Feuille d'activités : Produit scalaire en 2D

Dans cette feuille d’activités, nous nous entraînerons à déterminer le produit scalaire de deux vecteurs dans le plan cartésien.

Q1:

Tous les côtés du losange 𝑂𝐵𝐶𝐴 sont de longueur 5. Suppose que sin𝐴𝑂𝐵=34 et 𝐴𝐵>𝑂𝐶. Utilise le produit vectoriel pour calculer les longueurs des deux diagonales.

  • A𝑂𝐶=1,84, 𝐴𝐵=4,08
  • B𝑂𝐶=4,11, 𝐴𝐵=9,11
  • C𝑂𝐶=16,93, 𝐴𝐵=26,54
  • D𝑂𝐶=4,11, 𝐴𝐵=3,27

Q2:

On considère le rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷 dont les sommets sont les points 𝐴(6;7), 𝐵(0;2), 𝐶(6;2) et 𝐷(0;11). Calcule son aire à l’aide de vecteurs.

Q3:

On considère les vecteurs 𝐴=27 et 𝐵=38. Détermine l’aire du parallélogramme dont les côtés consécutifs sont représentés par 𝐴 et 𝐵.

Q4:

Étant donnés 𝐴𝐵+|𝐴𝐵|=17424 et 𝐴=12, calcule 𝐵.

Q5:

𝐴𝐵𝐶𝐷 est un carré de côté 4, et 𝑢 est un vecteur unitaire perpendiculaire au plan du carré. Détermine 𝐴𝐷𝐵𝐶.

Q6:

Dans le rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷 illustré par la figure, calcule 𝐷𝐴𝐵𝑀 sachant que {𝚤,𝚥,𝑘} est la base canonique.

  • A32𝑘
  • B64𝑘
  • C64𝑘
  • D32𝑘

Q7:

Si 𝐴=73, 𝐵=77, 𝐴𝐶=75 et 𝐶𝐵=35𝑘, détermine 𝐶.

  • A14
  • B911
  • C94
  • D14

Q8:

Sachant que 𝐴=7𝚤+2𝚥, 𝐵=𝚤+2𝚥 et 𝐶=6𝚤+6𝚥, détermine (𝐶+𝐴)𝐵.

  • A30𝑘
  • B34𝑘
  • C3𝑘
  • D30𝑘

Q9:

Si 𝐴=𝚤2𝚥, 𝐵=4𝚤4𝚥, 𝐴𝐶=3𝑘 et 𝐶𝐵=4𝑘, alors détermine 𝐶.

  • A𝚤+5𝚥
  • B5𝚤𝚥
  • C2𝚤𝚥
  • D𝚤𝚥

Q10:

Étant donnés 𝐴=3𝚤5𝚥, 𝐵=𝑚𝚤+5𝚥 et sachant que 𝐴𝐵=50𝑘, détermine la valeur de 𝑚.

Q11:

Sachant que 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un carré de côté 27 cm, et que 𝑒 est le vecteur unitaire orthogonal à son plan, détermine 𝐴𝐵𝐶𝐴.

  • A27𝑒
  • B54𝑒
  • C13𝑒
  • D729𝑒

Q12:

Étant donnés un carré 𝐴𝐵𝐶𝐷 de côté 49, et 𝑒 le vecteur unitaire normal au plan du carré, détermine 𝐵𝐷𝐴𝐶.

  • A4802𝑒
  • B4802𝑒
  • C2401𝑒
  • D2401𝑒

Q13:

Si 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un carré dont la longueur d'un côté vaut 81 cm, et que 𝑒 est un vecteur unitaire orthogonal à son plan, détermine 𝐴𝐵𝐵𝐶.

  • A6561𝑒
  • B13122𝑒
  • C162𝑒
  • D81𝑒

Q14:

𝐴𝐵𝐶𝐷 est un rectangle tel que 𝐶 est un vecteur unitaire orthogonal au plan du rectangle. Détermine 𝐴𝐵𝐵𝐷.

  • A784𝐶
  • B1260𝐶
  • C784𝐶
  • D1260𝐶

Q15:

𝐴𝐵𝐶𝐷 est un rectangle où 𝐶 est un vecteur unitaire orthogonal à son plan. Détermine 𝐶𝑀𝐶𝐵.

  • A6052𝐶
  • B726𝐶
  • C726𝐶
  • D6052𝐶

Q16:

Sachant que 𝐴=𝑘2, 𝐵=2010 et 𝐴//𝐵, détermine la valeur de 𝑘.

  • A𝑘=100
  • B𝑘=1
  • C𝑘=4
  • D𝑘=4
  • E𝑘=100

Q17:

Détermine la valeur de 𝐴𝐵+|𝐴𝐵|2𝐴𝐵.

  • A0
  • B14
  • C2
  • D1
  • E12

Q18:

Détermine l'aire du triangle 𝐴𝐵𝐶, 𝐴(8,9), 𝐵(7,8) et 𝐶(9,2).

Q19:

𝐴𝐵𝐶𝐷 est un losange dont les points 𝐴 et 𝐵 sont de coordonnées respectives (5,9) et (10,12). Utilise des vecteurs pour calculer son périmètre.

  • A674 unités de longueur
  • B374 unités de longueur
  • C666 unités de longueur
  • D1274 unités de longueur

Q20:

Le losange 𝐴𝐵𝐶𝐷 a pour sommets 𝐴(4,6), 𝐵(9,2), 𝐶(2,10) et 𝐷(15,14). Utilise des vecteurs pour déterminer son aire.

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