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Vidéo de question : Déterminer la primitive générale d’un polynôme Mathématiques

Déterminez l’expression générale d’une primitive 𝐹 (𝑥) de la fonction définie par 𝑓 (𝑥) = 3𝑥² - 2𝑥 - 1.

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Transcription de vidéo

Déterminez l’expression générale d’une primitive 𝐹 de 𝑥 de la fonction définie par 𝑓 minuscule de 𝑥 égale trois 𝑥 au carré moins deux 𝑥 moins un.

La question nous donne la fonction du second degré 𝑓 minuscule de 𝑥 et elle veut que nous trouvions la primitive générale de cette fonction 𝑓 minuscule de 𝑥. On nous dit d’appeler cette primitive générale 𝐹 de 𝑥. Commençons par rappeler ce qu’est une primitive. Nous disons que 𝐹 majuscule de 𝑥 est une primitive de 𝑓 minuscule de 𝑥 si la dérivée de 𝐹 majuscule de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑓 minuscule de 𝑥.

Seulement, nous savons que les primitives d’une fonction ne sont pas uniques. Par exemple, la dérivée de 𝑥 plus un par rapport à 𝑥 est égale à un, donc 𝑥 plus un est une primitive de un. Cependant, si nous devions également calculer la dérivée de 𝑥 moins un par rapport à 𝑥, nous obtiendrions également un. Ainsi, 𝑥 moins un est aussi une primitive de un. En fait, pour toute constante 𝑐, la dérivée de 𝑥 plus 𝑐 par rapport à 𝑥 sera un. Nous appelons cela une primitive générale car nous pouvons saisir n’importe quelle valeur de 𝑐 et obtenir une primitive. Maintenant, nous connaissons la forme que prendra notre primitive générale.

Voyons maintenant comment trouver la primitive générale de notre fonction du second degré 𝑓 de 𝑥. Commençons par considérer chaque terme individuellement. Débutons par trois 𝑥 au carré. Nous avons besoin que la dérivée de quelque chose soit égale à trois 𝑥 au carré. Rappelons que la règle des puissances pour la dérivation nous dit pour toutes les constantes 𝑎 et 𝑛, la dérivée de 𝑎𝑥 à la puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎 fois 𝑛 fois 𝑥 à la puissance 𝑛 moins un. En d’autres termes, 𝑎𝑥 à la puissance 𝑛 est une primitive de 𝑎𝑛𝑥 à la puissance 𝑛 moins un. Dans notre cas, nous voulons quelque chose qui se dérive pour donner un exposant de 𝑥 égal à deux. Ainsi, nous voulons que la valeur de 𝑛 soit égale à trois. Utilisons 𝑛 égal à trois pour trouver la valeur de 𝑎.

Dérivons 𝑎𝑥 au cube par rapport à 𝑥. Pour ce faire, nous utilisons la règle des puissances pour la dérivation. Nous multiplions par l’exposant de 𝑥 puis réduisons cet exposant de un. Cela nous donne trois 𝑎𝑥 au carré. Rappelez-vous, nous voulons que ce soit une primitive de trois 𝑥 au carré. Nous avons donc besoin que notre coefficient de 𝑥 au carré soit égal à trois. Par conséquent, nous allons choisir la valeur de 𝑎 comme étant égale à un. Nous avons montré jusqu’à présent que 𝑥 au cube est une primitive de trois 𝑥 au carré. Nous pourrions en fait vérifier cela en dérivant 𝑥 au cube par rapport à 𝑥. Si nous le faisions en utilisant la règle des puissances pour la dérivation, nous obtiendrions en effet trois 𝑥 au carré.

Faisons maintenant la même chose pour notre deuxième terme, moins deux 𝑥. Encore une fois, nous pouvons essayer de faire quelque chose de très similaire avec la règle des puissances pour la dérivation. Cette fois, nous devons noter que moins deux 𝑥 est la même chose que moins deux 𝑥 à la puissance un. Nous voulons donc une fonction qui se dérive pour donner moins deux 𝑥 à la puissance un. Par conséquent, nous devrions définir la valeur de 𝑛 comme étant égale à deux. Nous allons donc définir la valeur de 𝑛 égale deux et essayer d’utiliser la règle des puissances pour la dérivation pour dériver 𝑏𝑥 au carré par rapport à 𝑥. Encore une fois, pour ce faire, nous multiplions par l’exposant de 𝑥, puis réduisons cet exposant de un. Cela nous donne deux 𝑏𝑥 à la puissance un. Bien sûr, 𝑥 à la puissance un est égal à 𝑥.

Rappelez-vous, nous recherchons une primitive de moins deux 𝑥, nous avons donc besoin que notre coefficient de 𝑥 soit égal à moins deux. Nous voyons que ce sera bien le cas si notre valeur de 𝑏 est égale à moins un. Nous avons montré que moins 𝑥 au carré est une primitive de moins deux 𝑥. Encore une fois, nous pourrions vérifier cela en dérivant le moins 𝑥 au carré par rapport à 𝑥. Nous utiliserions la règle des puissances pour la dérivation et nous obtiendrions moins deux 𝑥.

Nous pourrions faire exactement la même chose pour notre dernier terme, moins un. Seulement, nous savons déjà que la dérivée de toute fonction linéaire sera simplement le coefficient de 𝑥. Ainsi, tout comme nous l’avons fait dans l’exemple précédent, nous pouvons trouver une primitive de moins un en ayant simplement une fonction linéaire avec un coefficient de 𝑥 égal à moins un. Par exemple, moins 𝑥 est une primitive de moins un. Encore une fois, nous pourrions vérifier cela en dérivant moins 𝑥 par rapport à 𝑥. Ce n’est que le coefficient de 𝑥, qui est moins un.

Maintenant que nous avons trouvé une primitive pour chacun des trois termes de notre fonction 𝑓 minuscule de 𝑥, nous pouvons les additionner pour trouver une primitive de notre fonction 𝑓 minuscule de 𝑥. Rappelez-vous, la raison pour laquelle cela est vrai est que si nous devions dériver cette fonction, nous pourrions en fait évaluer la dérivée terme par terme. Chacun de ces termes n’est que la primitive de l’un des termes de notre fonction 𝑓 minuscule de 𝑥. Par conséquent, cette dérivée sera évaluée pour nous donner 𝑓 minuscule de 𝑥. Seulement, rappelez-vous, la question nous demande de trouver la primitive générale. Pour ce faire, nous devons ajouter une constante à notre fonction. Nous allons la noter avec un 𝐶 majuscule.

Par conséquent, nous avons pu montrer que la fonction 𝑓 minuscule de 𝑥 est égale à trois 𝑥 au carré moins deux 𝑥 moins un aura la primitive générale 𝐹 de 𝑥 est égal à 𝑥 au cube moins 𝑥 au carré moins 𝑥 plus une constante 𝐶.

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