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Vidéo de question : Étudier le mouvement de deux corps suspendus librement reliés par une corde autour d’une poulie Mathématiques

Deux corps de masses 5𝑚 et 2𝑚 kilogrammes sont reliées l’un à l’autre par une corde légère inextensible passant sur une poulie lisse. Sachant que le système est libéré du repos, et que l’intensité de la force exercée sur la poulie pendant le mouvement est de 238 N, déterminez la valeur de 𝑚. Prenez 𝑔 = 9,8 m/s².

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Transcription de vidéo

Deux corps de masses cinq 𝑚 et deux 𝑚 kilogrammes sont reliées l’un à l’autre par une corde légère inextensible passant sur une poulie lisse. Sachant que le système est libéré du repos et que l’intensité de la force exercée sur la poulie pendant le mouvement est de 238 newtons, déterminez la valeur de 𝑚. Prenez 𝑔 égal à 9,8 mètres par seconde au carré.

Commençons par examiner trois mots clés et ce qu’ils nous indiquent pour ce problème. Comme la corde est légère, nous pouvons négliger le poids de la corde. Comme la corde est inextensible, les accélérations sont égales. Cela signifie que les deux corps du système se déplacent avec la même accélération. Nous savons également que la poulie est lisse, il n’y aura donc pas de frottement. Nous pouvons maintenant tracer un schéma avec toutes les forces impliquées dans ce problème.

Les deux corps ont des masses cinq 𝑚 et deux 𝑚. Cela signifie qu’ils auront des forces vers le bas de cinq 𝑚𝑔 et deux 𝑚𝑔, respectivement, où 𝑔 est l’accélération due à la gravité soit 9,8 mètres par seconde au carré. Dans la corde, il y a des forces de tension verticale vers le haut. Une fois le système libéré du repos, le corps de masse cinq 𝑚 va accélérer verticalement vers le bas. Le corps à deux 𝑚 va accélérer verticalement vers le haut avec la même accélération.

Nous allons utiliser la deuxième loi de Newton 𝐹 est égal à 𝑚𝑎 ou la force est égale à la masse fois l’accélération pour établir un système à deux équations. Comme le corps du côté gauche se déplace vers le bas, la force cinq 𝑚𝑔 est positive et la force de tension 𝑇 est négative. Cinq 𝑚𝑔 moins 𝑇 est égal à cinq 𝑚 multiplié par 𝑎. Nous appellerons cette équation un. Comme le corps du côté droit se déplace vers le haut, la force de tension est positive et la force deux 𝑚𝑔 est négative. 𝑇 moins deux 𝑚𝑔 est égal à deux 𝑚 multiplié par 𝑎. Nous appellerons cette équation deux.

On nous dit également dans la question que la force totale exercée sur la poulie est de 238 newtons. Cela signifie que la somme des deux tensions doit donner 238. Comme les tensions sont égales, deux 𝑇 est égal à 238. Nous pouvons diviser les deux membres de cette équation par deux. 238 divisé par deux est égal à 119. Par conséquent, la tension de chaque côté de la poulie est de 119 newtons. Nous pouvons alors substituer cette valeur dans les équations un et deux. Nous pouvons calculer l’accélération du système en additionnant les équations un et deux.

Sur le membre gauche, cinq 𝑚𝑔 moins deux 𝑚𝑔 est égal à trois 𝑚𝑔. Moins 119 plus 119 est égal à zéro. Sur le membre droit, cinq 𝑚𝑎 plus deux 𝑚𝑎 est égal à sept 𝑚𝑎. Nous pouvons éliminer un 𝑚 des deux membres de l’équation. Cela nous donne trois 𝑔 est égal à sept 𝑎. Diviser les deux membres par sept nous donne une valeur de 𝑎 de trois 𝑔 divisé par sept. On nous dit de prendre 𝑔 égal à 9,8. Trois multiplié par 9,8 divisé par sept est égal à 4,2. Par conséquent, l’accélération du système est de 4,2 mètres par seconde au carré.

Nous pouvons ensuite remplacer 𝑎 par cette valeur dans l’équation un ou l’équation deux pour calculer 𝑚. Dans ce cas, nous substituons 𝑎 égale 4,2 dans l’équation deux. Deux multiplié par 9,8 est égal à 19,6 et deux multiplié par 4,2 est égal à 8,4. L’équation devient 119 moins 19,6𝑚 est égale à 8,4𝑚. Ajouter 19,6𝑚 aux deux membres de l’équation nous donne 119 égale 28𝑚. Nous pouvons ensuite diviser les deux membres par 28. 119 divisé par 28 est égal à 4,25.

La valeur de 𝑚 est donc de 4,25 kilogrammes. Nous pourrions utiliser cette valeur pour calculer les deux masses. Cinq multiplié par 4,25 est égal à 21,25 et deux multiplié par 4,25 est égal à 8,5. Les deux masses sont 21,25 kilogrammes et 8,5 kilogrammes.

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