Feuille d'activités : Variables aléatoires discrètes et espérance

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à calculer l'espérance à partir d'un tableau ou d'un graphique et apprendre à calculer la variance pour une loi de probabilité.

Q1:

Calcule l'espérance de la variable aléatoire 𝑋 dont la loi de probabilité est la suivante.

Q2:

La fonction dans le tableau suivant est la fonction de probabilité d'une variable aléatoire discrète 𝑋. Détermine la valeur de 𝑎.

𝑥 0 1 2 3 4
𝑓 ( 𝑥 ) 2 𝑎 0,3 0,3 𝑎 𝑎

Q3:

La fonction dans le tableau suivant est la fonction de probabilité d'une variable aléatoire discrète 𝑋. Calcule l'espérance de 𝑋.

𝑥 1 3 4 6
𝑓 ( 𝑥 ) 1 0 2 7 8 𝑎 6 𝑎 1 9
  • A 2 8 6 2 7
  • B 5 8 2 7
  • C 7 6 2 7
  • D15

Q4:

Le tableau des effectifs indique le nombre de voitures que 65 familles possèdent.

Nombre de voitures 1 2 3 4
Effectif 10 35 15 5

Détermine la médiane du nombre de voitures par famille.

  • A 2 2 9
  • B 1 3 2
  • C 2 9 2
  • D 1 3 2 9
  • E 2 9 1 3

Ces données peuvent être exprimées comme une loi de probabilité pour la variable aléatoire discrète 𝑋 comme illustré ci-dessous. Détermine la valeur de 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑.

𝑥 1 2 3 4
𝑝 ( ) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑
  • A 𝑎 = 2 1 3 , 𝑏 = 7 1 3 , 𝑐 = 9 1 3 , 𝑑 = 1 1 3
  • B 𝑎 = 1 1 0 , 𝑏 = 2 3 5 , 𝑐 = 1 5 , 𝑑 = 4 5
  • C 𝑎 = 2 1 3 , 𝑏 = 7 1 3 , 𝑐 = 9 1 3 , 𝑑 = 4 1 3
  • D 𝑎 = 2 1 3 , 𝑏 = 7 1 3 , 𝑐 = 3 1 3 , 𝑑 = 1 1 3
  • E 𝑎 = 1 1 1 3 , 𝑏 = 6 1 3 , 𝑐 = 1 0 1 3 , 𝑑 = 1 2 1 3

Calcule l'espérance de 𝑋.

  • A 2 9 1 3
  • B 2 9 2
  • C 2 2 9
  • D 1 3 2
  • E 1 3 2 9

Q5:

Le tableau donne la loi de probabilité d'un dé à six faces équilibré. Calcule 𝐸(𝑋).

𝑥 1 2 3 4 5 6
𝑝 ( ) 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6

Q6:

La variable aléatoire discrète 𝑋 a la loi de probabilité suivante.

𝑥 1 2 3 4 5 6
𝑝 ( ) 0,1 0,3 0,2 0,1 0,1 𝑘

Détermine la valeur de 𝑘.

  • A0,1
  • B0,4
  • C0,2
  • D0,8
  • E0,3

Ainsi, détermine l'espérance de 𝑋.

  • A4
  • B3,4
  • C7
  • D2,8
  • E4,6

Q7:

Une expérience produit la variable aléatoire discrète 𝑋 qui a la loi de probabilité montrée. Si un nombre très élevé d'essais était effectué, quelle serait la moyenne probable de toutes les issues?

𝑥 2 3 4 5
𝑝 ( 𝑥 ) 0,1 0,3 0,2 0,4

Q8:

Calcule l'espérance de la variable aléatoire 𝑋 dont la loi de probabilité est donnée.

Q9:

Calcule l'espérance de la variable aléatoire 𝑋 dont la loi de probabilité est donnée.

Q10:

La fonction dans le tableau suivant est la fonction de probabilité d'une variable aléatoire discrète 𝑋. Sachant que l'espérance de 𝑋 vaut 4, détermine les valeurs de 𝑎 and 𝑏.

𝑥 1 3 𝑏 5 6
𝑓 ( 𝑥 ) 0,2 0,2 𝑎 0,2 0,3
  • A 𝑎 = 0 , 1 , 𝑏 = 3
  • B 𝑎 = 0 , 𝑏 = 3
  • C 𝑎 = 0 , 1 , 𝑏 = 4
  • D 𝑎 = 0 , 2 , 𝑏 = 5

Q11:

La fonction dans le tableau donné est une densité de probabilité d’une variable aléatoire discrète 𝑋. Détermine la valeur de 𝑎.

𝑥 2 3 4 5
𝑓 ( 𝑥 ) 7 𝑎 5 𝑎 9 𝑎 3 𝑎
  • A0
  • B 1 7
  • C 1 2 4
  • D 1 1 2

Q12:

Une expérience qui produit la variable aléatoire discrète 𝑋 a la loi de probabilité donnée.

𝑥 2 3 4 5
𝑝 ( 𝑥 ) 0,1 0,3 0,2 0,4

Calcule 𝐸(𝑋).

Calcule 𝐸𝑋.

La variance de 𝑋 peut être calculée en utilisant la formule Var(𝑋)=𝐸𝑋𝐸(𝑋). Calcule Var(𝑋) au centième près.

Q13:

Calcule l'espérance de la variable aléatoire 𝑋 dont la loi de probabilité est donnée.

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