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Lesquelles des matrices suivantes sont symétriques ? (A) La matrice moins quatre, moins quatre, deux, moins quatre, huit, moins deux, huit, moins deux, trois. (B) La matrice moins deux, trois, cinq, trois, moins quatre, moins trois, cinq, moins trois, moins sept. (C) La matrice moins deux, quatre, moins trois, quatre, moins huit, moins huit, neuf, moins trois, moins deux. (D) La matrice moins trois, moins cinq, moins un, moins six, six, cinq, moins sept, sept, moins huit.
Commençons par rappeler ce qu’est une matrice symétrique. Une matrice est symétrique si elle est égale à sa transposée, la matrice formée en échangeant les lignes et les colonnes de la matrice initiale. Une matrice ne peut être symétrique que s’il s’agit d’une matrice carrée, car le nombre de lignes et de colonnes doit être le même pour que la matrice et sa transposée aient le même ordre. Toutes les matrices proposées dans cette question ont trois lignes et trois colonnes. Donc ce sont toutes des matrices carrées de dimension trois. Donc pour l’instant, n’importe laquelle de ces matrices pourrait être symétrique.
Pour répondre à la question, on va déterminer la transposée de chacune des matrices. On rappelle qu’il suffit pour cela d’échanger les lignes et les colonnes. Nous pouvons donc trouver utile d’écrire chaque colonne de la matrice initiale dans une couleur différente. La première colonne de cette matrice devient la première ligne de sa matrice transposée. La deuxième colonne devient la deuxième ligne. Et la troisième colonne devient la troisième ligne. Donc la transposée de la matrice 𝐴 est la matrice moins quatre, moins quatre, huit, moins quatre, huit, moins deux, deux, moins deux, trois.
Ensuite, pour que ces deux matrices soient égales, il faut que les coefficients de l’une soient égaux aux coefficients correspondants de l’autre. On peut voir que c’est le cas de certains coefficients de la matrice 𝐴 et de sa transposée. Mais il y a aussi des coefficients pour lesquels ce n’est pas le cas. Donc la transposée de la matrice 𝐴 n’est pas égale à la matrice 𝐴 et par conséquent, 𝐴 n’est pas une matrice symétrique.
Examinons maintenant la matrice 𝐵. On écrit à nouveau chaque colonne dans une couleur différente. On remplit la première ligne de la matrice transposée, puis la deuxième et la troisième. On obtient que la transposée de la matrice 𝐵 est la matrice moins deux, trois, cinq, trois, moins quatre, moins trois, cinq, moins trois, moins sept. Cette fois-ci, lorsqu’on compare les deux matrices, on constate que tous les coefficients de la matrice 𝐵 sont égaux aux coefficients correspondants de sa matrice transposée. Donc la matrice 𝐵 est égale à sa propre transposée et par conséquent, elle est symétrique.
On doit aussi vérifier les matrices 𝐶 et 𝐷. La transposée de la matrice 𝐶 est égale à moins deux, quatre, neuf, quatre, moins huit, moins trois, moins trois, moins huit, moins deux. On voit que certains coefficients sont identiques dans la matrice 𝐶 et dans sa transposée, mais ce n’est pas le cas de tous les coefficients. Donc la transposée de la matrice 𝐶 n’est pas égale à la matrice 𝐶 et par conséquent, la matrice 𝐶 n’est pas symétrique.
Enfin, la transposée de la matrice 𝐷 est la matrice moins trois, moins six, moins sept, moins cinq, six, sept, moins un, cinq, moins huit. On constate que seuls les coefficients de la diagonale principale sont identiques dans la matrice transposée et dans la matrice initiale. Tous les autres coefficients sont différents dans les deux matrices. Donc la matrice 𝐷 n’est pas une matrice symétrique.
Nous avons montré que parmi les quatre matrices proposées, la seule matrice symétrique, donc égale à sa propre transposée, est la matrice 𝐵, la matrice moins deux, trois, cinq, trois, moins quatre, moins trois, cinq, moins trois, moins sept.
