Feuille d'activités : Produit vectoriel

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Dans cette feuille d'exercices, nous allons nous entraîner à déterminer le produit vectoriel de deux vecteurs dans l'espace.

Q1:

Sachant que βƒ— 𝐴 = βˆ’ 9 βƒ— 𝚀 βˆ’ βƒ— πš₯ + 3 βƒ— π‘˜ et βƒ— 𝐡 = 3 βƒ— 𝚀 βˆ’ 2 βƒ— πš₯ βˆ’ 7 βƒ— π‘˜ , dΓ©termine βƒ— 𝐴 ∧ βƒ— 𝐡 .

  • A 2 1 βƒ— 𝚀 βˆ’ 5 4 βƒ— πš₯ + 1 3 βƒ— π‘˜
  • B βƒ— 𝚀 βˆ’ 7 2 βƒ— πš₯ + 1 5 βƒ— π‘˜
  • C βˆ’ 2 7 βƒ— 𝚀 βˆ’ 2 βƒ— πš₯ βˆ’ 2 1 βƒ— π‘˜
  • D 1 3 βƒ— 𝚀 βˆ’ 5 4 βƒ— πš₯ + 2 1 βƒ— π‘˜

Q2:

Sachant que βƒ— 𝐴 =  βˆ’ 5 βˆ’ 9 βˆ’ 1  et βƒ— 𝐡 =  2 βˆ’ 1 βˆ’ 7  , dΓ©termine βƒ— 𝐴 ∧ βƒ— 𝐡 .

  • A 2 3 βƒ— 𝚀 + 6 2 βƒ— πš₯ βˆ’ 3 7 βƒ— π‘˜
  • B 6 2 βƒ— 𝚀 + 3 7 βƒ— πš₯ + 2 3 βƒ— π‘˜
  • C 6 4 βƒ— 𝚀 + 3 3 βƒ— πš₯ βˆ’ 1 3 βƒ— π‘˜
  • D 6 2 βƒ— 𝚀 βˆ’ 3 7 βƒ— πš₯ + 2 3 βƒ— π‘˜

Q3:

Sachant que βƒ— 𝐴 = βˆ’ 3 βƒ— 𝚀 + 3 βƒ— πš₯ βˆ’ 5 βƒ— π‘˜ et βƒ— 𝐡 = βˆ’ βƒ— 𝚀 βˆ’ 3 βƒ— πš₯ + 5 βƒ— π‘˜ , dΓ©termine ο€Ί 4 βƒ— 𝐴  ∧ ο€Ί 2 βƒ— 𝐡  .

  • A 2 4 βƒ— 𝚀 βˆ’ 7 2 βƒ— πš₯ βˆ’ 2 0 0 βƒ— π‘˜
  • B 8 0 βƒ— πš₯ + 4 8 βƒ— π‘˜
  • C βˆ’ 1 6 0 βƒ— πš₯ βˆ’ 9 6 βƒ— π‘˜
  • D 1 6 0 βƒ— πš₯ + 9 6 βƒ— π‘˜

Q4:

Sachant que βƒ— 𝐴 =  4 βˆ’ 2 βˆ’ 9  et βƒ— 𝐡 =  4 3 4  , dΓ©termine βƒ— 𝐴 ∧ βƒ— 𝐡 .

  • A 2 0 βƒ— 𝚀 βˆ’ 5 2 βƒ— πš₯ + 1 9 βƒ— π‘˜
  • B βˆ’ 3 5 βƒ— 𝚀 + 2 0 βƒ— πš₯ + 4 βƒ— π‘˜
  • C 1 6 βƒ— 𝚀 + 6 βƒ— πš₯ βˆ’ 3 6 βƒ— π‘˜
  • D 1 9 βƒ— 𝚀 βˆ’ 5 2 βƒ— πš₯ + 2 0 βƒ— π‘˜

Q5:

Sachant que la force βƒ— 𝐹 = π‘₯ βƒ— 𝚀 + 2 βƒ— πš₯ agit en le point 𝐴 ( 9 , βˆ’ 4 ) , oΓΉ son vecteur moment par rapport au point 𝐡 ( 8 , βˆ’ 2 ) est 8 βƒ— π‘˜ , dΓ©termine la valeur de π‘₯ .

Q6:

Sachant que les forces βƒ— 𝐹 = βˆ’ βƒ— 𝚀 + π‘š βƒ— πš₯  , βƒ— 𝐹 = βˆ’ 2 βƒ— 𝚀 βˆ’ 8 βƒ— πš₯  et βƒ— 𝐹 = 𝑛 βƒ— 𝚀 βˆ’ 1 2 βƒ— πš₯  sont trois forces colinΓ©aires, dΓ©termine les valeurs de π‘š et 𝑛 .

  • A π‘š = βˆ’ 1 6 , 𝑛 = βˆ’ 3
  • B π‘š = βˆ’ 4 , 𝑛 = βˆ’ 1 3
  • C π‘š = βˆ’ 1 6 , 𝑛 = βˆ’ 1 3
  • D π‘š = βˆ’ 4 , 𝑛 = βˆ’ 3

Q7:

Γ‰tant donnΓ©s βƒ— 𝑒 =  3 4 βˆ’ 4  , βƒ— 𝑀 =  2 5 βˆ’ 4  et βƒ— π‘Ÿ =  βˆ’ 4 βˆ’ 4 2  , dΓ©termine ο€Ή βƒ— 𝑒 βˆ’ βƒ— 𝑀  ∧ ο€Ή βƒ— π‘Ÿ βˆ’ βƒ— 𝑒  .

  • A 6 βƒ— 𝚀 + 6 βƒ— πš₯ + 1 5 βƒ— π‘˜
  • B βˆ’ 2 βƒ— 𝚀 βˆ’ 2 βƒ— πš₯ βˆ’ 8 βƒ— π‘˜
  • C βˆ’ 2 βƒ— 𝚀 + 1 6 βƒ— πš₯ + 1 9 βƒ— π‘˜
  • D βˆ’ 6 βƒ— 𝚀 βˆ’ 6 βƒ— πš₯ βˆ’ 1 5 βƒ— π‘˜

Q8:

DΓ©termine les vecteurs unitaires qui sont orthogonaux Γ  βƒ— 𝑒 =  4 2 0  et βƒ— π‘Ÿ =  4 6 βˆ’ 4  .

  • A  βˆ’ 8 1 6 1 6  ou  8 βˆ’ 1 6 βˆ’ 1 6 
  • B βŽ› ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ βˆ’ 1 3 2 3 2 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ou βŽ› ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 3 βˆ’ 2 3 βˆ’ 2 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
  • C  βˆ’ 2 4 4 8 4 8  ou  2 4 βˆ’ 4 8 βˆ’ 4 8 
  • D  βˆ’ 1 2 2  ou  1 βˆ’ 2 βˆ’ 2 

Q9:

Γ‰tant donnΓ©s βƒ— 𝑒 =  βˆ’ 3 4 0  et βƒ— π‘Ÿ =  1 βˆ’ 5 1  , dΓ©termine le vecteur unitaire normal Γ  un plan dirigΓ© par βƒ— 𝑒 et βƒ— π‘Ÿ .

  • A 4 √ 3 8 6 βƒ— 𝚀 βˆ’ 3 √ 3 8 6 βƒ— πš₯ + 1 9 √ 3 8 6 βƒ— π‘˜
  • B 4 √ 1 4 6 βƒ— 𝚀 βˆ’ 3 √ 1 4 6 βƒ— πš₯ + 1 1 √ 1 4 6 βƒ— π‘˜
  • C 1 1 √ 3 8 6 βƒ— 𝚀 + 4 √ 3 8 6 βƒ— πš₯ + 3 √ 3 8 6 βƒ— π‘˜
  • D 4 √ 1 4 6 βƒ— 𝚀 + 3 √ 1 4 6 βƒ— πš₯ + 1 1 √ 1 4 6 βƒ— π‘˜

Q10:

Soient βƒ— 𝑉 =  1 3 2  et οƒͺ π‘Š =  7 2 βˆ’ 1 0  . DΓ©termine βƒ— 𝑉 ∧ οƒͺ π‘Š .

  • A  βˆ’ 1 2 βˆ’ 3 6 βˆ’ 1 0 
  • B  7 6 βˆ’ 2 0 
  • C  βˆ’ 3 2 2 7 βˆ’ 1 7 
  • D  βˆ’ 3 4 2 4 βˆ’ 1 9 
  • E  2 6 4 βˆ’ 1 9 

Q11:

DΓ©termine l'aire du triangle 𝐴 𝐡 𝐢 , oΓΉ 𝐴 ( βˆ’ 8 , βˆ’ 9 ) , 𝐡 ( βˆ’ 7 , βˆ’ 8 ) et 𝐢 ( 9 , βˆ’ 2 ) .

Q12:

𝐴 𝐡 𝐢 𝐷 est un losange dont les points 𝐴 et 𝐡 sont de coordonnΓ©es respectives ( 5 , βˆ’ 9 ) et ( βˆ’ 1 0 , 1 2 ) . Utilise des vecteurs pour calculer son pΓ©rimΓ¨tre.

  • A666 unitΓ©s de longueur
  • B 3 √ 7 4 unitΓ©s de longueur
  • C 6 √ 7 4 unitΓ©s de longueur
  • D 1 2 √ 7 4 unitΓ©s de longueur

Q13:

Le losange 𝐴 𝐡 𝐢 𝐷 a pour sommets 𝐴 ( βˆ’ 4 , 6 ) , 𝐡 ( 9 , 2 ) , 𝐢 ( βˆ’ 2 , 1 0 ) et 𝐷 ( βˆ’ 1 5 , 1 4 ) . Utilise des vecteurs pour dΓ©terminer son aire.

Q14:

Le triangle 𝐴 𝐡 𝐢 a pour sommets 𝐴 ( 5 , βˆ’ 4 ) , 𝐡 ( βˆ’ 1 , βˆ’ 5 ) et 𝐢 ( βˆ’ 3 , 2 ) . Utilise les vecteurs pour calculer son aire.

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