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Le périmètre d’un triangle est égal à 31.5 cm et les longueurs des côtés d’un autre triangle semblable sont de neuf centimètres, deux centimètres et 10 centimètres. Déterminez la longueur du côté le plus long du premier triangle arrondie au centième près.
Nous avons donc différentes informations sur ces deux triangles. Nous connaissons le périmètre de l’un, alors que dans le second, nous connaissons les longueurs de ses côtés. On nous a également dit que les deux triangles sont semblables, ce qui est une information très importante. Notre objectif est de trouver la longueur du côté le plus long du premier triangle.
Pour répondre à cette question, nous devons rappeler le théorème des périmètres proportionnels. Il nous dit que si deux polygones sont semblables, les périmètres sont proportionnels au facteur d’échelle entre eux. Nous connaissons le périmètre du premier triangle, que nous appellerons 𝑃 un. Il fait 31,5 centimètres. Nous pouvons trouver le périmètre du deuxième triangle en additionnant ses trois côtés. Il fait 21 centimètres.
Ainsi, si nous regardons le rapport de ces deux périmètres, nous pouvons alors calculer le facteur d’échelle entre les deux triangles. Cela nous permettra ensuite de calculer la longueur des côtés correspondants entre les deux triangles. Ainsi, le rapport entre les deux périmètres, 𝑃 un divisé par 𝑃 deux, est de 31,5 divisé par 21. Soit trois sur deux.
Cela signifie que, non seulement le périmètre du grand triangle est une fois et demie plus grand que le périmètre du petit triangle, mais que cela s’applique également aux côtés des triangles. Ainsi, le côté le plus long du plus grand triangle est une fois et demie plus long que le côté le plus long du petit triangle.
Pour calculer la longueur du côté le plus long du premier triangle, que nous noterons 𝑥 centimètres, nous devons donc multiplier le côté le plus long du triangle le plus petit, qui est 10, par trois sur deux. Nous avons donc que 𝑥 est égal à 10 multiplié par trois sur deux, soit 15. La question demandait en fait cette valeur arrondie au centième près et nous avons obtenu une valeur entière. Il suffit donc d’ajouter deux zéros après la virgule.
Nous avons donc notre réponse au problème. Le côté le plus long du premier triangle, au centième près mesure 15,00 centimètres. Une verification judicieuse, que vous pouvez effectuer vous-même, consiste à calculer les longueurs des autres côtés en multipliant les côtés de neuf centimètres et de deux centimètres par ce facteur d’échelle. Vous pouvez alors vérifier que le périmètre vaut bel et bien 31,5 centimètres.
