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Vidéo : Composantes horizontale et verticale d’un vecteur

Anne-Claire Dupuis

Dans cette vidéo, nous introduisons les vecteurs unitaires 𝚤 et 𝚥. Tout vecteur peut être exprimé en fonction de ces vecteurs unitaires 𝚤 et 𝚥, ce qui est très utile quand il s’agit d’additionner ou soustraire des vecteurs.

13:08

Transcription de vidéo

Vous avez déjà appris qu’un vecteur est un ensemble de nombres qui est représenté dans l’espace par un segment ayant une longueur, une direction et un sens donné.

Dans cette vidéo, nous allons parler des composantes de vecteurs à deux dimensions, et introduire les vecteurs unitaires 𝚤 et 𝚥.

Tout vecteur bidimensionnel a deux composantes : la première représente le mouvement horizontal, c’est-à-dire suivant l’axe des 𝑥, et la deuxième le mouvement vertical, c’est-à-dire suivant l’axe des 𝑦. Bien sûr quand je dis mouvement, je veux dire la différence d’abscisse et d’ordonnée entre les deux extrémités du vecteur représenté graphiquement par un segment. Le vecteur en lui-même peut représenter quelque chose de complètement différent, comme une force ou une accélération.

Dans ce cas par exemple, le mouvement suivant l’axe des abscisses est cette distance. Donc nous partons d’une abscisse de trois jusqu’à une abscisse de six, ce qui nous donne une différence de plus trois. Le mouvement suivant l’axe des 𝑦 est celui-ci. Donc nous partons d’une ordonné de deux jusqu’à une ordonnée de neuf, ce qui nous donne une différence de plus sept.

Nous pouvons donc écrire maintenant les composantes du vecteur 𝐴𝐵, qui sont donc trois, sept, où le trois correspond à la composante suivant l’axe des 𝑥, et le sept à la composante suivant l’axe des 𝑦.

À noter que dans un système à trois dimensions, où un vecteur a alors des composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧, et bien nous rajoutons plus bas ici la composante 𝑧, et en fait, nous faisons de même quelle que soit la dimension du système.

Nous appelons les vecteurs unitaires 𝚤 et 𝚥 deux vecteurs particuliers, puisque le premier représente un mouvement de plus un selon l’axe des 𝑥, c’est-à-dire celui-ci, et le deuxième plus un selon l’axe des 𝑦, c’est-à-dire celui-ci. Donc, le premier est le vecteur 𝚤 de composantes un, zéro, et le deuxième le vecteur 𝚥 de composantes zéro, un.

Rappelez-vous bien que 𝚤 et 𝚥 ne peuvent être placés n’importe où sur le graphe et pas seulement à l’origine.

Voilà par exemple, ici, je les ai placés ailleurs. Il faut bien avoir en tête que chaque vecteur décrit un déplacement particulier. Donc, avec le vecteur 𝚤, on ajoute un à l’abscisse 𝑥, et on laisse l’ordonnée, 𝑦, inchangée. On fait le déplacement, donc, de là à là. Dans le cas du vecteur 𝚥, on ne touche pas à l’abscisse 𝑥, mais on ajoute un à l’ordonnée 𝑦. Cela décrit le mouvement, donc, de là à là.

Maintenant, rappelez-vous qu’on peut utiliser les règles d’addition et soustraction des vecteurs pour empiler ces vecteurs 𝚤 et 𝚥 pour créer des vecteurs plus grands.

Par exemple, donc le vecteur 𝚤, ici, représente un mouvement de un selon l’axe des abscisses, et aucun, aucun mouvement selon l’axe des ordinnées [ordonnées]. Si je lui ajoute le vecteur 𝚤, comme ceci, j’obtiens le vecteur deux 𝚤 de coordonnées deux, zéro.

Maintenant je voudrais ajouter à ce vecteur-ci ici un autre vecteur qui commence là où finit l’autre, et monte, non pas de un ni de deux, mais deux trois 𝚥. Ce deuxième vecteur est donc le vecteur trois 𝚥 de coordonnées zéro, trois. Si maintenant je veux additionner ces deux vecteurs, donc deux 𝚤 plus trois 𝚥, je pars de l’origine de deux 𝚤, et je vais en ligne droite à l’extrémité de trois 𝚥, comme ceci. On voit que les composantes de ce vecteur vert ici, deux 𝚤 plus trois 𝚥, sont deux suivant donc l’axe des 𝑥 et un, deux, trois, suivant l’axe des 𝑦. Je peux donc écrire ces composantes comme ceci : deux et trois, et on voit bien que la composante deux suivant l’axe des 𝑥 vient du deux 𝚤, et le trois 𝚥 fait que la composante suivant l’axe des 𝑦 est trois.

Résumons cela dans le cas général : donc, si on commence au point C de coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un, et on finit au point 𝐷 de coordonnées 𝑥 deux, 𝑦 deux, alors la composante du vecteur 𝐶𝐷 suivant l’axe des 𝑥 est donnée par la différence des abscisses. Donc l’abscisse de 𝐷, 𝑥 deux moins celle de 𝑥, soit 𝑥 un, et la composante suivant l’axe des 𝑦 est donnée par la différence des ordonnées, 𝑦 deux moins 𝑦 un. Et nous pouvons alors exprimer le vecteur 𝐶𝐷 en fonction des vecteurs unitaires 𝚤 et 𝚥 de cette façon : 𝐶𝐷 égale 𝑥 deux moins 𝑥 un 𝚤 plus 𝑦 deux moins 𝑦 un 𝚥.

On voit ici que ce résultat est général ; tout vecteur peut-être décomposé de façon unique en une somme des vecteurs unitaires. Donc 𝐴𝚤 plus 𝐵𝚥, où 𝐴 est la composante du vecteur suivant l’axe des 𝑥, et 𝐵 est sa composante suivant l’axe des 𝑦. Écrire un vecteur sur la forme de cette somme est donc seulement une autre notation pour un vecteur.

Regardons maintenant ensemble quelques exercices où nous devons utiliser cette nouvelle notation. Dans cette question, nous avons 𝐴𝐵 égale trois 𝚤 plus quatre 𝚥, et 𝑋𝑌 égale moins deux 𝚤 plus trois 𝚥, et nous devons trouver le vecteur obtenu en additionnant 𝐴𝐵 et 𝑋𝑌.

Donc, la première étape ici est de reprendre donc 𝐴𝐵 plus 𝑋𝑌, et de le recopier en utilisant donc leur décomposition en une somme de, des vecteurs 𝚤 et 𝚥. Et il suffit ensuite d’additionner les 𝚤 ensemble d’un côté et les 𝚥 ensemble. Donc, trois 𝚤 plus moins deux 𝚤 me donne une fois 𝚤, donc 𝚤, et quatre 𝚥 plus trois 𝚥 donne sept 𝚥. Notre résultat est donc 𝚤 plus sept 𝚥. Voilà donc, ça n’est pas plus compliqué que ça pour additionner deux vecteurs ; nous additionnons ensemble ses deux composantes suivant l’axe des 𝑥, et ça nous donne la composante du vecteur somme suivant l’axe des 𝑥, et nous faisons de même avec les composantes suivant l’axe des ordonnées, donc l’axe des 𝑦. Nous les additionnons pour avoir la composante du vecteur somme 𝐴𝐵 plus 𝑋𝑌. Mais comme pour tout calcul, attention au signe négatif.

Regardons maintenant notre exemple dans un repère orthonormé. Le vecteur 𝐴𝐵 est donc trois 𝚤 plus quatre 𝚥, donc de 𝐴 à 𝐵 on va trois 𝚤 selon l’axe des abscisses et quatre 𝚥 selon l’axe des ordonnées. J’ai pris ici l’origine du repère pour le point 𝐴, mais j’aurais pu prendre n’importe quel autre point.

Maintenant, pour additionner des vecteurs, il faut placer l’origine du deuxième vecteur à l’extrémité du premier. Donc ici, nous devons placer le point 𝑥 au même endroit que le point 𝐵. Et donc maintenant en partant de 𝑋, qui est le même point que 𝐵, je vais donc moins deux 𝚤, donc c’est-à-dire deux vers la gauche, et trois 𝚥, donc trois vers le haut. J’arrive au point ici qui est donc le point 𝑌. Pour additionner des vecteurs, il s’agit donc simplement de les placer bout-à-bout. Donc, on a placé d’abord 𝐴𝐵, avec donc 𝐴, nous avons choisi de le mettre à l’origine. Et ensuite, nous avons placé 𝑋𝑌 de façon que 𝑋 coïncide avec 𝐵. Et donc maintenant le vecteur 𝐴𝐵 plus 𝑋𝑌 va être donné avec son origine à 𝐴 et son extrémité à 𝑌. Le vecteur somme est donc le vecteur vert ici, et pour aller de son origine à son extrémité, on a dû aller donc bien de plus un suivant l’axe des 𝑥, et de plus sept suivant l’axe des 𝑦.

Notez bien que lorsque vous faites ce type d’exercices, il s’agit simplement d’ajouter les composantes selon l’axe des abscisses ensemble, et ajouter les composantes selon l’axe des ordonnées ensemble. Nous- vous n’avez pas besoin de tout vérifier sur le graphique, mais j’espère visualiser vous aide à comprendre ce qui se passe, et pourquoi ça marche d’additionner les composantes des deux vecteurs pour trouver les composantes du vecteur somme.

Ok, regardons maintenant cet exercice. Nous avons 𝐴𝐵, vecteur 𝐴𝐵 égale trois 𝚤 moins quatre 𝚥, vecteur 𝑋𝑌 égale moins quatre 𝚤 plus sept 𝚥, et nous devons trouver 𝐴𝐵 moins 𝑋𝑌. Donc ici nous allons écrire 𝐴𝐵 moins 𝑋𝑌 en utilisant les décompositions de 𝐴𝐵 et 𝑋𝑌, en fonction des vecteurs unitaires 𝚤 et 𝚥. Et donc ça nous donne 𝐴𝐵 moins 𝑋𝑌 égale trois 𝚤 moins quatre 𝚥 moins, ouvrez la parenthèse, moins quatre 𝚤 plus sept 𝚥, fermez la parenthèse. Donc nous avons 𝐴𝐵 et nous enlevons 𝑋𝑌. Et donc ici, nous allons être bien vigilants car nous avons un signe moins devant une parenthèse ici.

Donc commençons par les composantes suivant l’axe des abscisses. Donc ici j’ai trois 𝚤 et moins quatre 𝚤, donc nous allons avoir trois 𝚤 moins moins quatre 𝚤, soit trois 𝚤 plus quatre 𝚤, égale sept 𝚤. Et pour la composante suivant l’axe des 𝑦, donc j’ai moins quatre 𝚥 moins plus sept 𝚥, ce qui me donne moins quatre moins sept, soit moins 11 𝚥. La réponse est donc 𝐴𝐵 moins 𝑋𝑌 égale sept 𝚤 moins 11 𝚥.

Donc, pour résumer, 𝚤 est le vecteur unitaire selon la direction positive de l’axe des 𝑥, et donc ses composantes son un, zéro. Et 𝚥 est le vecteur unitaire selon la direction positive de l’axe des 𝑦, et ses composantes sont donc zéro, un. Et tout vecteur 𝐴𝐵, comme par exemple ici, 𝐴𝐵 cinq, trois, avec le cinq est sa composante suivant 𝑥 et, son trois ici, sa composante suivant 𝑦, peut-être décomposé en fonction des vecteurs unitaires 𝚤 et 𝚥, où nous aurons sa composante suivant l’axe des 𝑥 fois le vecteur 𝚤, plus la composante suivant l’axe 𝑦, donc ici trois, fois le vecteur unitaire 𝚥.

Étant donnés maintenant deux vecteurs 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 décomposés en fonction de 𝚤 et 𝚥 comme ceci, les composantes du vecteur somme 𝐴𝐵 plus 𝐶𝐷 sont obtenus en additionnant tous les 𝚤 d’une part et tous les 𝚥 d’autre part, quand on utilise donc ces décompositions en fonction de 𝚤 et 𝚥. Ainsi, donc pour additionner 𝐴𝐵 plus 𝐶𝐷 nous allons additionner le deux du deux 𝚤 et le moins deux de moins deux 𝚤 ensemble, et ça va nous donner la composante suivant l’axe des 𝑥 du vecteur somme. Donc deux plus moins deux égal zéro. Et nous faisons de même pour les composantes suivant l’axe des 𝑦 en additionnant les 𝚥 ensemble ; donc ici, moins trois plus quatre 𝚥. On a donc zéro 𝚤, donc comme il n’y en a pas ça n’est pas la peine de l’écrire. Et donc, moins trois plus quatre égale un 𝚥, sois 𝚥. Donc 𝐴𝐵 plus 𝐶𝐷 égale le vecteur 𝚥.

Maintenant, si on veut soustraire les vecteurs donc 𝐴𝐵 moins 𝐶𝐷, je vais soustraire leur composante suivant l’axe des 𝑥. Donc, deux moins moins deux 𝚤, et pour les 𝚥, c’est-à-dire la composante suivant l’axe des 𝑦, on a moins trois moins quatre 𝚥. Donc, deux moins moins deux ça nous fait deux plus deux, soit quatre 𝚤, et pour les 𝚥, j’ai moins trois moins quatre, ce qui donne moins sept 𝚥. Et donc en général on n’écrit pas plus moins sept 𝚥, mais directement moins sept 𝚥.

Et voilà, donc maintenant j’espère que vous allez vous sentir à l’aise pour écrire tout vecteur en fonction des vecteurs unitaires 𝚤 et 𝚥, sachant que c’est tout simplement une autre façon d’écrire leur composante suivant les axe des 𝑥 et 𝑦.