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Vidéo de question : Résoudre un système de trois équations en utilisant des déterminants Mathématiques

Utilisez des déterminants pour résoudre le système 𝑥 - 5𝑦 + 3𝑧 = 5, 3𝑥 - 4𝑦 + 2𝑧 = −5, −𝑥 + 3𝑦 - 2𝑧 = −5.

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Transcription de vidéo

Utilisez des déterminants pour résoudre le système 𝑥 moins cinq 𝑦 plus trois 𝑧 égal cinq, trois 𝑥 moins quatre 𝑦 plus deux 𝑧 égal moins cinq et moins 𝑥 plus trois 𝑦 moins deux 𝑧 égal moins cinq.

Dans cette question, on nous donne un système de trois équations à trois inconnues. Et on nous demande de résoudre ce système en utilisant des déterminants. Et nous pouvons nous rappeler que pour utiliser des déterminants afin de résoudre un système d’équations, nous devons utiliser la règle de Cramer. Commençons donc par rappeler la version abrégée de la règle de Cramer pour un système de trois équations à trois inconnues. Cela nous indique que si le déterminant de la matrice de coefficients △ est non nul, alors 𝑥 égal △ indice 𝑥 sur △, 𝑦 égal △ indice 𝑦 sur △ et 𝑧 égal △ indice 𝑧 sur △ est l’unique solution du système d’équations. Nous pouvons donc utiliser la règle de Cramer afin de résoudre un système d’équations en utilisant des déterminants. Nous avons juste besoin de trouver △, △ indice 𝑥, △ indice 𝑦 et △ indice 𝑧. Et nous avons besoin que notre valeur de △ soit non nulle.

Commençons donc par trouver △. Rappelez-vous que △ est le déterminant de la matrice des coefficients. Et c’est la matrice trois-trois que nous obtenons en prenant comme éléments les coefficients de nos variables. Et il est très important lorsque vous écrivez △ de vous assurer de garder les signes de tous les coefficients. Nous obtenons que △ est égal au déterminant de la matrice trois-trois : un, moins cinq, trois, trois, moins quatre, deux, moins un, trois, moins deux.

Nous pouvons maintenant calculer ce déterminant en développant la première ligne. On obtient un fois le déterminant de la matrice deux-deux : moins quatre, deux, trois, moins deux moins moins cinq multiplié par le déterminant de la matrice deux-deux : trois, deux, moins un, moins deux plus trois fois le déterminant de la matrice deux-deux : trois, moins quatre, moins un, trois. Maintenant, tout ce que nous devons faire, c’est calculer le déterminant de ces trois matrices deux-deux. Et nous le faisons en prenant la différence des produits des diagonales. Cela nous donne alors huit moins six plus cinq facteur de moins six moins moins deux plus trois facteur de neuf moins quatre.

Et maintenant, nous avons juste besoin de calculer cette expression. Nous obtenons deux moins 20 plus 15, c’est-à-dire moins trois. Par conséquent, nous avons montré que la valeur de △ est moins trois. En particulier, nous avons montré que △ est différent de zéro. Donc, ce système d’équations a une unique solution et nous pouvons la trouver en utilisant la règle de Cramer. Faisons un peu d’espace et notons que △ égal moins trois puis déterminons les valeurs de △ indice 𝑥, △ indice 𝑦 et △ indice 𝑧.

Pour ce faire, nous devons d’abord rappeler ce que nous entendons par △ indice 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Commençons par △ indice 𝑥. △ indice 𝑥 est le déterminant de la matrice des coefficients où nous remplaçons la colonne des coefficients de 𝑥 par la colonne donnée par les réponses à notre système d’équations. Et en particulier, cela signifie que nous pouvons trouver une expression pour △ indice 𝑥 en remplaçant la première colonne de notre expression de △ par la colonne donnée par les réponses à notre système d’équations. Nous allons donc remplacer la première colonne par cinq, moins cinq, moins cinq. Et puis nous gardons les deux autres colonnes inchangées. △ indice 𝑥 est le déterminant de la matrice trois-trois : cinq, moins cinq, trois, moins cinq, moins quatre, deux, moins cinq, trois, moins deux.

Maintenant, nous pouvons calculer ce déterminant en développant la première ligne. Nous obtenons cinq fois le déterminant de la matrice deux-deux : moins quatre, deux, trois, moins deux moins moins cinq multiplié par le déterminant de la matrice deux-deux : moins cinq, deux, moins cinq, moins deux plus trois fois le déterminant de la matrice deux-deux : moins cinq, moins quatre, moins cinq, trois. Et maintenant, nous pouvons calculer le déterminant de ces trois matrices en utilisant la différence des produits des diagonales. Nous obtenons cinq facteur de huit moins six plus cinq facteur de 10 plus 10 plus trois facteur de moins 15 moins 20. Nous pouvons maintenant simplement calculer cette expression. Nous obtenons cinq fois deux plus cinq fois 20 plus trois multiplié par moins 35, ce qui se simplifie pour nous donner 10 plus 100 moins 105, c’est-à-dire cinq.

Donc △ indice 𝑥 égal cinq. Et cela signifie que nous pouvons déterminer la valeur de 𝑥. C’est △ indice 𝑥 sur △, qui est cinq divisé par moins trois. Cependant, nous devons également trouver les valeurs de △ indice 𝑦 et de △ indice 𝑧. Faisons de l’espace et déterminons la valeur de △ indice 𝑦. Et pour ce faire, nous devons rappeler que △ indice 𝑦 est le déterminant de la matrice des coefficients où nous remplaçons la colonne des coefficients de 𝑦 par les valeurs des réponses à notre système d’équations. Donc, pour écrire une expression pour △ indice 𝑦, nous allons commencer par la deuxième colonne. C’est la colonne cinq, moins cinq, moins cinq, qui sont les constantes dans notre système d’équations. Nos première et troisième colonnes restent inchangées. Ce ne sont que les coefficients de 𝑥 et de 𝑧. Donc △ indice 𝑦 est le déterminant de la matrice trois-trois : un, cinq, trois, trois, moins cinq, deux, moins un, moins cinq, moins deux.

Et encore une fois, nous pouvons calculer ce déterminant en développant la première ligne. Nous obtenons une fois le déterminant de la matrice deux-deux : moins cinq, deux, moins cinq, moins deux moins cinq fois le déterminant de la matrice deux-deux : trois, deux, moins un, moins deux plus trois multiplié par le déterminant de la matrice deux-deux : trois, moins cinq, moins un, moins cinq. Il ne reste plus qu’à calculer cette expression. Pour calculer le déterminant de ces matrices, nous prenons la différence des produits des diagonales. Cela nous donne un facteur de 10 plus 10 moins cinq facteur de moins six plus deux plus trois facteur de moins 15 moins cinq. Et nous pouvons alors calculer cette expression. Elle est égale à moins 20.

Gardons en tête que △ indice 𝑦 égal moins 20 et appliquons cette méthode une fois de plus pour déterminer la valeur de △ indice 𝑧. Et commençons par le fait que les deux premières colonnes de notre expression pour △ indice 𝑧 resteront inchangées. Ce seront les coefficients respectifs de 𝑥 et de 𝑦 dans les systèmes d’équations. Ensuite, la troisième colonne de △ indice 𝑧 devrait contenir les constantes de notre système d’équations. C’est-à-dire cinq, moins cinq, moins cinq. Donc △ indice 𝑧 est le déterminant de la matrice trois-trois : un, moins cinq, cinq, trois, moins quatre, moins cinq, moins un, trois, moins cinq. Et encore une fois, nous pouvons calculer ce déterminant en développant la première ligne. Nous obtenons une fois le déterminant de la matrice deux-deux : moins quatre, moins cinq, trois, moins cinq moins moins cinq fois le déterminant de la matrice deux-deux : trois, moins cinq, moins un, moins cinq plus cinq fois le déterminant de la matrice deux-deux : trois, moins quatre, moins un, trois.

Et maintenant, nous avons juste besoin de calculer cette expression. Nous obtenons 20 plus 15 plus cinq facteur de moins 15 moins cinq plus cinq facteur de neuf moins quatre. Et nous pouvons calculer cette expression. Elle est égale à moins 40. Et maintenant que nous avons trouvé les valeurs de △ indice 𝑥, △ indice 𝑦, △ indice 𝑧 et △, nous pouvons les substituer dans nos égalités pour déterminer la solution du système. En faisant ceci et en simplifiant, cela nous donne la réponse finale. La solution au système est 𝑥 égal moins cinq sur trois, 𝑦 égal 20 sur trois et 𝑧 égal 40 sur trois.

Et il convient de noter que nous pouvons vérifier notre réponse en substituant ces valeurs de 𝑥, 𝑦 et 𝑧 dans le système d’équations afin de vérifier qu’elles sont bien des solutions. Par conséquent, nous avons pu utiliser des déterminants pour résoudre le système d’équations donné. Nous avons obtenu 𝑥 égal moins cinq sur trois, 𝑦 égal 20 sur trois et 𝑧 égal 40 sur trois.

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