Vidéo : Dérivées du second ordre ou supérieur

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer des dérivées de second ordre ou supérieur d'une fonction, notamment à l'aide de règles de dérivation.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à rechercher des dérivées de fonctions d’ordre 2 et supérieur, y compris celles qui requièrent diverses règles de dérivation. À ce stade, vous devez être à l’aise pour dériver les fonctions polynomiales et trigonométriques et pour appliquer la règle de chaîne, la règle du produit et la règle du quotient. Nous allons utiliser ces connaissances pour découvrir comment déterminer des dérivées de second ordre ou supérieur.

Parce que la dérivée d’une fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 lui-même est une fonction de 𝑥, cela signifie que nous pouvons prendre la dérivée de la dérivée, ou la dérivée de 𝑓 prime de 𝑥. Ceci est connu comme prenant la dérivée seconde de la fonction. Et elle est notée 𝑓 prime prime de 𝑥, ou d deux 𝑦 sur d𝑥 deux, ou d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré, en utilisant la notation de Leibniz.

Cette idée peut être renouvelée pour déterminer les troisième, quatrième, cinquième et dérivées successives de la fonction d’origine. Après la troisième dérivée, nous ne continuons pas à utiliser la notation prime car elle commence à devenir un peu lourde. Et au lieu de cela, nous désignons la 𝑛 ième dérivée comme indiqué. Généralement, nous effectuons ce processus de manière séquentielle, en dérivant chaque fonction de 𝑥 de telle sorte que la 𝑛 ième dérivée de la fonction soit égale à la dérivée de la dérivée 𝑛 moins unième de la fonction.

Il est également utile de noter cependant que dans certains cas, nous pouvons dériver une formule générale pour une dérivée arbitraire d’ordre 𝑛. Et nous les examinerons plus tard. Il existe également un certain nombre d’applications de dérivées de second ordre et d’ordre supérieur, bien que nous ne les examinions pas dans cette vidéo, nous nous concentrons uniquement sur les processus en fonction des besoins. Considérons d’abord un exemple simple qui consiste à déterminer la dérivée seconde d’une fonction polynomiale.

Sachant que 𝑦 est égal à six 𝑥 à la puissance cinq et trois 𝑥 au carré moins sept 𝑥 ainsi que six, détermine la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥.

Ici, on nous a donné une fonction 𝑥. Et on nous demande de déterminer d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré. Pour ce faire, nous dériverons une fois pour déterminer d𝑦 sur d𝑥, puis nous dériverons à nouveau pour déterminer la dérivée seconde. Nous rappelons que nous pouvons dériver une fonction de la forme 𝑎𝑥 à la puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 pour un certain nombre rationnel constant 𝑛, qui n’est pas égal à zéro, et une constante 𝑎. Et nous obtenons 𝑛𝑎 fois 𝑥 à la puissance de 𝑛 un moins. En d’autres termes, nous prenons la puissance de 𝑥 et en faisons le coefficient de la dérivée. Et puis, on soustrait un de la puissance.

Dans ce cas particulier où 𝑛 est égal à zéro, nous avons en fait une constante. Appelons ça 𝑏. Et la dérivée d’une constante est zéro. Cela va nous aider à déterminer la dérivée première de notre fonction. La dérivée de six 𝑥 à la puissance de cinq va être cinq fois six 𝑥. Et puis, on soustrait un de la puissance. Cinq moins un, c’est quatre. C’est 30𝑥 à la puissance quatre. Nous allons répéter cela pour dériver trois 𝑥 au carré. Ça va être deux fois trois 𝑥. Et puis, on soustrait un de la puissance. Deux moins un c’est un. Donc, la dérivée de trois 𝑥 au carré par rapport à 𝑥 est six 𝑥.

La dérivée de moins sept 𝑥 est une fois moins sept 𝑥 à la puissance zéro. Eh bien, ce n’est que moins sept. Et, bien sûr, six est une constante, la dérivée de six est donc zéro. d𝑦 sur d𝑥 puis, la dérivée première de notre équation, est de 30𝑥 à la puissance quatre plus six 𝑥 moins sept. Nous dériverons encore une fois chaque partie de cette expression pour déterminer la dérivée seconde.

Nous le ferons pièce par pièce. La dérivée de 30𝑥 à la puissance de quatre est quatre fois 30𝑥 à la puissance trois. La dérivée de six 𝑥 est six. Et la dérivée de moins sept est zéro. Simplifier complètement, et on voit que la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥 est de 120𝑥 au cube plus six.

Dans cet exemple, nous avons vu comment appliquer une dérivation répétée pour nous aider à déterminer la dérivée seconde d’une fonction polynomiale.

Ensuite, nous verrons comment évaluer la dérivée seconde d’un exemple légèrement plus compliqué à un moment donné.

Détermine la valeur de la dérivée seconde de la fonction 𝑦 est égale à 12𝑥 moins huit sur 𝑥 en un, quatre.

Nous avons une équation pour 𝑦 en fonction de 𝑥. Et on nous demande de déterminer la valeur de la dérivée seconde au point dont les coordonnées cartésiennes sont un, quatre. Nous commencerons ensuite par déterminer simplement une expression pour la dérivée seconde. Pour ce faire, nous distinguons notre fonction une fois pour déterminer d𝑦 sur d𝑥 puis dériver ensuite par rapport à 𝑥 une fois de plus. Il pourrait aider, avant de le faire, d’écrire 𝑦 comme 12𝑥 moins huit 𝑥 puissance moins un. Ensuite, nous dérivons comme d’habitude.

La dérivée de 12𝑥 par rapport à 𝑥 est simplement égale à 12. Et la dérivée de moins huit 𝑥 puissance moins un est moins moins une fois huit 𝑥 à la puissance moins deux. Et soyez très prudent. Une erreur courante est de repérer le moins et de penser que, si on en soustrait un, on arrive à zéro. Lorsque nous simplifions cela, nous voyons que la première dérivée est égale à 12 plus huit 𝑥 puissance moins deux. Répétons ce processus pour déterminer la dérivée seconde.

La dérivée de 12 est zéro. Et puis, quand nous dérivons huit 𝑥 puissance moins deux par rapport à 𝑥, nous obtenons moins deux fois huit 𝑥 puissance moins trois. C’est moins 16𝑥 puissance moins trois. Et, bien sûr, nous pouvons changer avec moins 16 sur 𝑥 au cube si nous voulons.

Nous devons déterminer la valeur de la dérivée seconde en un, quatre. C’est une coordonnée cartésienne. Il a une valeur 𝑥 de un et une valeur 𝑦 de quatre. Donc, nous allons substituer 𝑥 égal à un dans notre équation pour la dérivée seconde. Cela nous donne moins 16 sur un au cube, ce qui est moins 16.

Dans notre prochain exemple, nous allons apprendre comment appliquer les règles standard de dérivation pour nous aider à déterminer des dérivées secondes.

Étant donné que 𝑦 est égal à trois 𝑥 au carré moins cinq plus de deux 𝑥 carré plus sept, déterminer la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥.

Ici nous avons un quotient. C’est le résultat de la division d’une fonction par une autre fonction. Nous pouvons donc utiliser la règle du quotient pour nous aider à déterminer la dérivée première. Ceci signifie que pour deux fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣, la dérivée de 𝑢 sur 𝑣 par rapport à 𝑥 est égal à 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥 moins 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 le tout sur 𝑣 carré.

Puisque 𝑢 est le numérateur, nous allons poser 𝑢 égal à trois 𝑥 carré moins cinq. Et nous pouvons voir que 𝑣 doit être égale à deux 𝑥 au carré plus sept. Pour pouvoir utiliser la règle du quotient, nous allons dériver chacun d’entre eux par rapport à 𝑥. Lorsque nous dérivons 𝑢 en ce qui concerne 𝑥, nous obtenons six 𝑥. Et d𝑣 sur d𝑥 est égal à quatre 𝑥. 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥 est deux 𝑥 carré plus sept fois six 𝑥. Nous soustrayons ensuite le produit de 𝑢 et d𝑣 sur d𝑥. C’est trois 𝑥 carré moins cinq fois quatre 𝑥. Et bien sûr, le tout sur 𝑣 au carré. C’est deux 𝑥 au carré plus sept au carré.

La distribution entre parenthèses sur la partie supérieure de notre fraction, et nous obtenons 12𝑥 au cube, plus 42𝑥 moins 12𝑥 au cube plus 20𝑥. Et ensuite, nous garderons le dénominateur tel quel. Et nous voyons que la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est 62𝑥 sur deux 𝑥 carré plus sept carré.

Pour déterminer la dérivée seconde, il va falloir la dériver à nouveau. Libérons de l’espace. Encore une fois, nous cherchons à dériver un quotient, nous allons donc utiliser la règle du quotient. Cette fois, on pose 𝑢 égal à 62𝑥 et 𝑣 égal à deux 𝑥 carré plus sept carré. d𝑢 sur d𝑥 est assez simple. C’est 62. Mais qu’en est-il d𝑣 sur d𝑥 ?

Eh bien, nous pouvons utiliser un cas spécial de la règle de chaîne appelée règle générale de puissance. Ceci signifie que si 𝑝 est une fonction de 𝑥 et 𝑛 un certain rationnel constant égal à zéro, alors la dérivée de 𝑝 à la puissance de 𝑛 par rapport à 𝑥 est 𝑛 fois 𝑝 à la puissance de 𝑛 moins une fois d𝑝 sur d𝑥. Cela signifie que d𝑣 sur d𝑥 est deux fois cette fonction dans 𝑥, ce qui est deux 𝑥 carré plus sept à la puissance un, fois la dérivée de deux 𝑥 carré plus sept par rapport 𝑥, ce qui est quatre 𝑥.

Et quand nous simplifions, nous voyons que d𝑣 sur d𝑥 est huit 𝑥 fois deux 𝑥 au carré plus sept. Cette fois-ci , 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥 est deux 𝑥 carré plus sept au carré fois 62 moins 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 le tout sur 𝑣 au carré. La clé ici est de repérer que le dénominateur de notre fraction devient deux 𝑥 carré plus sept à la puissance quatre. Et cela signifie que nous pouvons diviser par un facteur commun de deux 𝑥 au carré plus sept. Et qui nous laisse avec deux 𝑥 au carré plus de sept sur le dénominateur au cube et 62 fois deux 𝑥 carré plus sept moins 62𝑥 fois huit 𝑥 sur le dessus.

Nous pouvons retirer un facteur de 62 sur le numérateur. Et puis, quand on retranche huit 𝑥 fois 𝑥 de deux 𝑥 au carré, on obtient moins six 𝑥 au carré. Et la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥 est 62 fois sept fois moins six au carré sur deux 𝑥 au carré plus sept au cube.

Maintenant que nous avons vu comment déterminer la dérivée seconde, nous allons utiliser des dérivées d’ordre supérieur pour résoudre des problèmes.

Étant donné que 𝑦 est égal à 𝑎𝑥 au cube, plus 𝑏𝑥 au carré, la dérivée troisième de 𝑦 est moins 18, et la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥 évaluée en 𝑥 égal à deux est moins 14, pour 𝑎 et 𝑏.

Ici, nous avons une équation pour 𝑦 en fonction de 𝑥 et des informations sur la dérivée seconde et la dérivée troisième, notée 𝑦 prime prime prime. Pour répondre à cette question, commençons juste en déterminer une équation pour les deuxième et troisième dérivées de 𝑦 par rapport à 𝑥.

En dérivant 𝑦 par rapport à 𝑥, et nous obtenons trois 𝑎𝑥 au carré plus deux 𝑏𝑥. Pour déterminer la dérivée seconde, nous allons dériver l’équation de la dérivée seconde. C’est deux fois trois 𝑎𝑥 plus deux 𝑏. Cela simplifie à six 𝑎𝑥 plus deux 𝑏. Encore une fois, pour déterminer la dérivée troisième, nous dérivons la dérivée seconde par rapport à 𝑥. Comme deux 𝑏 est une constante, la dérivée troisième est six 𝑎.

On nous dit que la dérivée seconde évaluée à 𝑥 égal à deux est moins 14. Donc, nous allons substituer 𝑥 égal à deux dans notre équation pour la dérivée seconde et le mettre égal à 14. C’est six fois deux plus deux 𝑏 est égal à moins 14, ou 12𝑎 plus deux 𝑏 est moins 14. De même, on nous dit que la troisième dérivée est égale à moins 18. Donc, on peut dire que six 𝑎 doit être égale à moins 18.

Notez que cette dernière équation a une seule variable, nous pouvons donc la résoudre normalement. Nous pouvons diviser les deux côtés de cette équation par six. Et quand on le fait, on voit que 𝑎 est égal à trois. Nous pouvons prendre cette valeur et la substituer dans l’équation que nous avons formée en utilisant la dérivée seconde. Cela nous donne 12 multiplié par moins trois plus deux 𝑏 est égal à moins 14. 12 multiplié par moins trois est moins 36. Nous ajoutons 36 aux deux côtés de notre équation pour obtenir deux 𝑏 est égal à 22. Et on divise par par deux pour obtenir 𝑏 égal à 11. 𝑎 est égal à moins trois et 𝑏 est égal à 11.

Dans notre dernier exemple, considérons un cas dans lequel nous pouvons déduire une formule générale pour une dérivée arbitraire d’ordre 𝑛.

Détermine la 51e dérivée de sin de 𝑥 par rapport à 𝑥 en recherchant les premières dérivées et en observant le schéma qui se produit.

Commençons donc par déterminer les premières dérivées de sin de 𝑥 par rapport à 𝑥. On peut citer le résultat standard d sur d𝑥 de sin de 𝑥 est cos de 𝑥. Cela signifie que pour déterminer la dérivée seconde de sin de 𝑥, nous devons dériver le cos de 𝑥 par rapport à 𝑥.

Ici, nous pouvons citer un autre résultat standard. La dérivée de cos de 𝑥 par rapport à 𝑥 est moins sin de 𝑥. Ainsi, la dérivée seconde de sin de 𝑥 par rapport à 𝑥 est moins sin de 𝑥. De même, la troisième dérivée va être déterminée en dérivant moins sin 𝑥 par rapport à 𝑥. Et nous pouvons utiliser la règle de multiplication par une constante ici pour prendre la constante moins un en dehors de la dérivée et de se concentrer sur la dérivation de sin 𝑥.

Nous avons déjà vu que la dérivée de sin de 𝑥 par rapport à 𝑥 est cos de 𝑥. Donc, cela signifie que la dérivée troisième de sin de 𝑥 par rapport à 𝑥 est moins cos de 𝑥. La quatrième dérivée de sin de 𝑥 va être la dérivée de moins cos de 𝑥 par rapport à 𝑥. Encore une fois, nous allons utiliser la règle de multiplication par une constante ici et prenons la constante moins un en dehors de la dérivée et on se concentre sur la dérivation de cos de 𝑥 que nous savons maintenant être moins sin de 𝑥.

Ainsi, la quatrième dérivée est moins moins sin de 𝑥, qui est plus sin de 𝑥. Et nous n’avons plus besoin de le faire. Nous pouvons voir que nous avons un cycle. La cinquième dérivée de sin de 𝑥 va être le cos de 𝑥. La sixième dérivée reviendra à moins sin de 𝑥, et ainsi de suite. Alors, quelle est la règle générale ?

Eh bien, on peut dire que pour des valeurs entières de 𝑘, les dérivées quatre 𝑘 du sin de 𝑥 sont égales à sin de 𝑥. Les dérivées 𝑘 plus un du sin de 𝑥 sont cos de 𝑥. Les dérivées quatre 𝑘 plus deux de 𝑥 sont moins sin de 𝑥. Et les dérivées quatre 𝑘 plus trois de sin 𝑥 sont moins cos de 𝑥.

Nous essayons de déterminer la 51e dérivée. Et nous pouvons écrire 51 comme quatre fois 12 plus trois. Donc, cela signifie que la 51e dérivée du sin de 𝑥 sera la même que la dérivée quatre 𝑘 plus trois. C’est moins cos de 𝑥.

Il est utile de savoir que, puisque les dérivées du sin et cos sont si étroitement liées, on peut aussi déduire une formule générale pour la dérivée 𝑛 e de cos de 𝑥. Les dérivées quatre 𝑘 e de cos de 𝑥 est cos de 𝑥. Les dérivées quatre 𝑘 plus un de cos de 𝑥 est moins sin de 𝑥. Les dérivées quatre 𝑘 plus deux de cos de 𝑥 est moins cos de 𝑥. Et les dérivées quatre 𝑘 plus trois de cos de 𝑥 est le sin de 𝑥.

Dans cette vidéo, nous avons vu que nous pouvons utiliser les règles standard de dérivation pour déterminer des dérivées de second ordre ou plus élevés. Nous avons vu que nous effectuons généralement ce processus de manière séquentielle, bien que nous puissions parfois utiliser des modèles pour générer des règles pour les dérivées d’ordre supérieur.

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