Feuille d'activités : Résoudre des systèmes d'équations linéaires à trois inconnues

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à résoudre des systèmes d'équations linéaires à trois inconnues pouvant avoir une solution, une infinité de solutions ou aucune solution.

Q1:

Résous le système d’équations suivant : 2𝑥+3𝑦+2𝑧=215, 6𝑥2𝑦+7𝑧=675 et 𝑥+5𝑦+3𝑧=225.

  • A 𝑥 = 1 4 7 8 5 6 5 , 𝑦 = 8 7 7 5 6 5 , 𝑧 = 5 0 7 5 6 5
  • B 𝑥 = 7 5 2 3 1 5 , 𝑦 = 1 8 7 3 1 5 , 𝑧 = 5 1 8 9
  • C 𝑥 = 2 4 4 2 5 5 , 𝑦 = 1 8 1 8 5 , 𝑧 = 2 1 9 8 5
  • D 𝑥 = 6 5 , 𝑦 = 1 , 𝑧 = 3 5
  • E 𝑥 = 1 3 4 4 5 0 5 , 𝑦 = 2 2 1 1 0 1 , 𝑧 = 1 9 5 1 0 1

Q2:

La somme des âges de trois frères égale 123 années. Le plus âgé est né 3 années avant le second, qui lui-même est né 9 années avant le plus jeune. Détermine leurs âges respectifs actuels.

  • A 34 années, 37 années, 43 années
  • B 34 années, 43 années, 46 years
  • C 37 années, 40 années, 46 années
  • D 37 années, 46 années, 49 années
  • E 34 années, 37 années, 46 années

Q3:

On sait que l’ensemble solution du système d’équations 2𝑥+9𝑦+2𝑧=𝑎,4𝑥+9𝑦3𝑧=𝑏,4𝑥3𝑦+8𝑧=𝑐. est {(6;7;8)}, Détermine les valeurs de 𝑎,𝑏 et 𝑐.

  • A 𝑎 = 6 ; 𝑏 = 7 ; 𝑐 = 8
  • B 𝑎 = 1 4 6 8 7 ; 𝑏 = 4 9 6 7 ; 𝑐 = 2 0 9 5 3
  • C 𝑎 = 2 1 9 0 5 ; 𝑏 = 4 6 4 7 ; 𝑐 = 1 1 2 4 6 8 3
  • D 𝑎 = 3 5 ; 𝑏 = 6 3 ; 𝑐 = 1 9
  • E 𝑎 = 9 1 ; 𝑏 = 6 3 ; 𝑐 = 1 9

Q4:

En utilisant la méthode de Cramer, calcule les valeurs de 𝑎,𝑏 et 𝑐, sachant que {(0;𝑏;𝑐)} est l’ensemble solution du système d’équations: 7𝑥+7𝑦6𝑧=24, 8𝑥+3𝑦4𝑧=6 et 8𝑥+6𝑦3𝑧=𝑎.

  • A 𝑎 = 1 8 ; 𝑏 = 4 ; 𝑐 = 3
  • B 𝑎 = 0 ; 𝑏 = 6 ; 𝑐 = 4
  • C 𝑎 = 2 7 ; 𝑏 = 0 ; 𝑐 = 8
  • D 𝑎 = 2 7 ; 𝑏 = 6 ; 𝑐 = 3
  • E 𝑎 = 0 ; 𝑏 = 6 ; 𝑐 = 3

Q5:

Résous le système d’équations suivant: 3𝑥9𝑦2𝑧=118, 2𝑥+6𝑦9𝑧=32 et 4𝑥8𝑦5𝑧=84.

  • A 𝑥 = 0 ; 𝑦 = 9 ; 𝑧 = 5 0
  • B 𝑥 = 8 2 4 1 5 5 ; 𝑦 = 1 2 3 4 1 5 5 ; 𝑧 = 3 3 2 3 1
  • C 𝑥 = 5 5 0 1 7 ; 𝑦 = 4 0 9 3 4 ; 𝑧 = 1 5 4 1 7
  • D 𝑥 = 5 ; 𝑦 = 2 ; 𝑧 = 1 3 5 2
  • E 𝑥 = 7 ; 𝑦 = 9 ; 𝑧 = 8

Q6:

Résous le système d’équations suivant : 4𝑥+3𝑦6𝑧12=0, 7𝑥+𝑦8𝑧127=0 et 9𝑥+8𝑦5𝑧121=0.

  • A 𝑥 = 5 , 𝑦 = 6 , 𝑧 = 1 1 2
  • B 𝑥 = 2 , 𝑦 = 5 , 𝑧 = 5
  • C 𝑥 = 9 , 𝑦 = 0 , 𝑧 = 8
  • D 𝑥 = 1 1 8 1 1 4 9 , 𝑦 = 4 1 9 2 4 4 7 , 𝑧 = 1 4 0 8 1 4 9
  • E 𝑥 = 2 7 2 1 1 6 7 , 𝑦 = 9 3 2 4 1 6 7 , 𝑧 = 8 7 7 0 1 6 7

Q7:

Résous le système d’équations suivant : 2𝑥+6𝑦+3𝑧=17, 9𝑥4𝑧=27 et 3𝑥+2𝑦=11.

  • A 𝑥 = 1 , 𝑦 = 7 , 𝑧 = 9
  • B 𝑥 = 1 , 𝑦 = 7 , 𝑧 = 0
  • C 𝑥 = 1 4 5 7 1 , 𝑦 = 4 1 6 7 1 , 𝑧 = 4 4 1 7 1
  • D 𝑥 = 3 , 𝑦 = 0 , 𝑧 = 7 2
  • E 𝑥 = 2 8 1 5 5 , 𝑦 = 1 7 1 1 , 𝑧 = 2 6 1 5 5

Q8:

Résous le système d’équations suivant : 9𝑥5𝑦𝑧=1,4𝑥6𝑦5𝑧=1,4𝑥4𝑦+3𝑧=1.

  • A 𝑥 = 1 1 3 , 𝑦 = 4 1 9 , 𝑧 = 1 1 9
  • B 𝑥 = 2 2 3 1 , 𝑦 = 1 3 1 , 𝑧 = 5 3 1
  • C 𝑥 = 0 , 𝑦 = 4 1 9 , 𝑧 = 1 1 9
  • D 𝑥 = 1 5 , 𝑦 = 4 1 9 , 𝑧 = 1 1 9
  • E 𝑥 = 2 9 , 𝑦 = 4 1 9 , 𝑧 = 1 1 9

Q9:

Détermine l'ensemble solution du système d'équations 65𝑥+84𝑦+16𝑧=546, 81𝑥+105𝑦+20𝑧=682, 84𝑥+110𝑦+21𝑧=713, en donnant ta réponse en fonction d'un paramètre réel 𝑡 si nécessaire.

  • A 𝑥 = 2 , 𝑦 = 4 , 𝑧 = 5
  • B 𝑥 = 5 , 𝑦 = 4 , 𝑧 = 2
  • C 𝑥 = 2 , 𝑦 = 4 , 𝑧 = 5
  • D 𝑥 = 4 , 𝑦 = 2 , 𝑧 = 5
  • E 𝑥 = 2 , 𝑦 = 6 , 𝑧 = 3

Q10:

Détermine l'ensemble solution du système d'équations 9𝑥2𝑦+4𝑧=17, 13𝑥3𝑦+6𝑧=25, 2𝑥𝑧=3, en donnant ta réponse en fonction d'un paramètre réel 𝑡 si nécessaire.

  • A 𝑥 = 1 , 𝑦 = 2 , 𝑧 = 1
  • B 𝑥 = 1 , 𝑦 = 3 , 𝑧 = 2
  • C 𝑥 = 1 , 𝑦 = 2 , 𝑧 = 1
  • D 𝑥 = 1 , 𝑦 = 2 , 𝑧 = 1
  • E 𝑥 = 1 , 𝑦 = 2 , 𝑧 = 1

Q11:

La somme de la longueur et de la largeur d'un pavé droit égale 24 cm, la somme de la largeur et de la hauteur égale 19 cm, et la somme de la hauteur et de la longueur égale 31 cm. Calcule le volume du pavé droit.

Q12:

Dans le triangle 𝐴𝐵𝐶, l'un des angles est la moyenne arithmétique des deux autres. Détermine chaque angle du triangle sachant que la différence entre l'angle le plus petit et le plus grand est 61.

  • A 2 9 , 5 , 1 2 0 , 9 0 , 5
  • B 4 6 , 6 4 , 5 , 8 3
  • C 9 0 , 5 , 6 0 , 2 9 , 5
  • D 9 8 , 6 0 , 2 2

Q13:

Résous le système d’équations suivant : 9𝑥+8𝑦+6𝑧5=0, 7𝑥7𝑦4𝑧44=0 et 9𝑥8𝑦𝑧64=0.

  • A 𝑥 = 4 5 5 2 9 , 𝑦 = 3 3 7 1 1 4 5 , 𝑧 = 6 4 8 3 1 4 5
  • B 𝑥 = 4 , 𝑦 = 8 , 𝑧 = 2 3 6
  • C 𝑥 = 3 , 𝑦 = 5 , 𝑧 = 3
  • D 𝑥 = 2 0 7 7 7 7 , 𝑦 = 4 1 , 𝑧 = 1 0 9 3 1 1
  • E 𝑥 = 1 , 𝑦 = 6 , 𝑧 = 1 9 3

Q14:

Résous le système d’équations suivant : 7𝑥+9𝑦8𝑧=19, 4𝑥7𝑧=2 et 3𝑥+8𝑦=44.

  • A 𝑥 = 4 1 2 9 3 , 𝑦 = 1 3 3 7 2 7 9 , 𝑧 = 2 6 2 9 3
  • B 𝑥 = 1 5 8 0 5 3 , 𝑦 = 3 9 7 5 3 , 𝑧 = 1 0 3 4 5 3
  • C 𝑥 = 1 , 𝑦 = 0 , 𝑧 = 4 8 7
  • D 𝑥 = 4 , 𝑦 = 7 , 𝑧 = 2
  • E 𝑥 = 4 , 𝑦 = 7 , 𝑧 = 0

Q15:

Trois nombres ont pour somme 216. La somme des deux premiers nombres vaut 112 et le troisième nombre est plus petit que cette somme de 8 unités. Combien y a-t-il de triplets possibles?

  • AUne infinité, le système admet des solutions mais n’est pas indépendant.
  • B0, le système est impossible.
  • C1, le système admet une solution et est indépendant.

Q16:

Détermine les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sachant que (𝑥+3), (𝑥2) et (𝑥+4) sont des diviseurs de 𝑥+𝑎+𝑏+𝑐.

  • A 𝑎 = 5 , 𝑏 = 2 , 𝑐 = 2 4
  • B 𝑎 = 5 , 𝑏 = 2 , 𝑐 = 2 4
  • C 𝑎 = 5 , 𝑏 = 2 , 𝑐 = 2 4
  • D 𝑎 = 5 , 𝑏 = 2 , 𝑐 = 2 4
  • E 𝑎 = 5 , 𝑏 = 2 , 𝑐 = 2 4

Q17:

Quatre fois le poids de Jacques correspond à 150 livres en plus que le poids de Emilie. Quatre fois le poids de Emilie correspond à 660 livres en moins que dix-sept fois le poids de Jacques. Quatre fois le poids de Jacques plus le poids de Bastien est égal à 290 livres. Mehdi équilibrerait les trois autres. Détermine les poids des quatre personnes.

  • Apoids de Jacques = 60 lb, poids de Emilie = 90 lb, poids de Mehdi = 200 lb, poids de Bastien = 50 lb
  • Bpoids de Jacques = 50 lb, poids de Emilie = 60 lb, poids de Mehdi = 90 lb, poids de Bastien = 200 lb
  • Cpoids de Jacques = 90 lb, poids de Emilie = 60 lb, poids de Mehdi = 50 lb, poids de Bastien = 200 lb
  • Dpoids de Jacques = 60 lb, poids de Emilie = 90 lb, poids de Mehdi = 50 lb, poids de Bastien = 200 lb
  • Epoids de Jacques = 90 lb, poids de Emilie = 60 lb, poids de Mehdi = 200 lb, poids de Bastien = 50 lb

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