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Déterminez la fonction réciproque de celle définie par 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 plus six le tout au carré moins cinq, où 𝑥 est supérieur ou égal à moins six.
Nous allons examiner deux méthodes différentes pour trouver la fonction réciproque. Notre première méthode consiste à suivre ces quatre étapes. Étape un, remplacez 𝑓 de 𝑥 par 𝑦. Dans ce cas, cela nous donne que 𝑦 est égal à 𝑥 plus six le tout au carré moins cinq. Deuxième étape, remplacez chaque 𝑥 par un 𝑦 et chaque 𝑦 par un 𝑥. L’équation se lit maintenant 𝑥 est égal à 𝑦 plus six le tout au carré moins cinq.
Troisième étape, faite de 𝑦 l’inconnue de l’équation et déterminez là. Pour réaliser cette étape, nous allons devoir équilibrer l’équation. Notre première étape consiste à ajouter cinq aux deux membres de l’équation. Nous obtenons que 𝑥 plus cinq égal 𝑦 plus six le tout au carré. Prendre la racine carrée des deux membres de l’équation nous donne que racine carrée de 𝑥 plus cinq est égal à 𝑦 plus six.
Et enfin, en soustrayant six des deux membres de l’équation nous obtenons que racine carrée de 𝑥 plus cinq moins six est égal à 𝑦. La cinquième étape consiste simplement à remplacer le 𝑦 par 𝑓 moins un de 𝑥 c’est-à-dire par la fonction réciproque de 𝑓. Par conséquent, la réciproque de 𝑓, 𝑓 moins un de 𝑥, est égal à racine carrée de 𝑥 plus cinq moins six.
Une autre méthode pour trouver la fonction réciproque de 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 plus six le tout au carré moins cinq consiste à utiliser des fonctions machines. Quelles sont les trois opérations que nous appliquons à 𝑥 ? Eh bien tout d’abord, nous lui ajoutons six. Deuxièmement, nous élevons au carré le résultat. Et enfin, nous en soustrayons cinq.
Voyons maintenant ce qui se passe lorsque nous faisons les opérations réciproques. L’opposé ou la réciproque de la soustraction de cinq est l’addition de cinq. L’opération réciproque de la mise au carré d’un nombre est d’en prendre la racine carrée. Et enfin, l’opération réciproque de l’addition de six est la soustraction de six.
Si nous donnions 𝑥 à ces machines de fonctions, nous lui ajouterions cinq, nous prendrions la racine carrée du résultat, puis nous soustrairions six. Cela signifie que notre fonction réciproque, 𝑓 moins un de 𝑥, est égal à la racine carrée de 𝑥 plus cinq moins six. C’est la même réponse que celle obtenue avec la première méthode.
Afin de vérifier que notre réponse est correcte, nous pouvons essayer de remplacer par certaines valeurs. Essayons avec 𝑓 de deux. Deux plus six nous donne huit. Huit au carré est égal à 64. En soustrayant cinq de ceci, nous obtenons un résultat de 59. En remplaçant par 59 dans notre fonction réciproque 𝑓 moins un de 𝑥 égal racine carrée de 𝑥 plus cinq moins six, nous devrions obtenir un résultat de deux.
59 plus cinq est égal à 64. La racine carrée, ou racine, de 64 est égale à huit. Huit moins six est égal à deux. Comme la valeur d’entrée de 𝑓 est égale à la valeur de sortie de la fonction réciproque et vice versa, nous concluons qu’il est juste d’écrire que notre fonction 𝑓 moins un de 𝑥 est égale à la racine carrée de 𝑥 plus cinq moins six.
