Vidéo question :: Déterminer la Valeur d’une inconnue dans les coordonnées d’un vecteur dans l’espace | Nagwa Vidéo question :: Déterminer la Valeur d’une inconnue dans les coordonnées d’un vecteur dans l’espace | Nagwa

Vidéo question :: Déterminer la Valeur d’une inconnue dans les coordonnées d’un vecteur dans l’espace Mathématiques • Troisième secondaire

Sachant que les vecteurs de coordonnées ⟨6, 𝑘, 1⟩ et ⟨12, −6, 2⟩ sont colinéaires, déterminez la valeur de 𝑘.

03:06

Transcription de la vidéo

Sachant que les vecteurs de coordonnées six, 𝑘, un et 12, moins six, deux sont colinéaires, déterminez la valeur de 𝑘.

Il existe différentes façons de résoudre ce problème. Sachant que nos deux vecteurs donnés sont colinéaires, cela signifie d’une part que le rapport de leurs valeurs 𝑥 est égal au rapport de leurs valeurs 𝑦 qui est égal au rapport de leurs valeurs 𝑧. Cela signifie que ces deux équations sont vraies et nous pourrions les utiliser pour résoudre 𝑘. D’autre part, nous pourrions trouver 𝑘 en reconnaissant que puisque ces vecteurs sont colinéaires, cela signifie également que leur produit vectoriel est nul.

En général, si nous avons deux vecteurs tridimensionnels, nous les appellerons 𝐮 et 𝐯, alors le produit vectoriel de 𝐮 et 𝐯 est donné par le déterminant de cette matrice. Pour nos vecteurs donnés, cette matrice ressemblerait à ceci. Comme nous l’avons mentionné, puisque les vecteurs sont colinéaires, le déterminant de cette matrice doit être zéro. Pour montrer que ces méthodes concordent, trouvons 𝑘 avec les deux méthodes. Dans notre première méthode, il existe en fait deux façons différentes de trouver 𝑘 en utilisant l’une ou l’autre de ces équations.

Disons que nous choisissons en rose celle qui dit que 𝑘 sur moins six égale un sur deux. Si nous procédons à un produit en croix, en multipliant les deux côtés par deux et moins six, nous constatons que deux 𝑘 égale moins six ou, en d’autres termes, que 𝑘 est égale à moins trois. En passant à notre deuxième méthode, le produit vectoriel de nos deux vecteurs doit être nul et, par conséquent, le déterminant de cette matrice est zéro, nous pouvons reconnaître que puisque la première ligne de cette matrice contient les vecteurs unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤, le déterminant global sera lui-même un vecteur avec des composantes en ces vecteurs.

De plus, puisque le déterminant global est égal à zéro - nous savons que cela est vrai parce que nos vecteurs sont parallèles - cela signifie que les composantes de chaque élément doivent également être nulles. Si l’un des 𝑅 𝑥, 𝑅 𝑦 ou 𝑅 𝑧 n’était pas nul, alors la norme du vecteur dans son ensemble ne serait pas nulle. Pour trouver 𝑘 alors, en utilisant cette méthode, nous n’avons qu’à calculer une de ces trois composantes. Cette composante doit juste contenir 𝑘.

En suivant ce raisonnement, nous voyons que la composante en 𝐢 de notre vecteur résultant contient 𝑘. La valeur de cette composante 𝐢 est donnée par le déterminant de cette matrice deux deux. Nous pouvons dire que 𝑅 indice 𝑥 est égal à 𝑘 fois deux moins un fois moins six ou, en d’autres termes, deux 𝑘 plus six. En rappelant maintenant que cette composante de notre vecteur est égale à zéro, nous pouvons noter que deux 𝑘 plus six égale zéro implique que deux 𝑘 est égal à moins six ou que 𝑘 est égal à moins trois. Nous voyons alors que ces deux méthodes permettent de conclure que la valeur de 𝑘 est moins trois.

Rejoindre Nagwa Classes

Assistez à des séances en direct sur Nagwa Classes pour stimuler votre apprentissage avec l’aide et les conseils d’un enseignant expert !

  • Séances interactives
  • Chat et messagerie électronique
  • Questions d’examen réalistes

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site web. Apprenez-en plus à propos de notre Politique de confidentialité