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Vidéo de question : Calcul de l’intégrale finie d’une fonction puissance Mathématiques

Calculez ∫ _ (- 1) ^ (1) 𝑥⁸⁸ d𝑥.

02:05

Transcription de vidéo

Calculez l’intégrale finie de 𝑥 puissance 88 entre les bornes moins un et un.

Pour calculer cette intégrale finie, nous avons une formule générale. Cette formule nous dit que l’intégrale finie d’une fonction entre deux bornes est égale à la primitive de la fonction en 𝑏, c’est-à-dire en remplaçant 𝑥 par la borne 𝑏, moins la primitive de la fonction en 𝑎, c’est-à-dire en remplaçant 𝑥 par la borne 𝑎. Alors, la première étape est de déterminer la primitive de la fonction 𝑥 puissance 88. Ainsi, en intégrant, nous obtenons 𝑥 puissance 89 sur 89. Puis, nous allons utiliser les bornes de l’intégrale, mais comment sommes-nous arrivés à cette primitive ? Alors, juste pour rappeler comment déterminer une primitive d’une fonction de cette forme, il faut ajouter un à la puissance, donc nous obtenons 𝑥 puissance 88 plus un, ce qui donne donc 89. Puis, il faut diviser par la nouvelle puissance, la nouvelle puissance est donc 88 plus un, ce qui donne 89 et nous avons donc 𝑥 puissance 89 sur 89.

Maintenant, nous allons remplacer les valeurs de 𝑥 par les bornes de l’intégrale. En faisant cela, en remplaçant par les valeurs des bornes, nous obtenons un puissance 89 sur 89 moins moins un puissance 89 sur 89. Ainsi, nous allons obtenir un moins moins un sur 89. En effet, nous avions 89 au dénominateur des deux fractions, nous avons donc un dénominateur commun. Nous pouvons donc rassembler les fractions. Nous obtenons un car un puissance 89 donne tout simplement un comme toutes les puissances de un. Puis, nous avons moins un parce que nous avons moins un puissance 89. En effet, puisquil s’agit d’une puissance impaire, nous avons un nombre négatif. Maintenant, il faut voir que nous avons un moins moins un. Nous avons donc un plus, car soustraire un nombre négatif revient à additionner. Ainsi, nous pouvons dire que l’intégrale finie de 𝑥 puissance 88 entre les bornes moins un et un est égale à deux sur 89.

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