Fiche d'activités de la leçon : Produit vectoriel en 2D Mathématiques

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer le produit scalaire de deux vecteurs dans le plan cartésien.

Q1:

Tous les cΓ΄tΓ©s du losange 𝑂𝐡𝐢𝐴 sont de longueur 5. Suppose que sinβˆ π΄π‘‚π΅=34 et 𝐴𝐡>𝑂𝐢. Utilise le produit vectoriel pour calculer les longueurs des deux diagonales.

  • A𝑂𝐢=1,84, 𝐴𝐡=4,08
  • B𝑂𝐢=4,11, 𝐴𝐡=9,11
  • C𝑂𝐢=16,93, 𝐴𝐡=26,54
  • D𝑂𝐢=4,11, 𝐴𝐡=3,27

Q2:

On considΓ¨re les vecteurs ⃑𝐴=(βˆ’2;7) et ⃑𝐡=(3;βˆ’8). DΓ©termine l’aire du parallΓ©logramme dont les cΓ΄tΓ©s consΓ©cutifs sont reprΓ©sentΓ©s par ⃑𝐴 et ⃑𝐡.

Q3:

Γ‰tant donnΓ©s β€–β€–βƒ‘π΄βˆ§βƒ‘π΅β€–β€–+|⃑𝐴⋅⃑𝐡|=17424 et ‖‖⃑𝐴‖‖=12, calcule ‖‖⃑𝐡‖‖.

Q4:

𝐴𝐡𝐢𝐷 est un carrΓ© de cΓ΄tΓ© 4, et ⃑𝑒 est un vecteur unitaire perpendiculaire au plan du carrΓ©. DΓ©termine οƒ π΄π·βˆ§οƒŸπ΅πΆ.

Q5:

Dans le rectangle 𝐴𝐡𝐢𝐷 illustrΓ© par la figure, calcule οƒ π·π΄βˆ§οƒ π΅π‘€ sachant que {⃑𝑖;⃑𝑗;βƒ‘π‘˜} est la base canonique.

  • A32βƒ‘π‘˜
  • B64βƒ‘π‘˜
  • Cβˆ’32βƒ‘π‘˜
  • Dβˆ’64βƒ‘π‘˜

Q6:

Si ⃑𝐴=(βˆ’7;3), ⃑𝐡=(βˆ’7;7), βƒ‘π΄βŠ™βƒ‘πΆ=βˆ’75 et βƒ‘πΆβˆ§βƒ‘π΅=35βƒ‘π‘˜, dΓ©termine ⃑𝐢.

  • A(9;βˆ’4)
  • B(1;βˆ’4)
  • C(9;βˆ’11)
  • D(βˆ’1;βˆ’4)

Q7:

Sachant que ⃗𝐴=7βƒ—πš€+2βƒ—πš₯, ⃗𝐡=βˆ’βƒ—πš€+2βƒ—πš₯ et ⃗𝐢=6βƒ—πš€+6βƒ—πš₯, dΓ©termine (⃗𝐢+⃗𝐴)βˆ§βƒ—π΅.

  • A30βƒ—π‘˜
  • B34βƒ—π‘˜
  • Cβˆ’30βƒ—π‘˜
  • D3βƒ—π‘˜

Q8:

Si ⃑𝐴=βˆ’βƒ‘π‘–βˆ’2⃑𝑗, ⃑𝐡=βˆ’4βƒ‘π‘–βˆ’4⃑𝑗, βƒ‘π΄βˆ§βƒ‘πΆ=βˆ’3βƒ‘π‘˜ et βƒ‘πΆβˆ§βƒ‘π΅=4βƒ‘π‘˜, alors dΓ©termine ⃑𝐢.

  • A⃑𝑖+5⃑𝑗
  • Bβˆ’2βƒ‘π‘–βˆ’βƒ‘π‘—
  • Cβƒ‘π‘–βˆ’βƒ‘π‘—
  • Dβˆ’5βƒ‘π‘–βˆ’βƒ‘π‘—

Q9:

Γ‰tant donnΓ©s ⃑𝐴=3βƒ‘π‘–βˆ’5⃑𝑗, ⃑𝐡=π‘šβƒ‘π‘–+5⃑𝑗 et sachant que βƒ‘π΄βˆ§βƒ‘π΅=50βƒ‘π‘˜, dΓ©termine la valeur de π‘š.

Q10:

Sachant que 𝐴𝐡𝐢𝐷 est un carrΓ© de cΓ΄tΓ© 27 cm, et que ⃑𝑒 est le vecteur unitaire orthogonal Γ  son plan, dΓ©termine οƒ π΄π΅βˆ§οƒ πΆπ΄.

  • A27⃑𝑒
  • B54⃑𝑒
  • C13⃑𝑒
  • D729⃑𝑒

Q11:

Γ‰tant donnΓ©s un carrΓ© 𝐴𝐡𝐢𝐷 de cΓ΄tΓ© 49, et ⃑𝑒 le vecteur unitaire normal au plan du carrΓ©, dΓ©termine οƒ π΅π·βˆ§οƒ π΄πΆ.

  • Aβˆ’4802⃑𝑒
  • B4802⃑𝑒
  • C2401⃑𝑒
  • Dβˆ’2401⃑𝑒

Q12:

Si 𝐴𝐡𝐢𝐷 est un carrΓ© dont la longueur d'un cΓ΄tΓ© vaut 81 cm, et que ⃑𝑒 est un vecteur unitaire orthogonal Γ  son plan, dΓ©termine οƒ π΄π΅βˆ§οƒŸπ΅πΆ.

  • A6561⃑𝑒
  • B13122⃑𝑒
  • C162⃑𝑒
  • D81⃑𝑒

Q13:

𝐴𝐡𝐢𝐷 est un rectangle tel que ⃑𝐢 est un vecteur unitaire orthogonal au plan du rectangle. DΓ©termine οƒ π΄π΅βˆ§οƒ π΅π·.

  • A784⃑𝐢
  • Bβˆ’1260⃑𝐢
  • Cβˆ’784⃑𝐢
  • D1260⃑𝐢

Q14:

𝐴𝐡𝐢𝐷 est un rectangle oΓΉ ⃗𝐢 est un vecteur unitaire orthogonal Γ  son plan. DΓ©termine οƒ«πΆπ‘€βˆ§οƒͺ𝐢𝐡.

  • A605√2⃗𝐢
  • B726⃗𝐢
  • Cβˆ’726⃗𝐢
  • Dβˆ’605√2⃗𝐢

Q15:

DΓ©termine la valeur de β€–β€–βƒ‘π΄βˆ§βƒ‘π΅β€–β€–+|⃑𝐴⋅⃑𝐡|2β€–β€–βƒ‘π΄β€–β€–β€–β€–βƒ‘π΅β€–β€–οŠ¨οŠ¨οŠ¨οŠ¨.

  • A14
  • B2
  • C1
  • D12
  • E0

Q16:

DΓ©termine l'aire du triangle 𝐴𝐡𝐢, oΓΉ 𝐴(βˆ’8,βˆ’9), 𝐡(βˆ’7,βˆ’8) et 𝐢(9,βˆ’2).

Q17:

Le losange 𝐴𝐡𝐢𝐷 a pour sommets 𝐴(βˆ’4;6), 𝐡(9;2), 𝐢(βˆ’2;10) et 𝐷(βˆ’15;14). Utilise des vecteurs pour dΓ©terminer son aire.

Q18:

Le triangle 𝐴𝐡𝐢 a pour sommets 𝐴(5,βˆ’4), 𝐡(βˆ’1,βˆ’5) et 𝐢(βˆ’3,2). Utilise les vecteurs pour calculer son aire.

Q19:

Si ⃑𝐴 et ⃑𝐡 sont deux vecteurs non nuls, et πœƒ est la mesure de l'angle compris entre eux, alors dΓ©termine β€–β€–βƒ‘π΄βˆ§βƒ‘π΅β€–β€–+ο€Ίβƒ‘π΄β‹…βƒ‘π΅ο†οŠ¨οŠ¨.

  • A1
  • Bβ€–β€–βƒ‘π΄β€–β€–β€–β€–βƒ‘π΅β€–β€–πœƒπœƒsincos
  • Cβ€–β€–βƒ‘π΄β€–β€–β€–β€–βƒ‘π΅β€–β€–πœƒπœƒsincos
  • D0
  • Eβ€–β€–βƒ‘π΄β€–β€–β€–β€–βƒ‘π΅β€–β€–οŠ¨οŠ¨

Q20:

Sachant que l'aire de 𝐴𝐡𝐢 est Γ©gale Γ  340, que vaut β€–β€–οƒ«π΅π΄βˆ§οƒͺ𝐡𝐢‖‖ ?

Q21:

Si 𝐴𝐡𝐢 est un triangle d'aire 248,5 cm2, alors dΓ©termine la valeur de β€–β€–οƒ«π΅π΄βˆ§οƒ«π΄πΆβ€–β€–.

Q22:

Si ⃑𝑒 et ⃑𝑀 sont deux vecteurs unitaires et πœƒ est l'angle compris entre eux, alors dΓ©termine β€–β€–ο€Ήβƒ‘π‘’βˆ’βƒ‘π‘€)∧(⃑𝑒+⃑𝑀‖‖.

  • Asinπœƒ
  • B2πœƒsin
  • Cπ‘’π‘€πœƒsin
  • D2π‘’π‘€πœƒsin
  • Eπ‘’π‘€πœƒοŠ¨οŠ¨sin

Q23:

Vrai ou faux : La norme du produit vectoriel de deux vecteurs est le produit des normes multipliΓ© par le sinus de l'angle entre les vecteurs.

  • Afaux
  • Bvrai

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