Lesson Video: Division des nombres complexes Mathématiques • First Year of Secondary School

Video Transcript

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à diviser des nombres complexes. Nous allons d’abord apprendre à diviser un nombre complexe par un nombre réel, puis par un nombre purement imaginaire, avant de généraliser ces techniques afin de nous permettre de diviser un nombre complexe par un autre nombre complexe. Nous allons ensuite apprendre à utiliser ces processus pour résoudre des équations impliquant la division de nombres complexes.

Commençons par apprendre à diviser un nombre complexe par un nombre réel. Il s’agit en réalité d’une extension du processus que nous utilisons pour multiplier des nombres complexes par des nombres réels. Nous multiplions un nombre complexe par un nombre réel en utilisant la distributivité, en multipliant chaque partie par le nombre réel. On peut dire que la division par un nombre réel 𝑐 revient au même que multiplier par l’inverse de 𝑐, multiplier par un sur 𝑐. Un sur 𝑐 multiplié par 𝑧 est 𝑧 divisé par 𝑐. Nous multiplions un sur 𝑐 par 𝑎 et nous obtenons 𝑎 sur 𝑐. Et nous multiplions un sur 𝑐 par 𝑏𝑖 et nous obtenons 𝑏 sur 𝑐𝑖. Nous pouvons voir alors que pour diviser un nombre complexe par un nombre réel 𝑐, nous divisons simplement la partie réelle puis la partie imaginaire.

Allons voir un exemple.

Sachant que 𝑧 égale cinq plus trois 𝑖, exprimez 𝑧 sur deux sous la forme de 𝑎 plus 𝑏𝑖.

On nous donne un nombre complexe, cinq plus trois 𝑖, et on nous demande de déterminer la valeur ou le nombre complexe donné par 𝑧 divisé par deux. 𝑧 divisé par deux est cinq plus trois 𝑖 divisé par deux. Pour diviser un nombre complexe par un nombre réel, nous devons diviser la partie réelle du nombre complexe ainsi que sa partie imaginaire par ce nombre réel. Nous divisons cinq — c’est la partie réelle — par deux. Et nous divisons la partie imaginaire, trois, par deux. Nous voyons donc que pour notre nombre complexe, 𝑧 sur deux est égal à cinq sur deux plus trois sur deux 𝑖.

Et que dire de la division d’un nombre complexe par un nombre purement imaginaire ?

Simplifier deux plus quatre 𝑖 sur 𝑖.

Pour déterminer comment diviser deux plus quatre 𝑖 par 𝑖, rappelons la définition de 𝑖. C’est une solution à l’équation 𝑥 au carré égale moins un. Et nous disons que 𝑖 au carré est égal à moins un. Ou souvent 𝑖 est égal à la racine carrée de moins un.

Si nous considérons cette fraction comme deux plus quatre 𝑖 divisé par la racine carrée de moins un, nous pouvons voir que pour simplifier, nous devons effectuer le même processus que pour rationaliser le dénominateur lorsque nous traitons un autre radical. Nous multiplions le numérateur et le dénominateur de notre fraction par la racine carrée de moins un.

En fait, nous savons que la racine carrée de moins un est 𝑖. Nous allons donc multiplier le numérateur et le dénominateur de cette fraction par 𝑖. Et nous avons droit de le faire car multiplier par 𝑖 sur 𝑖 et la même chose que multiplier par un. Nous créons une fraction équivalente.

Appliquons la distributivité à l’expression 𝑖 fois deux plus quatre 𝑖. 𝑖 multiplié par deux est deux 𝑖, et 𝑖 multiplié par quatre 𝑖 est quatre 𝑖 au carré. Bien sûr, 𝑖 au carré est égal à moins un. Ainsi, notre expression devient deux 𝑖 plus quatre multiplié par moins un, ce qui correspond à moins quatre plus deux 𝑖.

Au dénominateur, nous avons 𝑖 multiplié par 𝑖, qui est bien sûr 𝑖 au carré, qui est négatif. Ainsi, nous pouvons réécrire deux plus quatre 𝑖 sur 𝑖 en tant que moins quatre plus deux un [𝑖] sur moins un. Et maintenant, nous divisons simplement par un nombre réel. Et pour diviser un nombre complexe par un nombre réel, nous divisons la partie réelle puis divisons séparément la partie imaginaire. Moins quatre divisé par moins un est quatre, et deux 𝑖 divisé par moins un est moins deux 𝑖. Et nous simplifions complètement deux plus quatre 𝑖 sur 𝑖. C’est quatre moins deux 𝑖.

En fait, nous pouvons utiliser une technique similaire pour diviser deux nombres complexes. Tout comme nous avons utilisé les règles pour rationaliser le dénominateur lorsque ce dénominateur est un radical, nous pouvons également appliquer les règles de rationalisation d’un dénominateur lorsque ce dénominateur est une expression impliquant un nombre rationnel et un radical.

Considérons un exemple.

Simplifier trois moins six 𝑖 sur un moins cinq 𝑖.

Pour simplifier cette fraction ou diviser trois moins six 𝑖 par un moins cinq 𝑖, nous devons trouver un moyen d’avoir un nombre réel au dénominateur. Alors que pouvons-nous faire pour avoir ce nombre réel ? Eh bien, rappelez-vous, si nous multiplions un nombre complexe par son conjugué complexe — et cela en changeant le signe de la partie imaginaire — nous obtenons un nombre réel. Ainsi, un nombre complexe de la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖 a comme conjugué 𝑎 moins 𝑏𝑖.

Donc, si nous multiplions le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le conjugué complexe de un moins cinq 𝑖, nous obtiendrons un dénominateur réel. Et le conjugué de un moins cinq 𝑖 est un plus cinq 𝑖. Nous distribuons ensuite ces parenthèses comme d’habitude. Il existe différentes méthodes que nous pourrions utiliser.

Regardons la méthode de FOIL. La lettre « F » les premiers termes. Nous multiplions le premier terme de la première parenthèse par le premier terme de la deuxième. C’est trois. La lettre « O » désigne les termes extérieurs. Nous multiplions les termes extérieurs. C’est 15 𝑖. La lettre « I » désigne les termes intérieurs. Nous multiplions les termes intérieurs. C’est moins six 𝑖. Et la lettre « L » désigne les derniers termes. Nous multiplions le dernier terme dans chaque parenthèse. Et cette fois, nous obtenons un moins 30𝑖 au carré.

Puisque nous savons que 𝑖 au carré est égal à moins un, alors notre dernier terme devient moins 30 multiplié par moins un, qui est 30. Et nous pouvons simplifier notre numérateur à 33 plus neuf 𝑖.

Et nous allons répéter ce processus avec le dénominateur. Nous obtenons un plus cinq 𝑖 moins cinq 𝑖 moins 25𝑖 au carré. Et bien sûr, 𝑖 au carré est moins un. Nous nous retrouvons donc avec 25 comme dernier terme. Et puis cinq 𝑖 moins cinq 𝑖 égale zéro. Nous nous retrouvons donc avec 26. Et nous avons le dénominateur réel que nous cherchions. Nous avons donc simplifié partiellement notre fraction. Nous avons maintenant 33 plus neuf 𝑖 divisé par 26.

Pour diviser un nombre complexe par un nombre réel, nous pouvons diviser la partie réelle puis diviser séparément la partie imaginaire. La partie réelle de notre réponse est 33 sur 26, et la partie imaginaire 9 sur 26. Donc notre fraction sous sa forme la plus simple est 33 sur 26 plus neuf plus sur 26𝑖.

Et en fait, nous aurions pu gagner un peu de temps en rappelant la formule générale du produit d’un nombre complexe par son conjugué. Si le nombre complexe est de la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖, on dit que cela peut être trouvé par 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Donc en général, pour diviser un nombre complexe par un autre nombre complexe, nous l’écrivons sous la forme d’une fraction. Et nous multiplions ensuite le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le conjugué du dénominateur. Nous pouvons ensuite distribuer et simplifier autant que possible.

Voyons à quoi cela ressemble en général.

Un : développez et simplifiez 𝑝 plus 𝑞𝑖 multiplié par 𝑝 moins 𝑞𝑖. Deux : développez 𝑎 plus 𝑏𝑖 multiplié par 𝑝 moins 𝑞𝑖. Trois : trouvez une fraction équivalente à 𝑎 plus 𝑏𝑖 sur 𝑝 plus 𝑞𝑖 et dont le dénominateur est réel.

Pour la première partie de cette question, nous cherchons à multiplier deux nombres complexes. Nous pourrions absolument appliquer n’importe quelle méthode pour la distribution des parenthèses, telle que la méthode de FOIL ou la méthode de la grille. Cependant, si nous observons attentivement, nous pourrons voir que ces deux nombres complexes sont conjugués l’un de l’autre.

Le conjugué d’un nombre complexe de la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖, où 𝑎 est la partie réelle et 𝑏 la partie imaginaire, est trouvé en changeant le signe de la partie imaginaire. Et cela est vraiment utile. Cela nous permet d’utiliser une formule pour le produit d’un nombre complexe par son conjugué. C’est 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Nous élevons la partie réelle au carré et l’ajoutons au carré de la partie imaginaire. La partie réelle de notre nombre complexe est 𝑝, et la partie imaginaire est 𝑞. Ainsi, le produit de 𝑝 plus 𝑞𝑖 avec son conjugué 𝑝 moins 𝑞𝑖 est 𝑝 au carré plus 𝑞 au carré.

Malheureusement, il n’existe aucune astuce permettant de multiplier 𝑎 plus 𝑏𝑖 par 𝑝 moins 𝑞𝑖. Nous allons plutôt utiliser la méthode de FOIL. Nous multiplions les premiers termes. 𝑎 multiplié par 𝑝 est 𝑎𝑝. Nous multiplions les termes extérieurs et on obtient 𝑎𝑞𝑖. La multiplication des termes intérieurs nous donne 𝑏𝑝𝑖. Et en faisant un peu d’espace pour multiplier les derniers termes, nous obtenons moins 𝑏𝑞𝑖 au carré.

En fait, rappelons que 𝑖 au carré est égal à moins un. Et ainsi, ce dernier terme devient plus 𝑏𝑞. Nous allons réorganiser cela un peu pour que cela ressemble à un nombre complexe. Nous additionnons les parties réelles et nous obtenons 𝑎𝑝 plus 𝑏𝑞. Et nous additionnons séparément les parties imaginaires. Et lorsque nous le faisons, nous constatons que la partie imaginaire de la distribution de ces parenthèses est 𝑏𝑝 moins 𝑎𝑞. La réponse à la deuxième partie est donc 𝑎𝑝 plus 𝑏𝑞 plus 𝑏𝑝 moins 𝑎𝑞𝑖.

Et dans la dernière partie, on nous demande de trouver une fraction équivalente à 𝑎 plus 𝑏𝑖 sur 𝑝 plus 𝑞𝑖. Et bien sûr, ce n’est pas une coïncidence si on nous demande de faire le calcul que nous avons déjà fait. Nous voulons créer une fraction équivalente qui a un dénominateur réel. Pour ce faire, nous multiplions le numérateur et le dénominateur de notre fraction par le conjugué complexe du dénominateur. Et bien sûr, nous avons déjà déterminé leurs valeurs.

Nous voyons donc qu’une fraction équivalente à 𝑎 plus 𝑏𝑖 sur 𝑝 plus 𝑞𝑖 dont le dénominateur est réel - et en fait la forme générale de 𝑎 plus 𝑏𝑖 divisé par un autre nombre complexe 𝑝 plus 𝑞𝑖 - est 𝑎𝑝 plus 𝑏𝑞 plus 𝑏𝑝 moins 𝑎𝑞𝑖 le tout sur 𝑝 au carré plus 𝑞 au carré. Rappelez-vous, bien qu’il soit parfait de déduire cette formule, il est important de vous concentrer sur l’application des processus à chaque fois.

Si 𝑎 plus 𝑏𝑖 égale moins trois moins cinq 𝑖 sur moins trois plus cinq 𝑖, alors est-ce vrai que 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré est égal à un ?

On nous donne le quotient de deux nombres complexes. Et on nous dit que cela peut être exprimé sous la forme d’un unique nombre complexe 𝑎 plus 𝑏𝑖. Pour évaluer l’expression 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré, nous allons devoir déterminer quel est cet unique nombre complexe. Pour ce faire, nous appliquons les processus de division des nombres complexes.

Nous devons multiplier le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le conjugué du dénominateur. Nous trouvons le conjugué en changeant le signe de la partie imaginaire. Et en faisant cela, nous voyons que le conjugué de notre dénominateur est moins trois moins cinq 𝑖.

Nous allons ensuite multiplier en appliquant la distributivité. Commençons par le numérateur. Nous allons utiliser la méthode de FOIL. Moins trois multiplié par moins trois est neuf. En multipliant les termes extérieurs, on obtient 15𝑖. Et les termes intérieurs nous donnent 15𝑖. Et en multipliant les deux derniers termes, nous obtenons 25 𝑖 au carré. Mais bien sûr, 𝑖 au carré est moins un. Donc ce dernier terme est 25 multiplié par moins un, ce qui donne moins 25. Nous additionnons ensuite les parties réelles et additionnons séparément les parties imaginaires, bien que nous puissions penser à cela comme étant le regroupement des termes similaires. Et nous obtenons le numérateur de notre fraction qui est moins 16 plus 30𝑖.

Nous pouvons maintenant répéter ce processus pour le dénominateur. Cependant, si nous rappelons, pour un nombre complexe général de la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖 dont le conjugué est 𝑎 moins 𝑏𝑖, le produit de ces deux nombres est trouvé par 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. La partie réelle de notre nombre complexe est moins trois, et la partie imaginaire est cinq. Ainsi, lorsque nous distribuons ces parenthèses, nous obtenons moins trois au carré plus cinq au carré. C’est neuf plus 25, ce qui donne 34. Donc moins trois moins cinq 𝑖 sur moins trois plus cinq 𝑖 est moins 16 plus 30𝑖 sur 34.

Et bien sûr, si nous divisons un nombre complexe par un nombre réel, nous divisons les parties réelles puis les parties imaginaires séparément. Moins 16 sur 34 est se simplifie en moins 8 sur 17. Et 30 sur 34 se simplifie en 15 sur 17. Et nous pouvons donc voir que 𝑎 doit être égal à moins huit sur 17 et 𝑏 doit être égal à 15 sur 17.

Il ne reste plus qu’à envisager la somme de leurs carrés, 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. C’est moins huit sur 17 au carré et 15 sur 17 au carré. Ils auront le même dénominateur. Donc cela fait 64 plus 225 sur 289. Mais en fait, 64 plus 225 est 289. Donc 𝑎 au carré plus 𝑏 carré est égal à 289 sur 289, ce qui est bien sûr un. Et il est vrai que 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré égale un.

En fait, dans cet exemple, les deux nombres complexes que nous divisions étaient les conjugués l’un de l’autre. Il s’agit en fait d’une règle générale selon laquelle, si nous divisons un nombre complexe par son conjugué, la somme des carrés de la partie réelle et de la partie imaginaire de ce nouveau nombre complexe sera un.

Nous allons voir maintenant comment résoudre des équations impliquant la division de nombres complexes.

Résolvez l’équation 𝑧 multiplié par deux plus 𝑖 égale trois moins 𝑖 pour 𝑧.

Pour résoudre cette équation pour 𝑧, nous devrons appliquer des opérations inverses. Nous allons commencer par diviser les deux membres de cette équation par deux plus 𝑖. Et nous voyons que 𝑧 est égal à trois moins 𝑖 divisé par deux plus 𝑖. Pour diviser trois moins 𝑖 par deux plus 𝑖, il va falloir multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par le conjugué de deux plus 𝑖. Pour trouver le conjugué, on change le signe de la partie imaginaire. Et nous voyons que le conjugué de deux plus 𝑖 est deux moins 𝑖.

Nous allons distribuer les parenthèses à la partie supérieure de cette fraction en utilisant la méthode de FOIL. Trois multiplié par deux est six. Trois multiplié par moins 𝑖 est moins trois 𝑖. Nous avons ensuite moins deux 𝑖. Et notre dernier terme est au 𝑖 au carré. 𝑖 au carré est bien sûr moins un. Donc notre dernier terme est moins un.

Et nous pouvons regrouper les termes similaires, ou additionner séparément les parties réelles et les parties imaginaires. Et nous voyons que trois moins 𝑖 multiplié par deux moins 𝑖 est cinq moins cinq 𝑖. Et nous pourrions répéter ce processus pour le dénominateur.

Cependant, il existe une règle spéciale que nous pouvons utiliser pour multiplier un nombre complexe par son conjugué. Nous pouvons trouver la somme des carrés des parties réelle et imaginaire. La partie réelle est deux, et la partie imaginaire qui est le coefficient de 𝑖 est un. Le produit de ces deux nombres complexes est donc quatre plus un, soit cinq. Et nous voyons que 𝑧 est égal à cinq moins cinq 𝑖 sur cinq.

On peut alors diviser les parties réelles par ce nombre réel. Nous avons cinq divisé par cinq, ce qui donne un. Et séparément, nous divisons la partie imaginaire par ce nombre réel. Cinq divisé par cinq est un. Nous obtenons donc un moins 𝑖. Et nous avons résolu notre équation pour 𝑧.

Nous avons vu que la division des nombres complexes peut prendre beaucoup de temps.

Nous allons voir un dernier exemple où nous pouvons quelque peu simplifier nos calculs.

Simplifiez trois moins quatre 𝑖 sur deux plus deux 𝑖 plus trois moins quatre 𝑖 sur deux moins deux 𝑖.

Dans cette question, nous cherchons à trouver la somme de deux fractions dont les dénominateurs et les numérateurs sont des nombres complexes. Nous pourrions appliquer les règles de division des nombres complexes et travailler à partir de là. C’est toutefois un processus assez long, surtout pour deux fractions. Au lieu de cela, nous remarquons que le numérateur de chaque fraction est le même. Et on peut donc réécrire cette expression en prenant un facteur de trois moins quatre 𝑖. Et nous avons trois moins quatre 𝑖 multiplié par un sur deux plus deux 𝑖 plus un sur deux moins deux 𝑖.

Ensuite, nous allons additionner ces fractions en trouvant un dénominateur commun. Le dénominateur commun est le produit de ces deux nombres. C’est deux plus deux 𝑖 multiplié par deux moins deux 𝑖. Et quand on multiplie le numérateur de la première fraction par deux moins deux 𝑖, on obtient deux moins deux 𝑖. Et pour le numérateur de la deuxième fraction, on obtient deux plus deux 𝑖. Nous allons ensuite simplifier.

Pour le numérateur, moins deux 𝑖 plus deux 𝑖 c’est zéro. Donc il nous reste simplement quatre. Et nous ne développerons pas les parenthèses au dénominateur. Au lieu de cela, nous utilisons le fait qu’ils sont les conjugués complexes l’uns de l’autre. Et nous pouvons trouver leur produit en calculant la somme des carrés des parties réelles et des parties imaginaires. C’est deux au carré plus deux au carré, soit huit.

Maintenant quatre sur huit se simplifie à la moitié. Il faut donc trouver la moitié de trois moins quatre 𝑖. La moitié de la partie réelle est trois sur deux, et la moitié de la partie imaginaire est moins deux. Notre solution est donc trois sur deux moins deux 𝑖.

Dans cette vidéo, nous avons appris que nous pouvons diviser des nombres complexes en utilisant les mêmes techniques que nous utilisons pour rationaliser le dénominateur. Et cela en multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction par le conjugué du dénominateur, en développant les parenthèses, puis en simplifiant. Nous avons également constaté qu’il pouvait être utile de rechercher des facteurs communs pour simplifier des expressions plus compliquées.