃗𝑒 et ⃗𝑀 sont deux vecteurs unitaires et que πœƒ est l'angle qu'ils forment, Γ©value β€–β€–ο€Ήβƒ—π‘’βˆ’βƒ—π‘€)∧(⃗𝑒+⃗𝑀‖‖.

  • A 𝑒 𝑀 πœƒ 2 2 s i n
  • B s i n πœƒ
  • C 2 πœƒ s i n
  • D 𝑒 𝑀 πœƒ s i n
  • E 2 𝑒 𝑀 πœƒ s i n

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