Vidéo : Modèles de croissance exponentielle et de décroissance

Dans cette vidéo, nous apprendrons comment modéliser la croissance exponentielle et la décroissance résultant de l’équation différentielle 𝑦′ = ± 𝑘𝑦.

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Transcription de vidéo

Dans de nombreux phénomènes naturels, des quantités croissent ou décroissent à un rythme proportionnel à leur taille. Par exemple, investir de l’argent dans un compte bancaire qui paie des intérêts composés est un bon exemple de croissance exponentielle. Bien que la plupart des épargnants ne le souhaitent peut-être pas tout à fait. À l’autre extrémité, la pression atmosphérique diminue de façon exponentielle avec l’augmentation de la hauteur au-dessus du niveau de la mer, un exemple de décroissance exponentielle. Dans cette vidéo, nous allons apprendre à modéliser la croissance exponentielle et la décroissance résultant des équations différentielles et utiliser ces modèles pour faire des prédictions sur le comportement futur.

En général, nous disons que si 𝑦 de 𝑡 est la valeur d’une quantité 𝑦 au temps 𝑡, et si le taux de variation de 𝑦 par rapport à 𝑡 est proportionnel à sa taille, 𝑦 de 𝑡, alors d𝑦 par d𝑡 est égal à 𝑘 fois 𝑦 pour les constantes réelles 𝑘. C’est ce qu’on appelle parfois la loi de la croissance naturelle, pour des valeurs de 𝑘 supérieures à zéro, et la loi de la décroissance naturelle, pour des valeurs de 𝑘 inférieures à zéro. Et nous pouvons résoudre cette équation différentielle en général. Rappelez-vous, alors que d𝑦 par d𝑡 n’est pas vraiment une fraction, dans certaines circonstances, nous la traitons un peu comme un, et nous réécrivons notre équation différentielle comme un sur 𝑦 d𝑦 égale 𝑘 d𝑡.

Nous intégrons maintenant les deux côtés de cette équation. En utilisant le résultat standard que l’intégrale de un sur 𝑦 est le logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑦, nous voyons que nous avons le logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑦 plus 𝐴 est égal à 𝑘 fois 𝑡 plus 𝐵, où 𝐴 et 𝐵 sont constantes d’intégration. Nous combinons ces constantes en soustrayant 𝐴 des deux côtés. Et appelons cette nouvelle constante 𝐶. Ainsi, le logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑦 est égal à 𝑘 fois 𝑡 plus 𝐶. Nous élevons maintenant les deux côtés de cette équation à la puissance 𝑒, telle que 𝑒 à la puissance du logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑦 est égal à 𝑒 à la puissance 𝑘𝑡 plus 𝐶.

Eh bien, 𝑒 au logarithme naturel de 𝑦 est 𝑦. Et nous n’avons pas besoin des valeurs absolues ici parce que nous parlons d’une population. Il doit être supérieur à zéro par définition. Ensuite, en utilisant les lois des exposants, nous voyons que nous pouvons réécrire 𝑒 à la puissance 𝑘𝑡 plus 𝐶 comme 𝑒 à la puissance 𝑘𝑡 fois 𝑒 à la puissance 𝐶. Mais bien sûr, 𝑒 de 𝐶, étant donné que 𝐶 est déjà une constante, est lui-même une constante. Alors appelons ça 𝑃. Et nous constatons que la solution générale à l’équation différentielle d𝑦 par d𝑡 est égale à 𝑘 fois 𝑦 est 𝑦 égale à 𝑃 fois 𝑒 à la puissance 𝑘𝑡.

Maintenant, en fait, ce 𝑃 a une signification particulière. Nous pouvons identifier cette signification en imaginant le scénario lorsque 𝑡 est égal à zéro. De toute évidence, puisque 𝑡 est égal à zéro est le temps initial, nous savons que 𝑦 est égal à 𝑃 fois 𝑒 à la puissance zéro pour être la valeur initiale de 𝑦. Cependant, 𝑒 à la puissance zéro est un. Ainsi, nous constatons que lorsque 𝑡 est égal à zéro, 𝑦 est égal à 𝑃. Cela signifie que 𝑃 est la valeur initiale de la fonction. Maintenant, nous redéfinissons un peu et nous disons que, en général, la solution au problème de valeur initiale d𝑃 par d𝑡 est égal à 𝑘 fois 𝑃 pour 𝑃 de zéro est égal à 𝑃 zéro est 𝑃 de 𝑡 est égal à 𝑃 zéro fois 𝑒 de 𝑘𝑡. Afin de voir comment travailler avec ces équations, regardons un exemple spécifique.

La population de lapins dans une ferme croît de façon exponentielle. S’il y a actuellement 245 lapins et que le taux de croissance relatif est de 23%, trouvez une fonction 𝑛 de 𝑡 pour décrire le nombre de lapins après 𝑡 ans.

Dans cette question, nous avons nos variables définies. On nous dit que 𝑡 est le nombre d’années, et 𝑛 de 𝑡 est la fonction qui décrit le nombre de lapins. Nous savons que puisque la population croît de façon exponentielle, nous pouvons utiliser l’équation d𝑃 par d𝑡 égale 𝑘 fois 𝑃 pour la décrire. En fait, cependant, nous allons réécrire cela en utilisant nos variables telles que d𝑛 par d𝑡 est égal à 𝑘 fois 𝑛. Nous aurions pu l’écrire en utilisant une notation de fonction telle que 𝑛 premier de 𝑡 est égal à 𝑘 fois 𝑛. Mais personnellement, je préfère travailler avec la notation Leibniz.

Maintenant, en fait, nous avons une valeur pour 𝑘. Nous savons que le taux de croissance relatif est de 23%. C’est 0.23 sous forme décimale. Et on peut donc dire que d𝑛 par d𝑡 est égal à 0.23 fois 𝑛. Rappelez-vous maintenant, une fois que d𝑛 par d𝑡 n’est absolument pas une fraction, il y a certaines circonstances où nous le traitons un peu comme un. Ici, nous pouvons réécrire notre équation différentielle comme un sur 𝑛 d𝑛 est égal à 0.23 d𝑡. Nous allons ensuite intégrer les deux côtés de cette équation. L’intégrale du côté gauche est le logarithme naturel de 𝑛 plus une constante d’intégration 𝑎. Et l’intégrale du côté droit est de 0.23𝑡 plus une constante d’intégration différente 𝑏.

Maintenant, notez que généralement l’intégrale de un sur 𝑛 serait le logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑛. Mais nous savons que le nombre de lapins ne peut pas être négatif, nous n’avons donc pas vraiment besoin de l’inclure ici. En combinant nos constantes d’intégration en soustrayant 𝑎 des deux côtés, et nous voyons que le logarithme naturel de 𝑛 est égal à 0.23𝑡 plus 𝑐. Nous élevons ensuite les deux côtés à la puissance 𝑒 pour trouver que 𝑒 à la puissance du logarithme naturel de 𝑛 est égal à 𝑒 à la puissance 0.23𝑡 plus 𝑐. Eh bien, 𝑒 au logarithme naturel de 𝑛 est simplement 𝑛.

Et puis, nous utilisons les lois des exposants pour réécrire le côté droit comme 𝑒 à la puissance 0.23𝑡 fois 𝑒 à la puissance 𝑐. Mais bien sûr, 𝑒 de 𝑐 est lui-même une constante. Appelons ça 𝑃. Donc, 𝑛 est égal à 𝑃 fois 𝑒 à la puissance 0.23𝑡. Maintenant, nous avons presque fini. Il y avait initialement 245 lapins dans la ferme. En d’autres termes, lorsque 𝑡 est égal à zéro, 𝑛 est égal à 245. Ainsi, 245 est égal à 𝑃 fois 𝑒 à la puissance zéro car 𝑒 à la puissance zéro est un. Donc, nous trouvons que 𝑃 est égal à 245. Et nous avons trouvé notre fonction pour 𝑛. On peut dire que 𝑛 de 𝑡 est égal à 245𝑒 la puissance 0.23𝑡.

Maintenant, il est probablement assez clair que nous n’avions pas besoin de configurer et de résoudre une équation différentielle ici. Nous aurions pu simplement énoncer la forme générale d’une équation qui décrit la croissance exponentielle et la décroissance. C’est la solution générale à d𝑃 par d𝑡 est égal à 𝑘 fois 𝑃 pour la valeur initiale de 𝑃 est égal à 𝑃 zéro. C’est 𝑃 de 𝑡 est égal à 𝑃 zéro fois 𝑒 à la puissance 𝑘𝑡. Essentiellement, 𝑃 zéro est la valeur initiale de la fonction et 𝑘 est le taux de croissance. Bien sûr, il est toujours utile de savoir comment dériver cette formule, si nécessaire.

Nous allons maintenant examiner un exemple de question où nous pouvons utiliser la solution générale de l’équation différentielle sans la dériver complètement.

Un médecin a injecté à un patient 13 milligrammes de colorant radioactif qui se désintègre de façon exponentielle. Un médecin a injecté à un patient 13 milligrammes de colorant radioactif qui se désintègre de façon exponentielle. Après 12 minutes, il restait 4.75 milligrammes de colorant dans le système du patient. Lequel des énoncés suivants est un modèle approprié pour la situation ? Est-ce A) 𝑓 de 𝑡 est égal à 13 fois 0.0805 à la puissance 𝑡 ? B) 𝑓 de 𝑡 est égal à 13 fois 𝑒 à la puissance 0.9195𝑡. Est-ce C) 𝑓 de 𝑡 est égal à 4.75 sur un plus 13 fois 𝑒 à la puissance moins 0.83925𝑡 ? Ou D) 𝑓 de 𝑡 est égal à 13 fois 𝑒 à la puissance moins 0.0839𝑡.

Rappelez-vous, nous pouvons modéliser la croissance exponentielle et la décroissance en utilisant la formule 𝑃 de 𝑡 égale 𝑃 de zéro fois 𝑒 à la puissance 𝑘𝑡, où 𝑃 zéro est la valeur initiale de 𝑃, et 𝑘 est le taux de croissance ou de décroissance. Alors, listons ce que nous avons réellement. Étant donné que les réponses à cette question sont répertoriées en termes de 𝑓, nous allons changer cette équation en 𝑓 de 𝑡 est égal à 𝑓 zéro fois 𝑒 à la puissance 𝑘𝑡, où 𝑓 est la quantité de colorant qui est réellement dans le système du patient après 𝑡 minutes. Maintenant, on nous dit que le médecin a injecté au patient 13 milligrammes de colorant radioactif. En d’autres termes, c’est la quantité initiale de colorant dans le système du patient. Donc, c’est 13. Et nous pouvons donc dire que 𝑓 de 𝑡 est égal à 13 fois 𝑒 à la puissance 𝑘𝑡.

Mais nous savons également qu’après 12 minutes, il y avait 4.75 milligrammes de colorant dans le système du patient. En d’autres termes, lorsque 𝑡 est égal à 12, 𝑓 est égale à 4.75. Donc, substituons ces valeurs à notre fonction et résolvons 𝑘. C’est 4.75 équivaut à 13𝑒 pour la puissance 12𝑘. Nous allons résoudre pour 𝑘 en divisant d’abord les deux côtés par 13. Et nous voyons que 4.75 sur 13 doit être égal à 𝑒 à la puissance 12𝑘. Ensuite, nous trouvons le logarithme naturel des deux côtés de cette équation. Ceci est utile car c’est l’opération inverse d’élever quelque chose à la puissance 𝑒. Et donc, ces deux opérations s’annuleront essentiellement. En d’autres termes, le logarithme naturel de 𝑒 à la puissance 12𝑘 n’est que de 12𝑘.

Ainsi, nous constatons que le logarithme naturel de 4.75 sur 13 est égal à 12𝑘. Nous allons résoudre maintenant en divisant les deux côtés par 12. Et donc, 𝑘 est égal à un 12 du logarithme naturel de 4.75 sur 13. En tapant ceci dans notre calculatrice et nous obtenons 𝑘 égal à moins 0.083900, et ainsi de suite. Corrigé à trois chiffres significatifs, c’est 𝑘 est approximativement égal à moins 0.0839. Et le replacer dans notre équation nous donne que 𝑓 de 𝑡 est égal à 13 fois 𝑒 à la puissance moins 0.0839𝑡. Et nous voyons que cela correspond à la réponse D. 𝑓 de 𝑡 est 13 fois 𝑒 à la puissance moins 0.0839𝑡.

Une fois que nous avons ces modèles, nous pouvons les utiliser pour faire des prédictions sur le comportement futur. Voyons un exemple de ce formulaire.

Au début d’une expérience, un scientifique a un échantillon qui contient 250 milligrammes d’un isotope radioactif. L’isotope radioactif se désintègre de façon exponentielle à un taux de 1.3% par minute. a) Écris la masse de l’isotope en milligrammes, 𝑚, en fonction du temps en minutes, 𝑡, depuis le début de l’expérience. Et b) Trouvez la demi-vie de l’isotope, en donnant votre réponse à la minute près.

Rappelez-vous, nous pouvons modéliser la croissance exponentielle et la décroissance en utilisant la formule 𝑃 de 𝑡 est égal à 𝑃 zéro fois 𝑒 à la puissance 𝑘𝑡, où 𝑃 zéro est la valeur initiale de 𝑃 et 𝑘 est le taux de croissance ou de décroissance. Dans notre cas, il y a 250 milligrammes d’échantillon au début de l’expérience. Donc, 𝑃 rien doit être égal à 250. Nous avons dit que 𝑘 est le taux de croissance ou de décroissance. Puisque l’isotope se désintègre, cette valeur va être négative. Et 1.3 pour cent sous forme décimale est de 0.013. Donc, 𝑘 est moins 0.013. On peut donc dire que la fonction qui décrit la masse en minutes est 𝑚 égale à 250 fois 𝑒 la puissance moins 0.013𝑡.

Nous allons maintenant regarder la partie b). Ici, cela nous aide à comprendre la définition de l’expression demi-vie. C’est le temps mis pour que la radioactivité de l’isotope tombe à la moitié de sa valeur d’origine. Dans notre cas, c’est la moitié de 250. C’est 125 milligrammes. Nous devons déterminer pour quelle valeur de 𝑡 𝑚 est égal à 125. Nous fixons donc 𝑚 égal à 125 et résolvons en 𝑡.

Nous voyons que 125 est égal à 250 fois 𝑒 à la puissance moins 0.013𝑡. Nous divisons ensuite les deux côtés de cette équation par 250. 125 divisé par 250 est 0.5. Ainsi, nous voyons que 0.5 est égal à 𝑒 à la puissance moins 0.013𝑡. Nous prenons ensuite le logarithme naturel des deux côtés de cette équation pour obtenir le logarithme naturel de 0.5 égal au logarithme naturel de 𝑒 à la puissance moins 0.013𝑡. Mais bien sûr, le logarithme naturel de 𝑒 à la puissance moins 0.013𝑡 n’est que moins 0.013𝑡. Et donc, notre dernière étape consiste à diviser les deux côtés de cette équation par moins 0.013. Cela nous donne 𝑡 est égal à 53.319 minutes, ce qui, à la minute près, équivaut à 53 minutes.

Dans cette vidéo, nous avons appris que nous pouvons résoudre des équations différentielles de la forme d𝑃 par d𝑡 est égal à 𝑘𝑃 en les écrivant sous la forme un sur 𝑃 d𝑃 est égal à 𝑘 d𝑡 et en intégrant les deux côtés. Lorsque nous le faisons, nous voyons que la solution est de la forme 𝑃 est égal à 𝑃 rien 𝑒 au 𝑘𝑡, où 𝑃 de zéro est égal à zéro 𝑃. Nous avons vu que bien qu’il soit utile de pouvoir dériver la formule, il est tout à fait correct de la citer et de l’appliquer à des problèmes impliquant une croissance exponentielle et une décroissance.

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