Vidéo : Vous êtes vous déjà demandé pourquoi couper un cône donne une ellipse ? C’est merveilleusement intelligent !

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Vous êtes vous déjà demandé pourquoi couper un cône donne une ellipse ? C’est merveilleusement intelligent !

12:30

Transcription de vidéo

Supposons que vous aimez les maths. Et vous deviez choisir une seule preuve à montrer à quelqu’un pour expliquer pourquoi les mathématiques sont belles. Quelque chose qui puisse être apprécié par tous, de tous les horizons, tout en gardant l’esprit de progrès et d’intelligence en mathématiques. Que choisiriez-vous ?

Eh bien, après avoir publié une vidéo sur la dernière conférence de Fineman, sur la raison pour laquelle les planètes orbitent dans des ellipses, publiée en tant que vidéo invitée sur MinutePhysics. Quelqu’un sur Reddit a demandé pourquoi la définition d’une ellipse donnée dans cette vidéo, les deux punaises classiques dans un morceau de construction de chaîne, est la même que la définition impliquant le découpage d’un cône. Eh bien, mon ami, vous avez posé une question sur l’une de mes preuves préférées de tous les temps. Une belle géométrie 3D qui, malgré le fait qu’elle n’exige presque pas de fond, capture encore l’esprit d’inventivité mathématique.

Pour le contexte et pour vous assurer que nous sommes tous sur la même page, il existe au moins trois façons principales de définir une ellipse de manière géométrique. La première consiste à dire que vous prenez un cercle et que vous l’étendez dans une dimension. Par exemple, vous considérez peut-être tous les points comme des coordonnées 𝑥, 𝑦. Et ce que vous faites est de multiplier simplement la coordonnée 𝑥 par un facteur spécial pour tous les points. Une autre est que les deux punaises classiques dans un morceau de construction de chaîne. Où vous enroulez une ficelle autour de deux punaises collées dans un morceau de papier et le tirez bien avec un crayon. Et tracez ensuite en gardant la corde tendue tout le temps.

Ce que vous dessinez en faisant cela est l’ensemble de tous les points. Ainsi, la somme des distances entre chaque point du crayon et les deux points de la punaise reste constante. Ces deux points de punaise s’appellent chacun un foyer de l’ellipse. Et ce que nous disons ici, c’est que cette propriété à somme focale constante peut être utilisée pour définir ce qu’est même une ellipse. Une autre façon de définir une ellipse consiste à trancher un cône avec un plan incliné. Un angle inférieur à la pente du cône lui-même. La courbe des points d’intersection de ce plan et du cône forme une ellipse. C’est pourquoi vous entendez souvent les ellipses comme étant des sections coniques.

Maintenant, bien sûr, une ellipse n’est pas une courbe. C’est une famille de courbes, allant d’un cercle parfait à quelque chose d’étiré à l’infini. La forme spécifique d’une ellipse est généralement quantifiée avec un nombre appelé son excentricité. Ce que je lis parfois dans ma tête comme un écrasement. Un cercle a l’excentricité zéro. Et plus l’ellipse est écrasée, plus son excentricité est proche du nombre un. Par exemple, l’orbite terrestre a une excentricité de 0.0167, un très faible écrasement. Ce qui signifie, c’est vraiment proche d’un cercle. Alors que la comète de Halley a une orbite avec une excentricité de 0.9671, un très grand écrasement.

Dans la définition de la punaise d’une ellipse basée sur la somme constante des distances de chaque point aux deux foyers. Cette excentricité est déterminée par la distance qui sépare les deux punaises. Plus précisément, il s’agit de la distance entre les foyers divisée par la longueur de l’axe le plus long de l’ellipse. Pour découper un cône, l’excentricité est déterminée par la pente du plan que vous avez utilisée pour le découpage. Et vous pourriez à juste titre demander, surtout si vous êtes un certain utilisateur de Reddit, pourquoi ces trois définitions auraient-elles quelque chose à voir les unes avec les autres ? Je veux dire, bien sûr, il est logique que chacun produise une boucle allongée, d’aspect vaguement ovale. Mais pourquoi la famille de courbes produite par ces trois méthodes totalement différentes serait-elle exactement la même figure ?

En particulier, quand j’étais plus jeune, je me souviens avoir été vraiment surpris que couper un cône produise une telle forme symétrique. Vous pourriez penser que la partie de l’intersection située plus loin en bas serait en quelque sorte bombée et produirait une forme d’œuf plus asymétrique. Mais non, la courbe d’intersection est une ellipse, la même courbe évidemment symétrique que vous obtiendriez en étirant simplement un cercle ou en traçant autour de deux punaises. Mais bien sûr, les mathématiques sont avant tout une question de preuves. Alors, comment pouvez-vous démontrer de façon hermétique que ces trois familles de courbes sont en réalité les mêmes ? Par exemple, concentrons notre attention sur une seule de ces équivalences. À savoir que couper un cône nous donnera une courbe qui pourrait aussi être dessinée en utilisant la construction punaise.

Ce que vous devez montrer ici, c’est qu’il existe deux points de punaise quelque part dans ce plan de coupe. Tels que la somme des distances d’un point quelconque de la courbe d’intersection à ces deux points reste constante. Peu importe où vous vous trouvez sur cette courbe d’intersection. J’ai d’abord compris l’astuce pour le montrer dans le magnifique livre de Paul Lockhart, Measurement. Ce que je recommande vivement à tous, jeunes ou moins jeunes, de rappeler que les mathématiques sont une forme d’art. Le coup de génie intervient dans la toute première étape, qui consiste à introduire deux sphères dans cette image, une au-dessus de l’image et une au-dessous. Chacun d’entre eux taille juste. Pour être tangent au cône le long d’un cercle de points et tangent au plan en un seul point. Ce que vous pouvez faire de cela, de toutes choses, est une question délicate à laquelle répondre, et sur laquelle nous reviendrons.

À l’heure actuelle, disons simplement que vous avez un esprit particulièrement joueur qui aime interagir avec la manière dont différents objets géométriques s’emboîtent. Mais une fois que ces craintes sont parties, je parie que vous pourrez prouver vous-même le résultat visé. Ici, je vais vous aider à passer à travers. Mais à tout moment, si vous vous sentez inspiré, veuillez faire une pause et essayez de continuer sans moi. Premièrement, ces sphères ont introduit deux points spéciaux à l’intérieur de la courbe, les points où ils sont tangents au plan. Donc, une hypothèse raisonnable pourrait être que ces deux points de tangence sont les points focaux. Cela signifie que vous allez tracer des lignes à partir de ces foyers jusqu’à un point de l’ellipse. Et finalement, le but est de comprendre quelle est la somme des distances de ces deux segments. Ou au moins, comprendre pourquoi cette somme ne dépend pas de l’endroit où vous vous trouvez le long de l’ellipse.

N’oubliez pas que ce qui rend ces droites si particulières, c’est que chacune d’entre elles ne touche pas simplement l’une des sphères. C’est en fait une tangente à cette sphère au point où elle se touche. Et en général, pour tout problème mathématique, vous souhaitez utiliser les caractéristiques de définition de tous les objets impliqués. Un autre exemple est ce qui définit les sphères. Ce n’est pas juste le fait qu’ils sont tangents au plan. Mais ils sont aussi tangents au cône, chacun à un cercle de points de tangence. Vous devrez donc utiliser ces deux cercles de points de tangence d’une manière ou d’une autre. Mais comment exactement ? Une chose que vous pourriez faire est simplement de tracer une droite du cercle supérieur au cercle inférieur le long du cône.

Et cela donne quelque chose qui rappelle vaguement la propriété de la punaise à somme constante et qui est donc prometteur. Vous voyez, ça passe par l’ellipse. Ainsi, en coupant cette droite à l’endroit où elle traverse l’ellipse, vous pouvez la considérer comme la somme de deux segments de droite. Chacun frappant le même point sur l’ellipse. Et vous pouvez le faire à travers différents points de l’ellipse, selon l’endroit où vous vous trouvez autour du cône. Toujours obtenir deux segments de droite avec une somme constante. À savoir, quelle que soit la distance en ligne droite entre le cercle supérieur et le cercle inférieur.

Vous voyez donc ce que je veux dire par le fait que cela ressemble vaguement à la propriété de la punaise. Et que chaque point de l’ellipse nous donne deux distances dont la somme est une constante. Accordées, ces longueurs ne sont pas aux points focaux. Elles sont au grand et au petit cercle. Mais peut-être que cela vous amène à faire la conjecture suivante. La distance entre un point donné sur cette ellipse, cette courbe d’intersection, jusqu’au grand cercle, est, vous le conjecturez, égale à la distance jusqu’au point où cette grande sphère est tangente au plan, notre premier point de focalisation proposé. De même, peut-être que la distance entre ce point de l’ellipse et le petit cercle est égale à la distance entre ce point et le deuxième point de focalisation proposé où la petite sphère touche le plan.

Alors est-ce vrai ? Hé bien oui. Donnons ici le nom que nous avons sur l’ellipse 𝑄. La clé est que la droite de 𝑄 au premier objectif proposé est tangente à la grande sphère. Et la droite allant de 𝑄 directement le long du cône est également tangente à la grande sphère. Ici, regardons une image différente pour plus de clarté. Si vous avez plusieurs droites tirées d’un point commun vers une sphère, elles sont toutes tangentes à cette sphère. Vous pouvez probablement voir, à la symétrie de la configuration près, que tous ces segments doivent avoir la même longueur. Et en fait, je vous encourage à essayer de le prouver vous-même ou, sinon, de faire une pause et de réfléchir à la preuve que j’ai laissée à l’écran.

Mais en regardant en arrière, notre conjecture serait correcte. Les deux segments s’étendant à partir du point 𝑄 sur la tangente de l’ ellipse à la grande sphère ont la même longueur. De même, la ligne allant de 𝑄 au second point de focalisation proposé est tangente à la petite sphère, de même que la ligne allant de 𝑄 directement le long du cône. Donc, ces deux ont aussi la même longueur. Ainsi, la somme des distances de 𝑄 aux deux points de discussion proposés est la même que la distance en ligne droite du petit cercle vers le bas pour le grand cercle le long du cône, en passant par 𝑄. Et bien, cela ne dépend pas du point de l’ellipse que vous avez choisi pour 𝑄. Bada boom, bada bing, couper le cône est identique à la construction de la punaise. Depuis la courbe résultante a la propriété constante-somme-somme.

Maintenant, cette preuve a été trouvée pour la première fois par Germinal-G-Germinal-Germa-, qui se soucie de Dandelin, un type nommé Dandelin en 1822. Ces deux sphères sont donc parfois appelées sphères de Dandelin. Vous pouvez également utiliser la même astuce pour montrer pourquoi le fait de couper un cylindre en angle vous donnera une ellipse. Et si vous êtes d’accord avec l’affirmation selon laquelle le fait de projeter une figure d’un plan sur un autre plan incliné a pour effet d’étirer simplement cette figure. Cela montre également pourquoi la définition d’une ellipse en tant que cercle étiré est identique à celle des deux autres. Plus de devoirs. Alors, pourquoi est-ce que je pense que cette preuve est un si bon représentant pour les mathématiques elles-mêmes ? Que si tu ne devais montrer qu’une chose à expliquer à un passionné de mathématiques, pourquoi tu aimes le sujet, pourquoi ce serait un bon candidat ?

La raison évidente est que c’est beau et beau sans trop de fond. Mais plus que cela, cela reflète une caractéristique commune des mathématiques, à savoir qu’il n’existe parfois pas de manière unique et fondamentale de définir quelque chose. Que ce qui compte le plus est de montrer des équivalences. Et plus encore, la preuve elle-même implique un moment clé de construction créative, en ajoutant les deux sphères. Tandis que la plupart d’entre elles laissent place à une approche agréable, systématique et fondée sur des principes. Et ce type de construction créative est, à mon avis, l’un des aspects les plus stimulants de la découverte mathématique. Et vous pouvez naturellement comprendre d’où vient une telle idée.

En fait, en ce qui concerne cette preuve particulière, voici ce que Paul Lockhart dit dans Measurement. Comment les gens trouvent-ils des arguments aussi ingénieux ? C’est la même chose que la façon dont les gens proposent Madame Bovary ou Mona Lisa. Je n’ai aucune idée de comment ça se passe. Je sais seulement que lorsque cela m’arrive, je me sens très chanceux. Je suis d’accord, mais je pense que nous pouvons dire au moins un petit quelque chose de plus à ce sujet. Bien que ce soit ingénieux, nous pouvons peut-être expliquer comment quelqu’un qui s’est immergé dans un certain nombre d’autres problèmes de géométrie pourrait être particulièrement préparé à envisager l’ajout de ces sphères spécifiques.

Premièrement, une tactique courante en géométrie consiste à relier une longueur à une autre. Et dans ce problème, vous savez dès le départ qu’il serait utile de pouvoir relier ces deux longueurs aux foyers de deux autres longueurs, en particulier celles qui sont alignées. Même si, au début, vous ne savez même pas où sont les points de focalisation. Et même si vous ne savez pas exactement comment vous faites cela, placer des sphères sur la figure n’est pas si fou.

Encore une fois, si vous avez construit une relation avec la géométrie par la pratique. Vous sauriez bien comment mettre en relation une longueur avec une autre se produit tout le temps lorsque des cercles et des sphères sont présents sur l’image. Parce que cela va droit au but qui définit ce que signifie même être un cercle ou une sphère. Et ceci est évidemment un exemple très spécifique. Mais ce que je veux dire, c’est que vous pouvez souvent avoir un aperçu de l’ingéniosité. Pas comme des miracles inexplicables mais comme un résidu d’expérience. Et lorsque vous le faites, l’idée du génie passe d’être hypnotique à la place d’être une source d’inspiration.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.