Fiche d'activités de la leçon : Produit vectoriel en 3D Mathématiques

Dans cette feuille d'exercices, nous allons nous entraîner à déterminer le produit vectoriel de deux vecteurs dans l'espace.

Q1:

Sachant que ⃑𝐴=βˆ’9βƒ‘π‘–βˆ’βƒ‘π‘—+3βƒ‘π‘˜ et ⃑𝐡=3βƒ‘π‘–βˆ’2βƒ‘π‘—βˆ’7βƒ‘π‘˜, dΓ©termine βƒ‘π΄βˆ§βƒ‘π΅.

  • Aβƒ‘π‘–βˆ’72⃑𝑗+15βƒ‘π‘˜
  • B13βƒ‘π‘–βˆ’54⃑𝑗+21βƒ‘π‘˜
  • Cβˆ’27βƒ‘π‘–βˆ’2βƒ‘π‘—βˆ’21βƒ‘π‘˜
  • D21βƒ‘π‘–βˆ’54⃑𝑗+13βƒ‘π‘˜

Q2:

Sachant que ⃑𝐴=(βˆ’5;βˆ’9;βˆ’1) et ⃑𝐡=(2;βˆ’1;βˆ’7), dΓ©termine βƒ‘π΄βˆ§βƒ‘π΅.

  • A62⃑𝑖+37⃑𝑗+23βƒ‘π‘˜
  • B64⃑𝑖+33βƒ‘π‘—βˆ’13βƒ‘π‘˜
  • C62βƒ‘π‘–βˆ’37⃑𝑗+23βƒ‘π‘˜
  • D23⃑𝑖+62βƒ‘π‘—βˆ’37βƒ‘π‘˜

Q3:

Sachant que ⃗𝐴=βˆ’3βƒ—πš€+3βƒ—πš₯βˆ’5βƒ—π‘˜ et ⃗𝐡=βˆ’βƒ—πš€βˆ’3βƒ—πš₯+5βƒ—π‘˜, dΓ©termine ο€Ί4βƒ—π΄ο†βˆ§ο€Ί2⃗𝐡.

  • A80βƒ—πš₯+48βƒ—π‘˜
  • B160βƒ—πš₯+96βƒ—π‘˜
  • C24βƒ—πš€βˆ’72βƒ—πš₯βˆ’200βƒ—π‘˜
  • Dβˆ’160βƒ—πš₯βˆ’96βƒ—π‘˜

Q4:

Sachant que ⃑𝐴=(4;βˆ’2;βˆ’9) et ⃑𝐡=(4;3;4), dΓ©termine βƒ‘π΄βˆ§βƒ‘π΅.

  • A16⃑𝑖+6βƒ‘π‘—βˆ’36βƒ‘π‘˜
  • Bβˆ’35⃑𝑖+20⃑𝑗+4βƒ‘π‘˜
  • C19βƒ‘π‘–βˆ’52⃑𝑗+20βƒ‘π‘˜
  • D20βƒ‘π‘–βˆ’52⃑𝑗+19βƒ‘π‘˜

Q5:

Γ‰tant donnΓ©s ⃑𝑒=(3;4;βˆ’4), ⃑𝑀=(2;5;βˆ’4) et βƒ‘π‘Ÿ=(βˆ’4;βˆ’4;2), dΓ©termine ο€Ήβƒ‘π‘’βˆ’βƒ‘π‘€ο…βˆ§ο€Ήβƒ‘π‘Ÿβˆ’βƒ‘π‘’ο….

  • A6⃑𝑖+6⃑𝑗+15βƒ‘π‘˜
  • Bβˆ’2βƒ‘π‘–βˆ’2βƒ‘π‘—βˆ’8βƒ‘π‘˜
  • Cβˆ’2⃑𝑖+16⃑𝑗+19βƒ‘π‘˜
  • Dβˆ’6βƒ‘π‘–βˆ’6βƒ‘π‘—βˆ’15βƒ‘π‘˜

Q6:

DΓ©termine les vecteurs unitaires qui sont orthogonaux Γ  ⃗𝑒=(4;2;0) et βƒ—π‘Ÿ=(4;6;βˆ’4).

  • Aο€Όβˆ’13;23;23 ou ο€Ό13;βˆ’23;βˆ’23
  • B(βˆ’24;48;48) ou (24;βˆ’48;βˆ’48)
  • C(βˆ’1;2;2) ou (1;βˆ’2;βˆ’2)
  • D(βˆ’8;16;16) ou (8;βˆ’16;βˆ’16)

Q7:

Γ‰tant donnΓ©s ⃑𝑒=(βˆ’3;4;0) et βƒ‘π‘Ÿ=(1;βˆ’5;1), dΓ©termine le vecteur unitaire normal Γ  un plan dirigΓ© par ⃑𝑒 et βƒ‘π‘Ÿ.

  • A4√146βƒ‘π‘–βˆ’3√146⃑𝑗+11√146βƒ‘π‘˜
  • B4√386βƒ‘π‘–βˆ’3√386⃑𝑗+19√386βƒ‘π‘˜
  • C4√146⃑𝑖+3√146⃑𝑗+11√146βƒ‘π‘˜
  • D11√386⃑𝑖+4√386⃑𝑗+3√386βƒ‘π‘˜

Q8:

Sachant que l'aire de 𝐴𝐡𝐢 est Γ©gale Γ  340, que vaut β€–β€–οƒ π΅π΄βˆ§οƒŸπ΅πΆβ€–β€–β€‰?

Q9:

Si 𝐴𝐡𝐢 est un triangle d'aire 248,5 cm2, alors dΓ©termine la valeur de β€–β€–οƒ«π΅π΄βˆ§οƒ«π΄πΆβ€–β€–.

Q10:

Sachant que 𝐷=(0;βˆ’2;βˆ’8), 𝐸=(6;4;6) et 𝐹=(βˆ’4;βˆ’9;βˆ’2), dΓ©termine l'aire du triangle 𝐷𝐸𝐹 arrondie au centiΓ¨me prΓ¨s.

Q11:

Supposons que ⃑𝐴=(1;1;3) et ⃑𝐡=(4;8;βˆ’8) dΓ©finissent deux cΓ΄tΓ©s d’un triangle. Quelle est l'aire de ce triangle, au centiΓ¨me prΓ¨s ?

Q12:

Si ⃑𝐴=(βˆ’5;0;1) et ⃑𝐡=(3;1;βˆ’3), dΓ©termine βƒ‘π΄βˆ§ο€Ίβƒ‘π΄βˆ’2⃑𝐡.

  • Aβˆ’11⃑𝑖+2⃑𝑗+7βƒ‘π‘˜
  • Bβˆ’βƒ‘π‘–βˆ’15βƒ‘π‘—βˆ’5βƒ‘π‘˜
  • C2⃑𝑖+24⃑𝑗+10βƒ‘π‘˜
  • D⃑𝑖+12⃑𝑗+5βƒ‘π‘˜

Q13:

Si ⃑𝐴=βˆ’10⃑𝑗+5βƒ‘π‘˜ et ⃑𝐡=βˆ’4⃑𝑖+9⃑𝑗+βƒ‘π‘˜, alors dΓ©termine β€–β€–5βƒ‘π΅βˆ§βƒ‘π΄β€–β€–.

  • A25√201
  • B25√129
  • C10√129
  • D10√201

Q14:

Si ⃑𝐴=(βˆ’2;βˆ’4;βˆ’1), ⃑𝐡=(βˆ’4;1;5) et ⃑𝐢=(0;3;0), alors dΓ©termine βƒ‘π΄βˆ§ο€Ίβƒ‘π΅+⃑𝐢.

  • A16βƒ‘π‘–βˆ’14⃑𝑗+24βƒ‘π‘˜
  • Bβˆ’16⃑𝑖+14βƒ‘π‘—βˆ’24βƒ‘π‘˜
  • C8βƒ‘π‘–βˆ’16βƒ‘π‘—βˆ’5βƒ‘π‘˜
  • D8⃑𝑖+16βƒ‘π‘—βˆ’5βƒ‘π‘˜

Q15:

Si ⃗𝑒 et ⃗𝑀 sont deux vecteurs unitaires et πœƒ est l'angle compris entre eux, alors dΓ©termine β€–β€–ο€Ήβƒ—π‘’βˆ’βƒ—π‘€)∧(⃗𝑒+⃗𝑀‖‖.

  • Asinπœƒ
  • B2πœƒsin
  • Cπ‘’π‘€πœƒsin
  • D2π‘’π‘€πœƒsin
  • Eπ‘’π‘€πœƒοŠ¨οŠ¨sin

Q16:

Soit 𝐴𝐡𝐢𝐷 un parallΓ©logramme tel que 𝐴(1;2;1), 𝐡(βˆ’2;4;3), 𝐢(0;3;6) et 𝐷(3;1;4). Calcule l'aire de 𝐴𝐡𝐢𝐷 au dixiΓ¨me prΓ¨s.

Q17:

Si ⃑𝐴=(βˆ’2;2;βˆ’1), ⃑𝐡=(βˆ’4;βˆ’4;βˆ’5) et ⃑𝐢=(βˆ’4;2;4), alors dΓ©termine ο€Ίβƒ‘π΄βˆ§βƒ‘π΅ο†β‹…ο€Ίβƒ‘π΄βˆ§βƒ‘πΆο†.

Q18:

Emilie a installΓ© une voile d’ombrage triangulaire dans son jardin, comme indiquΓ© sur le schΓ©ma.

Calcule l'aire de la voile d'ombrage. Donne ta réponse arrondie au centième près.

Q19:

Si ⃑𝐴 et ⃑𝐡 sont deux vecteurs non nuls, et πœƒ est la mesure de l'angle compris entre eux, alors dΓ©termine β€–β€–βƒ‘π΄βˆ§βƒ‘π΅β€–β€–+ο€Ίβƒ‘π΄β‹…βƒ‘π΅ο†οŠ¨οŠ¨.

  • A1
  • Bβ€–β€–βƒ‘π΄β€–β€–β€–β€–βƒ‘π΅β€–β€–πœƒπœƒsincos
  • Cβ€–β€–βƒ‘π΄β€–β€–β€–β€–βƒ‘π΅β€–β€–πœƒπœƒsincos
  • D0
  • Eβ€–β€–βƒ‘π΄β€–β€–β€–β€–βƒ‘π΅β€–β€–οŠ¨οŠ¨

Q20:

DΓ©termine β€–β€–βƒ‘π΄βˆ§βƒ‘π΅β€–β€–βƒ‘π΄β‹…βƒ‘π΅.

  • Atanπœƒ
  • Bsinπœƒ
  • C0
  • D1
  • Ecosπœƒ

Q21:

DΓ©termine la valeur de π‘₯ sachant que ⃗𝐴=ο€Ή4πœƒ;π‘₯;πœƒο…coslogsin, ⃗𝐡=ο€Ήπœƒ;16;4πœƒο…coslogsin et ⃗𝐴⋅⃗𝐡=10 oΓΉ πœƒ est l'angle entre les vecteurs ⃗𝐴 et ⃗𝐡. Donne la rΓ©ponse arrondie au centiΓ¨me prΓ¨s.

Q22:

Si ‖‖⃑𝐴‖‖=9,5, ‖‖⃑𝐡‖‖=15,0 et βƒ‘π΄βˆ§βƒ‘π΅=122⃑𝐢, oΓΉ ⃑𝐢 est un vecteur unitaire, alors dΓ©termine, Γ  la minute d'arc prΓ¨s, la mesure de l'angle πœƒ compris entre ⃑𝐴 et ⃑𝐡, sachant que 0<πœƒ<90∘∘.

  • A3733β€²βˆ˜
  • B5853β€²βˆ˜
  • C5243β€²βˆ˜
  • D317β€²βˆ˜
  • E1217β€²βˆ˜

Q23:

Supposons que ‖‖⃗𝑒‖‖=6 et que ⃗𝑒 a pour cosinus directeurs 23, βˆ’23 et βˆ’13. DΓ©termine βƒ—π‘’βˆ§βƒ—π‘€, oΓΉ ⃗𝑀=(βˆ’8;0;3).

  • Aβˆ’12βƒ—πš€βˆ’4βƒ—πš₯βˆ’32βƒ—π‘˜
  • Bβˆ’12βƒ—πš€+4βƒ—πš₯βˆ’32βƒ—π‘˜
  • Cβˆ’32βƒ—πš€βˆ’12βƒ—πš₯+4βƒ—π‘˜
  • Dβˆ’12βƒ—πš€+28βƒ—πš₯+32βƒ—π‘˜

Q24:

DΓ©termine la valeur de β€–β€–βƒ‘π΄βˆ§βƒ‘π΅β€–β€–+|⃑𝐴⋅⃑𝐡|2β€–β€–βƒ‘π΄β€–β€–β€–β€–βƒ‘π΅β€–β€–οŠ¨οŠ¨οŠ¨οŠ¨.

  • A14
  • B2
  • C1
  • D12
  • E0

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