Feuille d'activités : Trouver une fonction polynomiale à partir de ses zéros dans les nombres complexes à l'aide de la décomposition en facteurs irréductibles.

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à écrire une fonction polynomiale unitaire à coefficients réels, compte tenu de ses zéros, à l'aide de la décomposition en facteurs irréductibles et la théorie sur les racines conjuguées.

Q1:

Écris, sous la forme standard, une fonction polynôme de plus petit degré avec des coefficients réels sachant qu'elle a comme racines 1 , 2 et 7 + 2 𝑖 .

  • A 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 1 7 𝑥 + 9 3 𝑥 1 3 1 𝑥 1 0 6
  • B 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 + 1 7 𝑥 + 9 7 𝑥 + 1 8 7 𝑥 + 1 0 6
  • C 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 + 1 7 𝑥 1 3 𝑥 1 8 7 𝑥 + 1 0 6
  • D 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 1 7 𝑥 + 9 7 𝑥 1 8 7 𝑥 + 1 0 6
  • E 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 1 7 𝑥 9 𝑥 + 1 3 1 𝑥 1 0 6

Q2:

Écris, sous la forme standard, une fonction polynôme de plus petit degré avec des coefficients réels, sachant qu'elle a comme racines 4 et 2 𝑖 (multiples de 2).

  • A 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 4 𝑥 + 8 𝑥 3 2 𝑥 + 1 6 𝑥 6 4
  • B 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 + 4 𝑥 8 𝑥 3 2 𝑥 + 1 6 𝑥 + 6 4
  • C 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 4 𝑥 8 𝑥 + 3 2 𝑥 + 1 6 𝑥 6 4
  • D 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 + 4 𝑥 + 8 𝑥 + 3 2 𝑥 + 1 6 𝑥 + 6 4

Q3:

Écris, sous la forme standard, une fonction polynôme de plus petit degré avec des coefficients réels, sachant qu'elle a comme racines 5 + 2 , 5 + 2 et 3 𝑖 .

  • A 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 + 1 0 𝑥 + 3 3 𝑥 + 3 4 𝑥 1 0
  • B 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 2 𝑥 1 5 𝑥 + 4 6 𝑥 1 0
  • C 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 1 0 𝑥 + 3 5 𝑥 4 6 𝑥 + 1 0
  • D 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 1 0 𝑥 + 3 3 𝑥 3 4 𝑥 1 0
  • E 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 1 0 𝑥 + 1 3 𝑥 + 4 6 𝑥 + 1 0

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