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Vidéo de question : Déterminer les longueurs des segments proportionnelles entre des droites parallèles Mathématiques

Dans le triangle 𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝐸 = 1 cm, 𝐸𝐶 = 2 cm et 𝐴𝐵 = 6 cm. Déterminez la longueur du segment 𝐴𝐹.

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Transcription de vidéo

Dans un triangle 𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝐸 égale un centimètre, 𝐸𝐶 égale deux centimètres, et 𝐴𝐵 égale six centimètres. Déterminez la longueur du segment 𝐴𝐹.

Dans ce schéma contenant le grand triangle 𝐴𝐵𝐶, nous voyons aussi qu'il y a deux segments parallèles, 𝐸𝐹 et 𝐶𝐵. Nous connaissons également les longueurs de trois segments différents. 𝐴𝐸 égale un centimètre, 𝐸𝐶 mesure deux centimètres et 𝐴𝐵 mesure six centimètres. Nous pouvons donc les indiquer sur le schéma. La question est de déterminer la longueur du segment 𝐴𝐹, qui fait partie du petit triangle 𝐴𝐸𝐹. Pour cela, il faudra utiliser les droites parallèles pour nous aider. Ces deux droites parallèles vont nous permettre d'appliquer le théorème de proportionnalité (le théorème de Thalès).

Ce théorème nous dit que si une droite parallèle à un côté d'un triangle coupe les deux autres côtés du triangle, alors la droite divise ces côtés proportionnellement. La droite qui est parallèle à un côté du triangle est le segment 𝐸𝐹, car elle est parallèle au segment 𝐵𝐶. Puisqu'il coupe les deux autres côtés, alors ces deux autres côtés, 𝐴𝐶 et 𝐴𝐵, sont divisés proportionnellement par le segment 𝐸𝐹. Nous pouvons donc écrire l'énoncé de proportionnalité : 𝐴𝐸 sur 𝐴𝐶 égale 𝐴𝐹 sur 𝐴𝐵. La substitution des mesures de longueur données permet de calculer la longueur inconnue de 𝐴𝐹.

Attention aux substitutions car le segment 𝐴𝐶 sera la somme des segments 𝐴𝐸 de un centimètre et 𝐸𝐶 de deux centimètres. Nous avons donc un tiers égale 𝐴𝐹 sur six. Par produit en croix, nous avons six égale trois 𝐴𝐹. En divisant les deux côtés par trois, nous obtenons deux égale 𝐴𝐹. Nous pouvons donc dire que la longueur du segment 𝐴𝐹 est de deux centimètres.

Avant de terminer, il convient de noter qu'il existe d'autres formules de proportionnalité que nous aurions pu écrire. Par exemple, nous aurions pu dire que 𝐴𝐸 sur 𝐴𝐹 égale 𝐸𝐶 sur 𝐹𝐵. Si nous substituons les valeurs du côté gauche, 𝐴𝐸 égale un centimètre et 𝐴𝐹 est le segment que l'on souhaite calculer. À droite, nous savons que 𝐸𝐶 mesure deux centimètres. Nous ne connaissons pas la longueur de 𝐹𝐵, mais nous pouvons l'écrire en fonction de 𝐴𝐹, soit six moins 𝐴𝐹. Cela nous permet d'avoir une seule inconnue dans notre équation.

Par produit en croix, nous obtenons que six moins 𝐴𝐹 égale deux 𝐴𝐹. Nous pouvons donc ajouter 𝐴𝐹 aux deux côtés, ce qui donne six égale deux 𝐴𝐹 plus 𝐴𝐹. Or, nous savons que deux 𝐴𝐹 plus 𝐴𝐹 est simplement trois 𝐴𝐹. Si nous divisons les deux côtés par trois, nous obtenons deux égale 𝐴𝐹. Nous avons donc démontré comment deux énoncés de proportionnalité différents nous permettent de montrer que la longueur du segment 𝐴𝐹 est de deux centimètres.

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