Feuille d'activités : Dériver des fonctions définies implicitement

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à dériver des fonctions implicites.

Q1:

Écris l’équation de la tangente à la courbe d’équation 9 𝑦 = 7 𝑥 + 9 dont le coefficient directeur est égal à 7 1 8 .

  • A 1 8 𝑦 7 𝑥 + 1 = 0
  • B 9 𝑦 𝑥 + 1 8 = 0
  • C 7 𝑦 + 1 8 𝑥 + 1 8 = 0
  • D 1 8 𝑦 7 𝑥 + 1 8 = 0

Q2:

Sachant que 𝑥 + 3 𝑦 = 3 , détermine 𝑦 par dérivation implicite.

  • A 𝑦 = 2 𝑥 + 3 9 𝑦
  • B 𝑦 = 𝑦 + 1 1 2 𝑦
  • C 𝑦 = 2 𝑦 1 3 𝑦
  • D 𝑦 = 1 3 𝑦
  • E 𝑦 = 1 3 𝑦

Q3:

Est-ce que les courbes d’équations 9 𝑦 8 𝑦 = 6 𝑥 et 5 𝑥 3 𝑦 = 4 𝑥 se coupent de manière orthogonale à l’origine?

  • Aoui
  • Bnon

Q4:

Détermine l’équation de la tangente à la courbe d’équation 6 𝑥 + 𝑥 𝑦 5 𝑦 = 0 au point de coordonnées ( 2 ; 4 ) .

  • A 1 1 𝑥 3 + 𝑦 + 1 0 3 = 0
  • B 3 𝑥 1 1 + 𝑦 5 0 1 1 = 0
  • C 1 1 𝑥 3 + 𝑦 3 4 3 = 0
  • D 1 1 𝑥 3 + 𝑦 + 1 0 3 = 0

Q5:

Détermine le coefficient directeur de la tangente à la courbe d’équation 5 𝑥 2 𝑦 2 𝑦 𝑥 = 4 au point de coordonnées ( 2 ; 5 ) .

  • A 5 6
  • B 2 5 2
  • C 5 3
  • D 5 2

Q6:

En un point de la courbe d’équation 𝑥 + 3 𝑥 + 𝑦 + 5 𝑦 + 4 = 0 , avec 𝑥 < 0 et 𝑦 < 0 , la tangente forme un angle de 9 𝜋 4 avec l’axe des abscisses. Détermine l’équation de la tangente en ce point.

  • A 𝑥 + 𝑦 4 = 0
  • B 𝑥 + 𝑦 + 4 = 0
  • C 𝑥 + 𝑦 + 2 = 0
  • D 𝑥 + 𝑦 2 = 0

Q7:

Détermine l’équation de la tangente à la courbe d’équation 2 𝑦 = 8 7 𝑥 1 au point de coordonnées ( 0 , 2 ) .

  • A 𝑦 𝑥 2 = 0
  • B 𝑦 + 𝑥 7 2 = 0
  • C 𝑦 + 𝑥 2 = 0
  • D 𝑦 7 𝑥 2 = 0

Q8:

Détermine une équation de la tangente à la courbe d’équation 9 𝑥 6 𝑥 + 6 𝑥 𝑦 𝑦 + 2 = 0 en le point de coordonnées ( 0 , 1 ) .

  • A 𝑦 3 𝑥 1 = 0
  • B 𝑦 + 𝑥 2 1 = 0
  • C 𝑦 + 𝑥 3 1 = 0
  • D 𝑦 2 𝑥 1 = 0

Q9:

Détermine les coordonnées des points de la courbe d’équation 5 𝑥 8 𝑥 𝑦 + 4 𝑦 = 4 en lesquels la tangente est parallèle à l’axe des ordonnées.

  • A ( 1 , 1 ) , ( 1 , 1 )
  • B ( 2 , 2 )
  • C ( 1 , 1 )
  • D ( 2 , 2 ) , ( 2 , 2 )

Q10:

Détermine l’équation de la tangente à la courbe d'équation 5 𝑥 + 4 𝑦 = 1 9 au point de coordonnées ( 3 , 4 ) .

  • A 1 6 𝑦 + 1 5 𝑥 + 1 9 = 0
  • B 1 6 𝑦 1 5 𝑥 1 0 9 = 0
  • C 1 5 𝑦 1 6 𝑥 1 0 8 = 0
  • D 1 6 𝑦 + 1 5 𝑥 1 9 = 0

Q11:

La tangente en le point de coordonnées ( 2 ; 1 ) à la courbe d’équation 6 𝑥 + 4 𝑥 𝑦 𝑦 = 1 7 forme un angle positif avec l’axe des abscisses. Détermine la mesure principale de cet angle à la minute d’arc près.

  • A 5 3 8
  • B 7 0 4 3
  • C 4 8 4 9
  • D 7 3 1 8

Q12:

Une tangente à la courbe d’équation 𝑥 + 𝑦 = 7 2 forme un triangle isocèle avec les axes des abscisses et ordonnées du côté positif. Quelle est l’équation de cette tangente?

  • A 𝑥 + 𝑦 1 2 = 0
  • B 𝑥 + 𝑦 = 0
  • C 𝑥 + 𝑦 = 0
  • D 𝑥 + 𝑦 1 2 = 0

Q13:

On pose 2 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 = 1 . Détermine 𝑦 par dérivation implicite.

  • A 𝑦 = 9 𝑥 𝑦 9 𝑦 ( 2 𝑦 + 𝑥 )
  • B 𝑦 = 7 𝑥 𝑦 7 𝑦 ( 2 𝑦 + 𝑥 )
  • C 𝑦 = 9 𝑥 9 𝑦 ( 2 𝑦 + 𝑥 )
  • D 𝑦 = 9 𝑥 𝑦 9 𝑦 ( 2 𝑦 + 𝑥 )
  • E 𝑦 = 9 𝑥 9 𝑦 ( 2 𝑦 + 𝑥 )

Q14:

Détermine les équations des deux tangentes au cercle d’équation 𝑥 + 𝑦 = 1 2 5 qui forment un angle avec l’axe des abscisses (orienté du côté positif) dont la tangente vaut 2.

  • A 2 𝑦 𝑥 = 0 , 2 𝑦 𝑥 = 0
  • B 𝑦 + 2 𝑥 + 1 5 = 0 , 𝑦 + 2 𝑥 1 5 = 0
  • C 2 𝑦 𝑥 2 0 = 0 , 2 𝑦 𝑥 + 2 0 = 0
  • D 𝑦 2 𝑥 2 5 = 0 , 𝑦 2 𝑥 + 2 5 = 0

Q15:

Détermine l’équation de la tangente à la courbe d’équation 4 𝑥 𝑦 + 3 𝑥 𝑦 = 1 au point de coordonnées ( 1 ; 1 ) .

  • A 2 𝑥 5 + 𝑦 7 5 = 0
  • B 5 𝑥 2 + 𝑦 7 2 = 0
  • C 2 𝑥 5 + 𝑦 3 5 = 0
  • D 5 𝑥 2 + 𝑦 + 3 2 = 0

Q16:

Le point de coordonnées ( 5 ; 2 ) appartient à la courbe d’équation 𝑥 + 𝑦 3 𝑘 𝑥 + 7 = 0 . Détermine la valeur de 𝑘 ainsi qu’une équation de la tangente à la courbe en ce point.

  • A 𝑘 = 1 2 5 , équation de la tangente: 7 𝑥 1 0 + 𝑦 + 3 2 = 0
  • B 𝑘 = 1 2 5 , équation de la tangente: 4 3 𝑥 1 0 + 𝑦 + 4 7 2 = 0
  • C 𝑘 = 1 2 5 , équation de la tangente: 7 𝑥 1 0 + 𝑦 + 1 1 2 = 0
  • D 𝑘 = 1 2 5 , équation de la tangente: 7 𝑥 1 0 + 𝑦 + 1 1 2 = 0

Q17:

La tangente en le point de coordonnées ( 2 , 2 ) à la courbe d'équation 𝑥 + 𝑥 𝑦 + 5 𝑥 + 5 𝑦 = 0 forme un angle de mesure positive avec l'axe des abscisses. Détermine cette mesure.

  • A 6 0
  • B 3 0
  • C 9 0
  • D 1 3 5
  • E 4 5

Q18:

Détermine l’équation de la tangente à la courbe d’équation s i n c o s 7 𝑥 = 6 𝑦 au point de coordonnées 0 , 3 𝜋 4 .

  • A 7 𝑦 + 6 𝑥 + 2 1 𝜋 4 = 0
  • B 6 𝑦 7 𝑥 9 𝜋 2 = 0
  • C 7 𝑦 6 𝑥 + 2 1 𝜋 4 = 0
  • D 6 𝑦 + 7 𝑥 9 𝜋 2 = 0

Q19:

Détermine les coordonnées des points de la courbe d’équation 𝑥 + 𝑦 = 4 5 en lesquels la tangente à la courbe est perpendiculaire à la droite d’équation 𝑦 = 2 𝑥 + 1 2 .

  • A ( 6 , 3 ) , ( 6 , 3 )
  • B ( 3 , 6 ) , ( 3 , 6 )
  • C ( 6 , 3 ) , ( 6 , 3 )
  • D ( 3 , 6 ) , ( 3 , 6 )

Q20:

Détermine l’équation de la normale à la courbe d’équation 𝑦 = 5 2 𝑥 1 en le point de coordonnées ( 3 , 1 ) .

  • A 𝑦 + 𝑥 1 0 1 3 1 0 = 0
  • B 𝑦 + 𝑥 5 8 5 = 0
  • C 𝑦 1 0 𝑥 + 2 9 = 0
  • D 𝑦 5 𝑥 + 1 4 = 0

Q21:

Détermine les équations des normales à la courbe d’équation 𝑥 + 3 𝑥 + 𝑦 2 𝑦 4 = 0 en les points qui sont aussi situés sur l’axe des abscisses.

  • A 2 𝑥 + 5 𝑦 + 2 = 0 , 2 𝑥 + 5 𝑦 2 = 0
  • B 5 𝑥 + 2 𝑦 + 5 = 0 , 5 𝑥 + 2 𝑦 + 2 0 = 0
  • C 2 𝑥 + 5 𝑦 + 2 = 0 , 2 𝑥 + 5 𝑦 + 8 = 0
  • D 2 𝑥 + 5 𝑦 2 = 0 , 2 𝑥 + 5 𝑦 8 = 0

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