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Vidéo de la leçon: Dérivées secondes et d’ordre supérieur Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer les dérivées secondes et d’ordre supérieur d’une fonction en utilisant des règles de dérivation.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer les dérivées secondes et d’ordre supérieur des fonctions, y compris celles qui utilisent de nombreuses règles de dérivation. À ce point, vous devez être à l’aise pour dériver des fonctions polynomiales et trigonométriques et pour appliquer la règle de dérivation en chaîne, la règle du produit et la règle du quotient. Nous allons utiliser ces connaissances pour voir comment déterminer des dérivées secondes et d’ordre supérieur.

Comme la dérivée d’une fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 est elle-même une fonction de 𝑥, nous pouvons donc prendre la dérivée de la dérivée, ou la dérivée de 𝑓 prime de 𝑥. Cette fonction s’appelle la dérivée seconde de la fonction. Et elle est notée 𝑓 prime prime de 𝑥, ou d deux 𝑦 sur d𝑥 deux, ou d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré, en utilisant la notation de Leibniz.

On peut continuer sur cette même idée pour déterminer les dérivées troisième, quatrième, cinquième et ainsi de suite, de la fonction initiale. Après la dérivée troisième, on n’utilise plus la notation prime car elle devient trop lourde. Et à la place, on note la dérivée d’ordre 𝑛 comme indiqué. Généralement, on effectue ce calcul de manière séquentielle, en dérivant chaque fonction de 𝑥 de telle sorte que la dérivée d’ordre 𝑛 de la fonction soit égale à la dérivée de la dérivée d’ordre 𝑛 moins un de la fonction.

Il est pourtant utile de noter que dans certains cas, il est possible de déterminer une formule générale pour la dérivée d’ordre 𝑛. Et nous verrons ça un peu plus tard. Il existe également de nombreuses applications des dérivées secondes et d’ordre supérieur, mais nous ne les aborderons pas dans cette vidéo, nous allons simplement nous concentrer sur les méthodes requises. Considérons d’abord un exemple simple où nous allons déterminer la dérivée seconde d’une fonction polynomiale.

Sachant que 𝑦 est égal à six 𝑥 puissance cinq plus trois 𝑥 au carré moins sept 𝑥 plus six, déterminez la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥.

Ici, nous avons une fonction de 𝑥. Et on nous demande de déterminer d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré. Pour cela, nous allons dériver une fois pour calculer d𝑦 sur d𝑥 puis dériver encore une fois pour calculer la dérivée seconde. Rappelons qu’il est possible de dériver une fonction de la forme 𝑎𝑥 puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 avec 𝑛 un nombre rationnel constant différent de zéro et 𝑎 une constante. Et nous obtenons 𝑛𝑎 fois 𝑥 puissance 𝑛 moins un. Autrement dit, il faut prendre la puissance de 𝑥 et en faire le coefficient de la dérivée. Et puis, il faut soustraire un à la puissance.

Dans ce cas particulier où 𝑛 est égal à zéro, nous avons en fait une constante. Appelons-là 𝑏. Et la dérivée d’une constante est zéro. Cela va nous aider à calculer la dérivée première de la fonction. La dérivée de six 𝑥 puissance cinq est égale à cinq fois six 𝑥. Et puis, nous soustrayons un à la puissance. Cinq moins un est égal à quatre. Nous avons donc 30𝑥 puissance quatre. Nous allons faire de même pour dériver trois 𝑥 au carré. Nous obtenons deux fois trois 𝑥. Et puis, nous soustrayons un à la puissance. Deux moins un est égal à un. Ainsi, la dérivée de trois 𝑥 au carré par rapport à 𝑥 est six 𝑥.

La dérivée de moins sept 𝑥 est égale à un fois moins sept 𝑥 à puissance zéro. C’est donc juste moins sept. Et, bien sûr, six est une constante, donc la dérivée de six est zéro. Alors d𝑦 sur d𝑥, la dérivée première de la fonction, est 30𝑥 puissance quatre plus six 𝑥 moins sept. Nous allons de nouveau dériver chaque terme de cette expression pour calculer la dérivée seconde.

Nous allons le faire terme par terme. La dérivée de 30𝑥 puissance quatre est quatre fois 30𝑥 puissance trois. La dérivée de six 𝑥 est six. Et la dérivée de moins sept est zéro. En simplifiant cela, et nous obtenons que la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥 est 120𝑥 au cube plus six.

Dans cet exemple, nous avons vu comment dériver successivement pour calculer la dérivée seconde d’une fonction polynomiale.

Ensuite, nous allons voir comment calculer une dérivée seconde en un point donné avec un exemple un peu plus complexe.

Déterminez la valeur de la dérivée seconde de la fonction 𝑦 égal 12𝑥 moins huit sur 𝑥 au point un, quatre.

Nous avons une équation pour 𝑦 en fonction de 𝑥. Et on nous demande de calculer la valeur de la dérivée seconde au point de coordonnées un, quatre. Nous allons simplement commencer par déterminer l’expression de la dérivée seconde. Pour cela, nous allons dériver la fonction une fois pour déterminer d𝑦 sur d𝑥 puis dériver par rapport à 𝑥 une deuxième fois. Avant de faire cela, il peut être utile d’écrire 𝑦 comme 12𝑥 moins huit 𝑥 puissance moins un. Ensuite, il faut dériver comme d’habitude.

La dérivée de 12𝑥 par rapport à 𝑥 est simplement 12. Et la dérivée de moins huit 𝑥 puissance moins un est moins moins un fois huit 𝑥 puissance moins deux. Et il faut faire attention. Une erreur courante consiste à voir le moins et à penser qu’en soustrayant un, nous obtenons zéro. En simplifiant cela, nous voyons que la dérivée première est 12 plus huit 𝑥 puissance moins deux. Faisons de même pour calculer la dérivée seconde.

La dérivée de 12 est zéro. Et puis, en dérivant huit 𝑥 de moins deux par rapport à 𝑥, nous obtenons moins deux fois huit 𝑥 puissance moins trois. C’est égal à moins 16𝑥 puissance moins trois. Et, bien sûr, nous pouvons changer cela en moins 16 sur 𝑥 au cube si nous le voulons.

Nous devons déterminer la valeur de la dérivée seconde au point un, quatre. Ce sont des coordonnées cartésiennes. La valeur de 𝑥 est un et la valeur de 𝑦 est quatre. Donc, nous allons remplacer 𝑥 par un dans l’équation de la dérivée seconde. Cela nous donne moins 16 sur un au cube, ce qui est égal à moins 16.

Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment utiliser les règles classiques de dérivation pour déterminer des dérivées secondes.

Sachant que 𝑦 est égal à trois 𝑥 au carré moins cinq sur deux 𝑥 au carré plus sept, déterminez la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥.

Ici, nous avons un quotient. C’est le résultat de la division d’une fonction par une autre fonction. Nous pouvons donc utiliser la règle du quotient pour calculer la dérivée première. Cette règle dit que pour deux fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣, la dérivée de 𝑢 sur 𝑣 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥 moins 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 le tout sur 𝑣 au carré.

Comme 𝑢 est le numérateur, nous avons 𝑢 égal trois 𝑥 au carré moins cinq. Et 𝑣 est égale à deux 𝑥 au carré plus sept. Pour utiliser la règle du quotient, nous allons dériver chacune des fonctions par rapport à 𝑥. En dérivant 𝑢 par rapport à 𝑥, nous obtenons six 𝑥. Et d𝑣 sur d𝑥 est égal à quatre 𝑥. 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥 est égal à deux 𝑥 au carré plus sept fois six 𝑥. Nous soustrayons ensuite le produit de 𝑢 et d𝑣 sur d𝑥. Cela fait trois 𝑥 au carré moins cinq fois quatre 𝑥. Et, bien sûr, nous avons le tout sur 𝑣 au carré. Cela fait deux 𝑥 au carré plus sept au carré.

En développant les parenthèses au numérateur de la fraction, nous obtenons 12𝑥 au cube plus 42𝑥 moins 12𝑥 au cube plus 20𝑥. Et puis, nous gardons le dénominateur tel quel. Et nous obtenons que la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à 62𝑥 sur deux 𝑥 au carré plus sept au carré.

Pour calculer la dérivée seconde, nous allons devoir dériver à nouveau. Faisons un peu de place. Encore une fois, nous devons dériver un quotient, nous allons donc utiliser la règle du quotient. Cette fois, nous avons 𝑢 égale 62𝑥 et 𝑣 égale deux 𝑥 au carré plus sept au carré. d𝑢 sur d𝑥 est assez simple. C’est égal à 62. Mais qu’en est-il de d𝑣 sur d𝑥 ?

Alors, nous pouvons utiliser un cas particulier de la règle de dérivation en chaîne, qui est la règle de dérivation des fonctions puissances. Cette règle dit que si 𝑝 est une fonction de 𝑥 et 𝑛 est une constante rationnelle différente de zéro, alors la dérivée de 𝑝 puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑛 fois 𝑝 puissance 𝑛 moins une fois d𝑝 sur d𝑥. Cela signifie que d𝑣 sur d𝑥 est égale à deux fois cette fonction de 𝑥, qui est deux 𝑥 au carré plus sept puissance un, fois la dérivée de deux 𝑥 au carré plus sept par rapport à 𝑥, qui est quatre 𝑥.

Et en simplifiant cela, nous obtenons que d𝑣 sur d𝑥 est égal à huit 𝑥 fois deux 𝑥 au carré plus sept. Cette fois, 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥 est égal à deux 𝑥 au carré plus sept fois au carré 62 moins 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥, le tout sur 𝑣 au carré. Le point clé ici est de remarquer que le dénominateur de la fraction devient deux 𝑥 au carré plus sept puissance quatre. Et cela signifie que nous pouvons diviser par le facteur commun deux 𝑥 au carré plus sept. Et il nous reste deux 𝑥 au carré plus sept au cube au dénominateur et 62 fois deux 𝑥 au carré plus sept moins 62𝑥 fois huit 𝑥 au numérateur.

Nous pouvons factoriser par 62 au numérateur. Et puis, en faisant huit 𝑥 fois 𝑥 moins deux 𝑥 au carré, nous obtenons moins six 𝑥 au carré. Et la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥 est 62 fois sept moins six au carré sur deux 𝑥 au carré plus sept au cube.

Maintenant que nous avons vu comment calculer une dérivée seconde, nous allons utiliser des dérivées d’ordre supérieur pour résoudre des problèmes.

Sachant que 𝑦 égal 𝑎𝑥 au cube plus 𝑏𝑥 au carré, que la dérivée troisième de 𝑦 est égale à moins 18 et que la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥 calculée en 𝑥 égal à deux est égale à moins 14, déterminez 𝑎 et 𝑏.

Ici, nous avons une équation 𝑦 en fonction de 𝑥 et des informations sur la dérivée seconde et la dérivée troisième, notées 𝑦 prime prime. Pour répondre à cette question, commençons simplement par déterminer une équation des dérivées deuxième et troisième de 𝑦 par rapport à 𝑥.

En dérivant 𝑦 par rapport à 𝑥, nous obtenons trois 𝑎𝑥 au carré plus deux 𝑏𝑥. Pour calculer la dérivée seconde, nous allons dériver l’équation. C’est égal à deux fois trois 𝑎𝑥 plus deux 𝑏. Ce qui se simplifie en six 𝑎𝑥 plus deux 𝑏. Encore une fois, pour calculer la dérivée troisième, nous dérivons la dérivée seconde par rapport à 𝑥. Comme deux 𝑏 est une constante, la dérivée troisième est six 𝑎.

On nous dit que la dérivée seconde calculée en 𝑥 égale à deux est égale à moins 14. Donc, remplaçons 𝑥 par deux dans l’équation de la dérivée seconde et écrivons que cette expression est égale à moins 14. Ce qui nous donne six fois deux plus deux 𝑏 égal à moins 14, soit 12𝑎 plus deux 𝑏 égal moins 14. De même, on nous dit que la dérivée troisième est égale à moins 18. Donc, on peut dire que six 𝑎 est égal à moins 18.

Notons que cette dernière équation possède une seule variable, donc nous pouvons la résoudre comme d’habitude. Nous pouvons diviser les deux côtés de cette équation par six. Et en faisant cela, nous obtenons que 𝑎 est égal à moins trois. Nous pouvons prendre cette valeur et la remplacer dans l’équation obtenue avec la dérivée seconde. Cela nous donne 12 multiplié par moins trois plus deux 𝑏 égale moins 14. 12 multiplié par moins trois est égal à moins 36. Nous ajoutons 36 aux deux côtés de l’équation pour obtenir deux 𝑏 égale 22. Et nous divisons par deux pour obtenir 𝑏 égal 11. 𝑎 est égal à moins trois et 𝑏 est égal à 11.

Dans notre dernier exemple, nous allons voir un cas où il est possible de déterminer une formule générale pour la dérivée d’ordre 𝑛.

Déterminez la dérivée d’ordre 51 de sin de 𝑥 par rapport à 𝑥 en calculant les premières dérivées puis en observant le cycle qui se répète.

Commençons donc par calculer les premières dérivées de sinus 𝑥 par rapport à 𝑥. Nous pouvons utiliser le résultat classique qui dit que d sur d𝑥 de sin 𝑥 est égal à cos 𝑥. Cela signifie que pour trouver la dérivée seconde de sin de 𝑥, nous devons dériver cos de 𝑥 par rapport à 𝑥.

Ici, nous pouvons utiliser un autre résultat classique. La dérivée de cos 𝑥 par rapport à 𝑥 est moins sin 𝑥. Donc, la dérivée seconde de sin 𝑥 par rapport à 𝑥 est moins sin 𝑥. De même, nous pouvons calculer la dérivée troisième en dérivant moins sin 𝑥 par rapport à 𝑥. Et nous pouvons utiliser ici la règle de dérivation de la multiplication par une constante pour sortir le moins un de la dérivée et nous concentrer sur la dérivation de sinus de 𝑥.

Nous avons déjà vu que la dérivée de sin 𝑥 par rapport à 𝑥 est cos 𝑥. Donc, cela signifie que la dérivée troisième de sin 𝑥 par rapport à 𝑥 est moins cos 𝑥. La dérivée quatrième de sin 𝑥 est la dérivée de moins cos 𝑥 par rapport à 𝑥. Encore une fois, nous allons utiliser la règle de dérivation de la multiplication ici et nous allons sortir le moins un de la dérivée et nous concentrer sur le calcul de la dérivée de cos 𝑥, qui nous le savons est égale à moins sin 𝑥.

Donc, la dérivée quatrième est moins moins sin 𝑥, qui est égal à sin de 𝑥. Et nous pouvons ensuite nous arrêter là. Nous avons vu qu’il y a un cycle. La dérivée cinquième de sin 𝑥 va être égale à cos 𝑥. Et avec la dérivée sixième, nous revenons à moins sin 𝑥 et ainsi de suite. Alors, quelle est la formule générale ?

Alors, nous pouvons dire que pour toute valeur entière de 𝑘, la dérivée d’ordre quatre 𝑘 de sin 𝑥 est sin de 𝑥. La dérivée d’ordre quatre 𝑘 plus un de sin 𝑥 est cos 𝑥. La dérivée d’ordre quatre 𝑘 plus deux de sin 𝑥 est moins sin 𝑥. Et la dérivée d’ordre quatre 𝑘 plus trois de sin 𝑥 est moins cos 𝑥.

Nous cherchons à déterminer la dérivée d’ordre 51. Et 51 peut s’écrire quatre fois 12 plus trois. Donc, cela signifie que la dérivée d’ordre 51 de sin 𝑥 sera la même que la dérivée d’ordre quatre 𝑘 plus trois. C’est moins cos 𝑥.

Il est utile de savoir que comme les dérivées de sin et de cos sont très liées, il est possible de déduire une formule générale pour la dérivée d’ordre 𝑛 de cos 𝑥. La dérivée d’ordre quatre 𝑘 de cos 𝑥 est cos 𝑥. La dérivée d’ordre quatre 𝑘 plus un de cos 𝑥 est moins sin 𝑥. La dérivée d’ordre quatre 𝑘 plus deux de cos 𝑥 est moins cos de 𝑥. Et la dérivée d’ordre quatre 𝑘 plus trois de cos 𝑥 est sin 𝑥.

Dans cette vidéo, nous avons vu que nous pouvons utiliser les règles classiques de dérivation pour calculer des dérivées secondes et d’ordre supérieur. Nous avons vu que le calcul se fait généralement de manière séquentielle et qu’il y a donc des cas où il est possible d’identifier des cycles pour établir des formules pour les dérivées d’ordre supérieur.

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