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Vidéo question :: Utilisation de droites parallèles et de parties proportionnelles pour déterminer les longueurs de segments dans un triangle Mathématiques • Première secondaire

Sachant que 𝐴𝐷 = 𝑥 cm, 𝐷𝐵 = 30 cm, 𝐵𝐸 = (𝑥 + 7) cm et 𝐸𝐶 = 18 cm, déterminez la valeur de 𝑥.

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Sachant que 𝐴𝐷 est égal à 𝑥 centimètres, 𝐷𝐵 est égal à 30 centimètres, 𝐵𝐸 est égal à 𝑥 plus sept centimètres et 𝐸𝐶 est égal à 18 centimètres, déterminez la valeur de 𝑥.

Sur notre figure, le plus grand triangle 𝐴𝐵𝐶 est coupé par la sécante 𝐷𝐸. Et on nous dit que ce segment 𝐷𝐸 est parallèle au segment 𝐴𝐶. Et cela devrait nous rappeler le théorème de Thalès, qui nous dit que si la droite est parallèle à un côté d’un triangle et que la droite coupe les deux autres côtés, alors la droite divise ces côtés proportionnellement. On peut donc dire que le segment 𝐴𝐷 est proportionnel au segment 𝐸𝐶 et que le segment 𝐵𝐷 est proportionnel au segment 𝐵𝐸.

Nous pouvons écrire cette proportionnalité sous la forme d’une fraction 𝐴𝐷 sur 𝐸𝐶 égale 𝐷𝐵 sur 𝐵𝐸. Puis nous pouvons ajouter sur notre figure les informations qui nous ont été données. 𝐴𝐷 égale 𝑥 centimètres, 𝐷𝐵 égale 30 centimètres, 𝐵𝐸 égale 𝑥 plus sept centimètres, 𝐸𝐶 égale 18 centimètres. Puis nous pouvons insérer ces valeurs dans l’expression de proportionnalité que nous avons établie. 𝑥 sur 18 est alors égal à 30 sur 𝑥 plus sept. De là, nous effectuons un produit en croix pour voir si nous pouvons résoudre pour déterminer 𝑥. 𝑥 fois 𝑥 plus sept égale 𝑥 au carré plus sept 𝑥. Et 18 fois 30 est égal à 540. Puisque nous nous retrouvons avec une équation du second degré, nous voulons la rendre égale à zéro et voir si nous pouvons résoudre en factorisant. Nous soustrayons donc 540 des deux membres de l’équation. Et nous obtenons 𝑥 au carré plus sept 𝑥 moins 540 est égal à zéro.

Nous voulons essayer de les décomposer en deux termes qui se multiplient pour donner moins 540 et s’additionnent pour donner sept. Considérons d’abord quelques facteurs de 540. Presque immédiatement, nous reconnaissons que 540 est divisible par 10. 54 fois 10 est 540. Cependant, nous avons besoin que ces deux facteurs aient une somme de sept, ce qui signifie que nous recherchons des facteurs qui ont une valeur absolue et qui sont plus proches l’un de l’autre. Donc, parce que je sais que 54 est pair, je sais que 20 sera un facteur de 540. Si nous divisons 540 par 20, nous obtenons 27. 20 fois 27 est égal à 540, ce qui signifie moins 20 fois 27 est égal à moins 540. Et lorsque nous additionnons moins 20 et 27, nous obtenons un résultat de plus sept.

Ce sont les facteurs que nous recherchons. Nous voulons moins 20 et plus 27. Nos deux facteurs sont alors 𝑥 moins 20 et 𝑥 plus 27. Nous mettons ces deux termes égaux à zéro. Et nous trouvons que 𝑥 est égal à 20 ou 𝑥 est égal à moins 27. Cependant, 𝑥 ne peut pas être moins 27 dans ce cas car nous avons affaire à une distance. Puisque le moins 27 n’est pas une solution valable, la seule valeur possible de 𝑥 est 20. Cela vaut probablement la peine de vérifier nos proportions ici. Puisque 𝑥 est égal à 20, 𝐴𝐷 est égal à 20. Nous aurions 20 sur 18 est égal à 30 sur 27. 20 sur 18 se réduit à 10 sur neuf. Et si nous divisons 30 par trois, nous obtenons 10. 27 divisé par trois égale neuf. Ces deux proportions se réduisent à 10 sur neuf et confirment que notre solution de 𝑥 égale 20 rend les longueurs proportionnelles.

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