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Déterminez l'équation cartésienne du plan passant par le point quatre, moins un, un et parallèle au plan cinq 𝑥 plus six 𝑦 moins sept 𝑧 égale zéro.
Nous rappelons d'abord que la forme cartésienne de l'équation d'un plan s'écrit 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐𝑧 plus 𝑑 égale zéro. Ce plan a un vecteur normal 𝐧 égal à 𝑎, 𝑏, 𝑐. Nous savons aussi que si deux plans sont parallèles, alors leurs vecteurs normaux doivent être colinéaires. Ainsi, notre plan est parallèle au plan cinq 𝑥 plus six 𝑦 moins sept 𝑧 égale zéro, dont le vecteur normal est égal à cinq, six, moins sept.
Tout vecteur non nul colinéaire à ce vecteur est un vecteur normal au plan dont on veut écrire l'équation. Cela veut dire que le vecteur colinéaire le plus simple que nous pouvons trouver est exactement le même vecteur. Nous obtenons ainsi l'équation de notre plan cinq 𝑥 plus six 𝑦 moins sept 𝑧 plus 𝑑 égale zéro. Nous savons que ce plan passe par le point de coordonnées quatre, moins un, un. Nous pouvons donc substituer ces coordonnées pour calculer la valeur de 𝑑.
Cinq fois quatre donne 20, six fois moins un donne moins six et sept fois un donne sept, ce qui nous donne 20 plus moins six moins sept plus 𝑑 égale zéro. Cela se simplifie en sept plus 𝑑 égale zéro. En soustrayant sept des deux côtés, nous trouvons que 𝑑 égale moins sept. La forme cartésienne de l'équation du plan qui passe par le point quatre, moins un, un et qui est parallèle au plan cinq 𝑥 plus six 𝑦 moins sept 𝑧 égale zéro est cinq 𝑥 plus six 𝑦 moins sept 𝑧 moins sept égale zéro.
