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Vidéo question :: Les 8e racines de l’unité sous forme cartésienne Mathématiques • Troisième secondaire

Lequel des nombres suivants est l’une des racines huitième de l’unité sous forme cartésienne ? [A] ((√2) / 2) - ((√2) / 2 𝑖) [B] √2 - √2𝑖 [C] ((√3) / 2) - (1/2 𝑖) [D] 2√2 + 2√2𝑖 [E] (-1/2) - ((√3) / 2 𝑖)

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Transcription de la vidéo

Lequel des nombres suivants est l’une des racines huitième de l’unité sous forme cartésienne ? Est-ce a) racine deux sur deux moins racine deux sur deux 𝑖 ? Est-ce b) Racine deux moins racine deux 𝑖 ? Est-ce c) Racine trois sur deux moins un demi 𝑖 ? Est-ce d) Deux racine deux plus deux racine deux 𝑖 ? Est-ce e) Moins un demi moins racine trois sur deux 𝑖 ?

Nous commençons par rappeler ce que nous entendons par les racines huitièmes de l’unité. Bien, les racines 𝑛-ièmes de l’unité sont les solutions à l’équation 𝑥 à la puissance 𝑛 égale un. Cette équation a des racines 𝑛-ièmes. Sous forme trigonométrique, ces racines ou ces solutions sont données par 𝑥 est égal à cosinus de deux 𝑘𝜋 sur 𝑛 plus 𝑖 sinus de deux 𝑘𝜋 sur 𝑛 pour des valeurs de 𝑘 comprises entre zéro et 𝑛 moins un.

Maintenant, bien sûr, dans cette question, nous voulons trouver les racines huitièmes de l’unité. Nous allons donc poser 𝑛 égal à huit. Nous pouvons alors dire que 𝑥 doit être égal à cosinus de deux 𝑘𝜋 sur huit plus 𝑖 sinus de deux 𝑘𝜋 sur huit pour des valeurs de 𝑘 de zéro à 𝑛 moins un. Cela donne sept, bien sûr. Simplifions les deux huitièmes pour qu’ils soient égaux à un quart. Nous voyons que nos solutions données par 𝑥 sont égales à cosinus de 𝑘𝜋 sur quatre plus 𝑖 sinus de 𝑘𝜋 sur quatre.

Nous allons maintenant élaborer une liste de chaque racine en posant 𝑘 égal à zéro, un, deux, trois, etc. jusqu’ à sept. La première racine est le résultat de poser 𝑘 égal à zéro. Nous obtenons donc 𝑥 est égal à cosinus de zéro 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sinus de zéro 𝜋 sur quatre. Zéro 𝜋 sur quatre donne bien sûr zéro. Le cosinus de zéro est égal à un. Le sinus de zéro est égal à zéro. Nous trouvons donc que 𝑥 est égal à un plus zéro 𝑖. Ainsi, la première solution de l’équation 𝑥 à la puissance huit est égale à un est un, ce qui fait sens.

Notre racine suivante, la deuxième racine, se trouve en posant 𝑘 égal à un. Cette fois, 𝑥 est égal à cosinus de un 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sinus de un 𝜋 sur quatre. Bien sûr, nous n’avons pas besoin de ces deux un là. Le cosinus de 𝜋 fois quatre est la racine deux sur deux. Le sinus de 𝜋 fois quatre est aussi la racine de deux sur deux. Nous trouvons donc que notre deuxième solution est 𝑥 est égal à la racine carrée de la racine deux sur deux, plus la racine carrée de deux sur deux 𝑖.

Répétons cette démarche pour la troisième racine, cette fois en posant 𝑘 égal à deux. Notre solution est 𝑥 est égal à cosinus de deux 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sinus de deux 𝜋 sur quatre. Bien sûr, deux 𝜋 fois quatre est équivalent à 𝜋 sur deux. Le cosinus de 𝜋 fois deux est nul alors que le sinus de 𝜋 par deux vaut un. Ainsi, 𝑥 est égal à zéro plus un 𝑖, ce qui est simplement égal à 𝑖. La quatrième racine est trouvée en posant 𝑘 égal à trois. Nous obtenons alors 𝑥 est égal à cosinus de trois 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sinus de trois 𝜋 sur quatre, ce qui est égal à moins racine deux sur deux plus la racine deux sur deux 𝑖.

Nos quatre dernières solutions sont trouvées en posant 𝑘 égal à quatre, cinq, six et sept. Lorsque 𝑘 est égal à quatre, nous obtenons 𝑥 est égal à moins un. Lorsque 𝑘 est égal à cinq, nous obtenons 𝑥 est égal à moins la racine deux sur deux moins la racine deux sur deux 𝑖. Lorsque 𝑘 est égal à six, nous obtenons 𝑥 est égal à moins 𝑖. Notre huitième racine et la huitième solution de l’équation 𝑥 à la puissance huit égale un est trouvée en posant 𝑘 égal à sept. Nous obtenons 𝑥 est égal à la racine carrée de deux sur deux moins la racine carrée de deux sur deux 𝑖.

Nous revenons à notre liste d’options. Nous voyons que la seule qui apparaît dans les racines que nous avons créées est l’option a. Soit la racine carrée de deux sur deux moins la racine carrée de deux sur deux 𝑖.

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