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Vidéo question :: Exprimer la somme de trois intégrales bornées sur des intervalles adjacents comme une seule intégrale Mathématiques • Troisième secondaire

La fonction 𝑓 est continue sur ℝ. Écrivez ∫ _ (- 2) ^ (3) 𝑓 (𝑥) d𝑥 + ∫_ (3) ^ (4) 𝑓 (𝑥) d𝑥 - ∫ _ (- 2) ^ (0) 𝑓 (𝑥) d𝑥 sous la forme ∫_ (𝑎) ^ (𝑏) 𝑓 (𝑥) d𝑥.

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Transcription de la vidéo

La fonction 𝑓 est continue sur l’ensemble des nombres réels. Écrivez l’intégrale de moins deux à trois de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 plus l’intégrale de trois à quatre de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 moins l’intégrale de moins deux à zéro de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 sous la forme de l’intégrale de 𝑎 à 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥.

Nous savons que si 𝐹 majuscule de 𝑥 est la primitive de 𝑓 de 𝑥, alors l’intégrale d’une borne inférieure 𝑙 à une borne supérieure 𝑢 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 revient à évaluer notre primitive en 𝑢 et de soustraire cela à la primitive évaluée à 𝑙. Si la fonction 𝑓 est continue sur son ensemble de définition, l’intégrale de 𝑙 à 𝑢 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝐹 majuscule de 𝑢 moins 𝐹 majuscule de 𝑙. Nous pouvons utiliser cette règle pour réécrire les trois intégrales données dans la question.

Premièrement, l’intégrale de moins deux à trois de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝐹 majuscule de trois moins 𝐹 majuscule de moins deux. Nous pouvons faire la même chose avec l’intégrale de trois à quatre de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Cela équivaut à 𝐹 majuscule de quatre moins 𝐹 majuscule de trois. Enfin, nous pouvons écrire la dernière intégrale de moins deux à zéro de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 comme majuscule 𝐹 de zéro moins majuscule 𝐹 de moins deux.

Notez que nous devons soustraire ceci. Cela signifie que notre expression est égale à 𝐹 majuscule de trois moins 𝐹 majuscule de moins deux plus 𝐹 majuscule de quatre moins 𝐹 majuscule de trois moins 𝐹 majuscule de zéro plus 𝐹 majuscule de moins deux. Nous pouvons ensuite simplifier l’expression en supprimant des termes. Finalement, nous obtenons 𝐹 majuscule de quatre moins 𝐹 majuscule de zéro. Cela signifie que l’expression qui nous est donnée dans la question est égale à évaluer la primitive 𝐹 majuscule de quatre et à soustraire la primitive 𝐹 majuscule évaluée en zéro.

Enfin, puisque la fonction 𝑓 est continue pour toutes les valeurs réelles et que 𝐹 majuscule est la primitive de 𝑓, nous pouvons utiliser la même règle pour réécrire cette expression comme l’intégrale de zéro à quatre de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Les valeurs de 𝑎 et 𝑏 sont donc égales à zéro et à quatre, respectivement.

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