Feuille d'activités : Trouver une fonction polynomiale à partir de ses zéros dans les nombres complexes à l'aide de la décomposition en facteurs irréductibles.

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à écrire une fonction polynomiale unitaire à coefficients réels, compte tenu de ses zéros, à l'aide de la décomposition en facteurs irréductibles et la théorie sur les racines conjuguées.

Q1:

Γ‰cris, sous la forme standard, une fonction polynΓ΄me de plus petit degrΓ© avec des coefficients rΓ©els sachant qu'elle a comme racines 1,2 et 7+2𝑖.

  • A𝑓(π‘₯)=π‘₯βˆ’17π‘₯+97π‘₯βˆ’187π‘₯+106οŠͺ
  • B𝑓(π‘₯)=π‘₯+17π‘₯+97π‘₯+187π‘₯+106οŠͺ
  • C𝑓(π‘₯)=π‘₯βˆ’17π‘₯βˆ’9π‘₯+131π‘₯βˆ’106οŠͺ
  • D𝑓(π‘₯)=π‘₯+17π‘₯βˆ’13π‘₯βˆ’187π‘₯+106οŠͺ
  • E𝑓(π‘₯)=π‘₯βˆ’17π‘₯+93π‘₯βˆ’131π‘₯βˆ’106οŠͺ

Q2:

Γ‰cris, sous la forme standard, une fonction polynΓ΄me de plus petit degrΓ© avec des coefficients rΓ©els, sachant qu'elle a comme racines βˆ’4 et 2𝑖 (multiples de 2).

  • A𝑓(π‘₯)=π‘₯βˆ’4π‘₯βˆ’8π‘₯+32π‘₯+16π‘₯βˆ’64οŠͺ
  • B𝑓(π‘₯)=π‘₯βˆ’4π‘₯+8π‘₯βˆ’32π‘₯+16π‘₯βˆ’64οŠͺ
  • C𝑓(π‘₯)=π‘₯+4π‘₯+8π‘₯+32π‘₯+16π‘₯+64οŠͺ
  • D𝑓(π‘₯)=π‘₯+4π‘₯βˆ’8π‘₯βˆ’32π‘₯+16π‘₯+64οŠͺ

Q3:

Γ‰cris, sous la forme standard, une fonction polynΓ΄me de plus petit degrΓ© avec des coefficients rΓ©els, sachant qu'elle a comme racines √5+2, βˆ’βˆš5+2 et 3βˆ’π‘–.

  • A𝑓(π‘₯)=π‘₯βˆ’10π‘₯+33π‘₯βˆ’34π‘₯βˆ’10οŠͺ
  • B𝑓(π‘₯)=π‘₯βˆ’10π‘₯+13π‘₯+46π‘₯+10οŠͺ
  • C𝑓(π‘₯)=π‘₯βˆ’10π‘₯+35π‘₯βˆ’46π‘₯+10οŠͺ
  • D𝑓(π‘₯)=π‘₯βˆ’2π‘₯βˆ’15π‘₯+46π‘₯βˆ’10οŠͺ
  • E𝑓(π‘₯)=π‘₯+10π‘₯+33π‘₯+34π‘₯βˆ’10οŠͺ

Q4:

ConsidΓ¨re la fonction dΓ©finie par 𝑔(π‘₯)=π‘₯βˆ’7π‘₯+11π‘₯βˆ’41π‘₯+180οŠͺ.

Γ‰cris 𝑔(π‘₯) comme le produit de polynΓ΄mes du premier degrΓ© et de polynΓ΄mes du deuxiΓ¨me degrΓ© irrΓ©ductibles.

  • A𝑔(π‘₯)=(π‘₯+4)(π‘₯+5)(π‘₯+π‘₯+4)
  • B𝑔(π‘₯)=(π‘₯+4)(π‘₯+5)(π‘₯+2π‘₯+9)
  • C𝑔(π‘₯)=(π‘₯βˆ’4)(π‘₯βˆ’5)(π‘₯+π‘₯+4)
  • D𝑔(π‘₯)=(π‘₯βˆ’4)(π‘₯βˆ’5)(π‘₯+2π‘₯+9)

Γ‰cris 𝑔(π‘₯) comme le produit de polynΓ΄mes du premier degrΓ©.

  • A𝑔(π‘₯)=(π‘₯+4)(π‘₯+5)ο€»π‘₯+1βˆ’2√2𝑖π‘₯+1+2√2𝑖
  • B𝑔(π‘₯)=(π‘₯+4)(π‘₯+5)ο€Ώπ‘₯+12βˆ’βˆš152𝑖π‘₯+12+√152𝑖
  • C𝑔(π‘₯)=(π‘₯βˆ’4)(π‘₯βˆ’5)ο€»π‘₯+1βˆ’2√2𝑖π‘₯+1+2√2𝑖
  • D𝑔(π‘₯)=(π‘₯βˆ’4)(π‘₯βˆ’5)ο€Ώπ‘₯+12βˆ’βˆš152𝑖π‘₯+12+√152𝑖

Liste toutes les racines de 𝑔(π‘₯).

  • Aβˆ’5;βˆ’4;βˆ’12βˆ’βˆš152𝑖;βˆ’12+√152𝑖
  • B4;5;βˆ’12βˆ’βˆš152𝑖;βˆ’12+√152𝑖
  • C4;5;βˆ’1+2√2𝑖;βˆ’1βˆ’2√2𝑖
  • Dβˆ’5;βˆ’4;βˆ’1+2√2𝑖;βˆ’1βˆ’2√2𝑖

Q5:

ConsidΓ¨re la fonction dΓ©finie par β„Ž(π‘₯)=5π‘₯βˆ’4π‘₯βˆ’81π‘₯+134π‘₯+30οŠͺ.

Γ‰cris β„Ž(π‘₯) comme le produit de polynΓ΄mes du premier degrΓ© et irrΓ©ductibles du second degrΓ©.

  • Aβ„Ž(π‘₯)=(π‘₯βˆ’3)(5π‘₯+1)(π‘₯+2π‘₯βˆ’10)
  • Bβ„Ž(π‘₯)=(π‘₯+3)(5π‘₯βˆ’1)(π‘₯+1+√11)(π‘₯+1βˆ’βˆš11)
  • Cβ„Ž(π‘₯)=(π‘₯βˆ’3)(5π‘₯+1)(π‘₯βˆ’1+√11)(π‘₯βˆ’1βˆ’βˆš11)
  • Dβ„Ž(π‘₯)=(π‘₯βˆ’3)(5π‘₯+1)(π‘₯+1+√11)(π‘₯+1βˆ’βˆš11)
  • Eβ„Ž(π‘₯)=(π‘₯+3)(5π‘₯βˆ’1)(π‘₯+2π‘₯βˆ’10)

Liste toutes les racines de β„Ž(π‘₯).

  • A3;βˆ’15
  • Bβˆ’3;15
  • Cβˆ’3;15;βˆ’1βˆ’βˆš11;√11βˆ’1
  • D3;βˆ’15;βˆ’1βˆ’βˆš11;√11βˆ’1
  • E3;βˆ’15;1βˆ’βˆš11;1+√11

Q6:

ConsidΓ¨re la fonction dΓ©finie par 𝑓(π‘₯)=π‘₯+3π‘₯βˆ’5π‘₯βˆ’3π‘₯+4οŠͺ.

Γ‰cris 𝑓(π‘₯) comme le produit de polynΓ΄mes du premier degrΓ© et irrΓ©ductibles du second degrΓ©.

  • A𝑓(π‘₯)=(π‘₯βˆ’1)(π‘₯βˆ’4)(π‘₯+1)
  • B𝑓(π‘₯)=(π‘₯+4)(π‘₯βˆ’1)
  • C𝑓(π‘₯)=(π‘₯+4)(π‘₯+1)
  • D𝑓(π‘₯)=(π‘₯βˆ’1)(π‘₯+4)(π‘₯+1)
  • E𝑓(π‘₯)=(π‘₯+1)(π‘₯+4)(π‘₯βˆ’1)

Liste toutes les racines de 𝑓(π‘₯).

  • Aβˆ’1;βˆ’4;1
  • Bβˆ’4;1
  • Cβˆ’1;4;1
  • Dβˆ’4;βˆ’1

Q7:

ConsidΓ¨re π‘˜(π‘₯)=βˆ’3π‘₯βˆ’7π‘₯βˆ’7π‘₯+15π‘₯+50οŠͺ.

Γ‰cris π‘˜(π‘₯) comme le produit de facteurs linΓ©aires et quadratiques irrΓ©ductibles.

  • Aπ‘˜(π‘₯)=(π‘₯+2)(3π‘₯βˆ’5)ο€Ήπ‘₯+2π‘₯+5ο…οŠ¨
  • Bπ‘˜(π‘₯)=βˆ’(π‘₯βˆ’2)(3π‘₯+5)ο€Ήπ‘₯+2π‘₯+5ο…οŠ¨
  • Cπ‘˜(π‘₯)=βˆ’(π‘₯+2)(3π‘₯βˆ’5)ο€Ήπ‘₯+2π‘₯+5ο…οŠ¨
  • Dπ‘˜(π‘₯)=(π‘₯+2)(3π‘₯βˆ’5)ο€Ήπ‘₯βˆ’2π‘₯+5ο…οŠ¨
  • Eπ‘˜(π‘₯)=βˆ’(π‘₯βˆ’2)(3π‘₯+5)ο€Ήπ‘₯βˆ’2π‘₯+5ο…οŠ¨

Γ‰cris π‘˜(π‘₯) comme le produit de facteurs linΓ©aires.

  • Aπ‘˜(π‘₯)=βˆ’(π‘₯+2)(3π‘₯βˆ’5)(π‘₯+1βˆ’2𝑖)(π‘₯+1+2𝑖)
  • Bπ‘˜(π‘₯)=βˆ’(π‘₯βˆ’2)(3π‘₯+5)(π‘₯βˆ’1βˆ’2𝑖)(π‘₯βˆ’1+2𝑖)
  • Cπ‘˜(π‘₯)=(π‘₯+2)(3π‘₯βˆ’5)(π‘₯+1βˆ’2𝑖)(π‘₯+1+2𝑖)
  • Dπ‘˜(π‘₯)=βˆ’(π‘₯βˆ’2)(3π‘₯+5)(π‘₯+1βˆ’2𝑖)(π‘₯+1+2𝑖)
  • Eπ‘˜(π‘₯)=(π‘₯+2)(3π‘₯βˆ’5)(π‘₯βˆ’1βˆ’2𝑖)(π‘₯βˆ’1+2𝑖)

Liste tous les zΓ©ros de π‘˜(π‘₯).

  • Aβˆ’2,53,βˆ’1+2𝑖,βˆ’1βˆ’2𝑖
  • Bβˆ’2,53,1+2𝑖,1βˆ’2𝑖
  • C2,βˆ’53,1+2𝑖,1βˆ’2𝑖
  • D2,βˆ’53,βˆ’1+2𝑖,βˆ’1βˆ’2𝑖

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