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Vidéo de la leçon : Opérations sur les événements : différence Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver la probabilité de la différence de deux événements.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver la probabilité de la différence de deux événements. Il s’agit de la probabilité de 𝐴 moins 𝐵, où 𝐴 et 𝐵 sont deux événements. Pour commencer cette vidéo, donnons les principales notations et formules. Dans ce diagramme de Venn, qui représente les événements 𝐴 et 𝐵, la zone hachurée de rose représente la probabilité de 𝐴. Dans le second diagramme de Venn, la zone hachurée représente la probabilité de 𝐴 inter 𝐵. Ce sont les éléments qui se produisent dans l’événement 𝐴 et l’événement 𝐵.

Dans cette vidéo, nous utiliserons ces définitions afin de mieux comprendre la formule de la probabilité d’une différence. Cette notation désigne la probabilité de 𝐴 moins 𝐵, qui est égale à la probabilité de 𝐴 moins la probabilité de 𝐴 inter 𝐵. On peut le voir sur ce diagramme de Venn. La probabilité de 𝐴 moins 𝐵 considère tous les éléments appartenant à l’événement 𝐴 mais pas à l’événement 𝐵. Par conséquent, la probabilité de 𝐵 moins 𝐴 est égale à la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de 𝐴 inter 𝐵. Sur ce diagramme de Venn, on voit qu’il s’agit de tous les éléments de l’événement 𝐵 moins ceux qui appartiennent aussi à l’événement 𝐴. Passons maintenant à quelques exemples qui font appel à ces formules.

Soient 𝐴 et 𝐵 deux événements. Sachant que la probabilité de 𝐴 est de 0,3 et que la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 est de 0,03, déterminez la probabilité de 𝐴 moins 𝐵.

Pour répondre à cette question, rappelons la formule de la probabilité d’une différence. Elle énonce que la probabilité de 𝐴 moins 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 moins la probabilité de 𝐴 inter 𝐵. En utilisant les valeurs fournies par l’énoncé, on a une probabilité de 𝐴 moins 𝐵 égale à 0,3 moins 0,03. Ce qui donne 0,27. Soient deux événements 𝐴 et 𝐵 tels que la probabilité de 𝐴 est de 0,3 et la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 est de 0,03, alors la probabilité de 𝐴 moins 𝐵 est de 0,27.

On pourrait aussi répondre à cette question à l’aide d’un diagramme de Venn dont les deux cercles représentent les événements 𝐴 et 𝐵. On sait que la probabilité de l’événement 𝐴 est de 0,3. On sait aussi que l’intersection des événements 𝐴 et 𝐵 a une probabilité de 0,03. Dans cette question, on doit calculer la probabilité de l’événement 𝐴 moins 𝐵, et le diagramme montre clairement que ça correspond au calcul 0,3 moins 0,03, ce qui donne la même réponse 0,27.

Dans le prochain exemple, il nous faudra réarranger la formule.

Soient 𝐴 et 𝐵 deux événements. Sachant que la probabilité de 𝐴 moins 𝐵 est égale à deux septièmes et que la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 est d’un sixième, déterminez la probabilité de 𝐴.

Rappelons d’abord la formule de la probabilité d’une différence. Elle énonce que la probabilité de 𝐴 moins 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 moins la probabilité de 𝐴 inter 𝐵. On sait que la probabilité de 𝐴 moins 𝐵 est égale à deux septièmes et que la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 est égale à un sixième. En utilisant ces valeurs dans la formule, on obtient que deux septièmes égalent la probabilité de 𝐴 moins un sixième. Pour calculer la probabilité de 𝐴, on ajoute un sixième de chaque côté de l’équation. La probabilité de 𝐴 est égale à deux septièmes plus un sixième.

Pour additionner deux fractions, on commence par trouver un dénominateur commun. Ici, on prend 42 car il s’agit du plus petit commun multiple de sept et de six. En multipliant par six le numérateur et le dénominateur de la première fraction, on trouve 12 sur 42 et en multipliant par sept le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction, on trouve sept sur 42. Donc deux septièmes plus un sixième égalent 19 sur 42. On en conclut que la probabilité de l’événement 𝐴 est de 19 sur 42.

Dans le prochain exemple, nous allons résoudre un problème contextualisé.

On tire une boule dans un sac contenant 12 boules numérotées de un à 12. Notons 𝐴 l’événement du tirage d’un numéro impair et 𝐵 l’événement du tirage d’un nombre premier. Trouvez la probabilité de 𝐴 moins 𝐵.

D’après l’énoncé, le sac contient 12 boules numérotées de un à 12. Chacune d’elles a les mêmes chances d’être tirée au sort, chacune a une probabilité d’être tirée de un sur 12, un douzième. On sait que 𝐴 est l’événement du tirage d’un numéro impair. Six de ces boules sont impaires, les numéros un, trois, cinq, sept, neuf et 11. Cela signifie que la probabilité de l’événement 𝐴 est de six sur 12. En divisant le numérateur et le dénominateur par six, on voit que cela donne un demi. On sait aussi que 𝐵 est l’événement du tirage d’un nombre premier. On sait qu’un nombre premier a exactement deux diviseurs : le nombre un et le nombre lui-même. Les nombres premiers compris entre un et 12 inclus sont deux, trois, cinq, sept et 11. Cela signifie que la probabilité de l’événement 𝐵 est égale à cinq sur 12 ou cinq douzièmes.

On voit aussi que la probabilité que les événements 𝐴 et 𝐵 se produisent, la probabilité de 𝐴 inter 𝐵, est égale à quatre sur 12. En effet, quatre des numéros, trois, cinq, sept et 11, sont à la fois impairs et premiers. On nous demande de trouver la probabilité de 𝐴 moins 𝐵. Rappelons la formule de la probabilité d’une différence, on sait que la probabilité de 𝐴 moins 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 moins la probabilité de 𝐴 inter 𝐵. La probabilité de 𝐴 moins 𝐵 est donc égale à un demi ou six douzièmes moins quatre douzièmes. C’est égal à deux douzièmes, ce qui se simplifie en un sur six, soit un sixième. La probabilité de 𝐴 moins 𝐵 est égale à un sixième.

Nous aurions pu trouver cette réponse directement à partir du schéma. La probabilité de 𝐴 moins 𝐵 signifie qu’on cherche les nombres impairs qui ne sont pas premiers. Dans cette question, il s’agit des nombres un et neuf. Deux des 12 nombres sont impairs et non premiers. Cela confirme notre réponse de deux sur 12, soit un sixième.

Avant de passer aux deux derniers exemples, rappelons d’autres formules essentielles de probabilité. La formule de la probabilité d’une somme énonce que la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de 𝐴 inter 𝐵. Cette formule peut également être réécrite ainsi. Le complément d’un événement, noté 𝐴 barre ou 𝐴 prime, est l’événement contraire de 𝐴, quand il ne se réalise pas. Comme la somme des probabilités vaut un, on sait que la probabilité du complément de 𝐴 est égale à un moins la probabilité de 𝐴. Nous allons maintenant utiliser ces deux formules ainsi que la formule de la probabilité d’une différence pour résoudre les deux derniers exemples.

Soient 𝐴 et 𝐵 des événements d’une expérience aléatoire. Sachant que la probabilité de 𝐴 est de 0,71, que la probabilité de 𝐵 barre est de 0,47 et que la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est de 0,99, déterminez la probabilité de 𝐵 moins 𝐴.

Avant d’aborder cette question, rappelons que 𝐵 barre désigne le complément de l’événement 𝐵. La probabilité du complément est la probabilité que l’événement ne se produise pas. Comme la somme des probabilités vaut un, on sait que la probabilité de 𝐵 barre est égale à un moins la probabilité de 𝐵. En réécrivant cette formule, la probabilité de l’événement 𝐵 est donc égale à un moins la probabilité du complément de 𝐵. Comme celle-ci est égale à 0,47, on peut la retrancher de un pour trouver la probabilité de l’événement 𝐵. La probabilité de l’événement 𝐵 est donc égale à 0,53. La raison pour laquelle on a besoin de cette valeur est qu’on nous demande de calculer la probabilité de 𝐵 moins 𝐴. Rappelons la formule de la probabilité d’une différence, c’est la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de 𝐴 inter 𝐵.

On sait maintenant que la probabilité de 𝐵 est de 0,53 et on peut calculer la probabilité de 𝐴 inter 𝐵. On peut pour cela utiliser la formule de la probabilité d’une somme, dont une forme dit que la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de 𝐴 union 𝐵. D’après l’énoncé, la probabilité de 𝐴 est de 0,71. On a trouvé une probabilité de 0,53 pour 𝐵 et on sait également que la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est de 0,99. La probabilité de 𝐴 inter 𝐵 est donc égale à 0,71 plus 0,53 moins 0,99. Ce qui est égal à 0,25. En injectant cette valeur dans la formule de la probabilité d’une différence, on obtient que la probabilité de 𝐵 moins 𝐴 est égale à 0,53 moins 0,25. Ce qui nous donne la réponse finale 0,28.

Nous allons maintenant examiner un dernier exemple contextualisé.

La probabilité que James réussisse aux épreuves de mathématiques est de 0,33 et la probabilité qu’il échoue à celles de physique est de 0,32. Sachant que la probabilité qu’il réussisse au moins l’une de ces matières est de 0,71, trouvez la probabilité qu’il en réussisse exactement une.

Notons 𝐴 l’événement réussir les mathématiques et 𝐵 l’événement réussir la physique. Il est important de noter qu’on ne considère que ces deux cas, la réussite ou l’échec de l’élève. On ne s’intéresse pas à sa note, uniquement au fait qu’il réussisse ou échoue. On a la probabilité de l’événement 𝐴, que James réussisse les mathématiques, soit 0,33. On connaît la probabilité que James échoue la physique. Soit 0,32. Il s’agit du complément de l’événement 𝐵 et il se note probabilité de 𝐵 barre. Soit 0,32.

On sait que la probabilité du complément est égale à un moins la probabilité de l’événement. Dans ce cas, 0,32 est égal à un moins la probabilité de 𝐵. En réécrivant cette équation, on trouve que la probabilité de l’événement 𝐵 est égale à un moins 0,32, ce qui donne 0,68. La probabilité que James réussisse la physique est de 0,68.

On sait aussi que la probabilité que James réussisse au moins une matière est de 0,71. Ça revient à dire que James réussit les mathématiques ou la physique ou les deux. Cela peut s’écrire comme la probabilité de 𝐴 union 𝐵. On peut alors utiliser la formule de la probabilité d’une somme pour trouver la probabilité de 𝐴 inter 𝐵. Ceci est égal à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de 𝐴 union 𝐵. En utilisant les valeurs que nous connaissons, cela donne 0,33 plus 0,68 moins 0,71, ce qui est égal à 0,3 ou 0,30. La probabilité de 𝐴 inter 𝐵 vaut 0,3.

Maintenant, deux méthodes sont possibles. Tout d’abord, on peut utiliser la formule de la probabilité d’une différence. La probabilité de 𝐴 moins 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 moins la probabilité de 𝐴 inter 𝐵. On a également la probabilité de 𝐵 moins 𝐴 est égale à la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de 𝐴 inter 𝐵. Calculer la somme de ces deux événements donne la probabilité que James réussisse exactement l’une des deux matières. Commençons par calculer la probabilité qu’il réussisse uniquement les mathématiques. La probabilité de 𝐴 moins 𝐵 est égale à 0,33 moins 0,3. Ce qui donne 0,03. Passons maintenant à la probabilité que James ne réussisse que la physique. Cela donne 0,68 moins 0,3, soit 0,38.

En faisant la somme de ces deux valeurs, on en conclut que la probabilité que James réussisse exactement l’une des deux matières est de 0,41. On peut illustrer cette solution à l’aide d’un diagramme de Venn. On sait que la probabilité que les événements 𝐴 et 𝐵 se produisent tous les deux est de 0,3 ; la probabilité que seul l’événement 𝐴 se produise, que James ne réussisse que les mathématiques, vaut 0,03 ; et la probabilité que seul l’événement 𝐵 se produise est de 0,38. La somme des trois valeurs sur le diagramme de Venn vaut 0,71, la probabilité que 𝐴 ou 𝐵 se produise. Comme on sait que la somme des probabilités vaut un, la probabilité que ni l’événement 𝐴 ni l’événement 𝐵 ne se produisent est de 0,29. C’est la probabilité que James échoue les deux matières. En ajoutant 0,03 et 0,38, cela confirme que la probabilité que James réussisse exactement une des deux matières est de 0,41.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Dans cette vidéo, nous avons utilisé la formule de la probabilité d’une différence afin de résoudre divers problèmes. Selon cette formule, la probabilité de 𝐴 moins 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 moins la probabilité de 𝐴 inter 𝐵. De même, la probabilité de 𝐵 moins 𝐴 est égale à la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de 𝐴 inter 𝐵. Nous avons également utilisé d’autres formules de probabilité, comme la probabilité d’une somme, pour résoudre les problèmes à plusieurs étapes.

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