Feuille d'activités : Champs vectoriels conservatifs

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer si un champ de vecteurs est conservatif ou non et à rechercher la fonction potentielle des champs de vecteurs conservatifs.

Q1:

Existe-t-il une fonction potentielle 𝐹(π‘₯,𝑦) pour la fonction dΓ©finie par ⃗𝑓(π‘₯,𝑦)=π‘₯βƒ—πš€βˆ’π‘¦βƒ—πš₯ ? Si oui, trouves-en une.

  • A oui, 𝐹(π‘₯,𝑦)=π‘₯2+𝑦2
  • B oui, 𝐹(π‘₯,𝑦)=π‘₯2βˆ’π‘¦2
  • C oui, 𝐹(π‘₯,𝑦)=π‘₯+π‘¦οŠ¨οŠ¨
  • D non
  • E oui, 𝐹(π‘₯,𝑦)=π‘₯βˆ’π‘¦οŠ¨οŠ¨

Q2:

Y a-t-il un potentiel 𝐹(π‘₯,𝑦) pour ⃗𝑓(π‘₯,𝑦)=𝑦+3π‘₯ο…βƒ—πš€+2π‘₯𝑦⃗πš₯οŠ¨οŠ¨β€‰? Si oui, trouves-en un.

  • Aoui, 𝐹(π‘₯,𝑦)=π‘₯𝑦+𝑦π‘₯
  • Boui, 𝐹(π‘₯,𝑦)=π‘₯𝑦+π‘₯
  • Coui, 𝐹(π‘₯,𝑦)=π‘₯π‘¦βˆ’π‘₯
  • Doui, 𝐹(π‘₯,𝑦)=π‘₯𝑦+π‘₯
  • Enon

Q3:

Existe-t-il une fonction potentielle 𝐹(π‘₯,𝑦) pour la fonction dΓ©finie par 𝑓(π‘₯,𝑦)=ο€Ήπ‘₯π‘₯𝑦+2π‘₯π‘₯π‘¦ο…βƒ—πš€+π‘₯𝑦⃗πš₯cossin ? Si oui, trouves-en une.

  • Aoui, 𝐹(π‘₯,𝑦)=π‘₯π‘₯π‘¦βˆ’2π‘₯π‘¦οŠ¨sincos
  • Bnon

Q4:

Existe-t-il une fonction potentielle 𝐹(π‘₯,𝑦) pour la fonction dΓ©finie par ⃗𝑓(π‘₯,𝑦)=π‘₯π‘¦βƒ—πš€βˆ’π‘₯𝑦⃗πš₯οŠ¨οŠ©β€‰? Si oui, trouves-en une.

  • Aoui, 𝐹(π‘₯,𝑦)=π‘₯π‘¦οŠ¨οŠ¨
  • Boui, 𝐹(π‘₯,𝑦)=βˆ’π‘₯π‘¦οŠ¨οŠ¨
  • Cnon
  • Doui, 𝐹(π‘₯,𝑦)=π‘₯𝑦2+π‘₯𝑦2
  • Eoui, 𝐹(π‘₯,𝑦)=π‘₯𝑦2βˆ’π‘₯𝑦2

Q5:

Indique si le champ vectoriel ⃗𝑓(π‘₯,𝑦,𝑧)=π‘Žβƒ—πš€+𝑏⃗πš₯+π‘βƒ—π‘˜ (oΓΉ π‘Ž, 𝑏, 𝑐 sont des constantes) admet un potentiel dans β„οŠ©.

  • Aoui
  • Bnon

Q6:

Indique si le champ vectoriel ⃗𝑓(π‘₯,𝑦,𝑧)=π‘₯π‘¦βƒ—πš€βˆ’ο€Ήπ‘₯βˆ’π‘¦π‘§ο…βƒ—πš₯+π‘¦π‘§βƒ—π‘˜οŠ¨οŠ¨ admet un potentiel dans β„οŠ©.

  • Anon
  • Boui

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