Vidéo de la leçon: Représentation graphique d’une fonction affine Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment représenter graphiquement des fonctions affines.

Imaginez que nous ayons employé un jardinier, sans doute pour gérer une situation liée à des arbustes. Nous savons que le jardinier facture un prix fixe de 10 dollars plus 5 dollars par heure pour ses services. Le montant total que le jardinier facture est alors fonction du nombre d’heures de travail. Sans connaître le nombre exact d’heures qu’il est susceptible de travailler, nous pouvons établir une équation affine qui peut être utilisée pour prédire le coût total quel que soit le temps de travail. En utilisant 𝑥 pour représenter le nombre total d’heures passées à travailler et 𝑦 pour représenter le coût total en dollars, l’équation affine est 𝑦 égale 10 plus cinq 𝑥. La représentation graphique de cette équation est représentée ici. Gardant cela à l’esprit, essayons de formaliser certains des termes que nous avons utilisé jusqu’ici.

Lorsqu’une relation associe exactement une sortie à une entrée donnée, on appelle cela une fonction. Et si la représentation graphique de cette fonction est une droite non verticale, comme dans l’exemple précédent, cette fonction est dite affine. Dans le cas du montant que le jardinier facture, la fonction affine peut être représentée par 𝑓 de 𝑥 égale 10 plus cinq 𝑥. 𝑓 de 𝑥 est l’image, et 𝑥 est la variable, c’est-à-dire l’antécédent de la fonction. L’ensemble des antécédents est appelé l’ensemble de définition de la fonction, tandis que l’ensemble des images possibles est appelé l’ensemble image. Et pour une fonction affine, l’ensemble de définition et l’ensemble image sont tout simplement l’ensemble des nombres réels.

Puisque 𝑥 est l’entrée de la fonction, la valeur de la fonction pour un certain nombre peut être trouvée en substituant ce nombre à la variable 𝑥. Par exemple, s’il travaille pendant huit heures, le coût total du jardinier est déterminé en remplaçant 𝑥 par huit. Et la sortie est la valeur de 𝑓 de huit. C’est 10 plus cinq fois huit, ce qui vaut 50. Ainsi, nous créons un couple ordonné, qui est 𝑥, 𝑓 de 𝑥. Ce couple ordonné est un point sur la représentation graphique de la fonction. Ainsi, en calculant la valeur de deux ou plusieurs couples ordonnés, nous pouvons construire la représentation graphique d’une fonction affine. Faisons-en la démonstration dans notre premier exemple.

Considérons la fonction 𝑓 de 𝑥 égale huit 𝑥 moins 11. Remplissez le tableau. Identifiez les trois points qui se trouvent sur la droite 𝑦 égale huit 𝑥 moins 11.

Rappelez-vous, étant donné une fonction, la valeur de cette fonction pour un certain nombre peut être trouvée en substituant ce nombre à la variable. Dans ce cas, la variable, c’est 𝑥. Nous voyons dans le tableau que nous allons trouver la valeur de la fonction lorsque 𝑥 est égal à moins un, lorsque 𝑥 est égal à zéro et lorsque 𝑥 est égal à un. Commençons donc par poser 𝑥 égal moins un. Nous allons substituer moins un dans la fonction. On remplace 𝑥 par moins un, et nous trouvons que la valeur de la fonction en ce point est 𝑓 de moins un égale huit fois moins un moins 11. C’est moins huit moins 11, ce qui vaut tout simplement moins 19. Nous avons donc rempli la première colonne de notre tableau. Lorsque 𝑥 vaut moins un, 𝑦, qui est égal à 𝑓 de 𝑥, vaut moins 19.

Nous allons maintenant passer à 𝑥 égal à zéro. Lorsque 𝑥 est égal à zéro, la valeur de la fonction 𝑓 de zéro est huit fois zéro moins 11 ou zéro moins 11, ce qui vaut moins 11. Et donc 𝑓 de zéro est égal à moins 11, ce qui nous permet de remplir la deuxième colonne de notre tableau. Pour compléter la troisième colonne, nous allons substituer un à 𝑥. Cela nous donne 𝑓 de un, qui vaut huit fois un moins 11 ou huit moins 11, ce qui vaut moins trois. Nous avons donc complété notre tableau. Les trois valeurs sont moins 19, moins 11 et moins trois.

On remarque qu’il existe un motif qui se répète dans les différences entre chaque valeur de la fonction. La valeur de la fonction augmente de huit à chaque fois. Ce n’est pas un accident. Étant donné des valeurs entières consécutives pour 𝑥, nous devrions remarquer que les valeurs correspondantes de la fonction augmentent de façon constante.

Maintenant, on nous demande également d’identifier les trois points du graphique qui se trouvent sur la droite 𝑦 égale huit 𝑥 moins 11. En complétant le tableau de valeurs, nous avons produit des couples ordonnés, qui sont, en fait, des coordonnées sur le graphique de cette fonction. Le premier couple est moins 1, 19. Le second est zéro, moins 11. Et le troisième couple, est un, moins trois.

Si nous les représentons sur notre graphique, nous verrons avec quels points ils coïncident. Moins un, moins 19, nous pouvons voir sur notre graphique que cela coïncide avec le point marqué 𝐼. Zéro, moins 11 coïncide avec le point 𝐻. Et un, moins trois coïncide avec le point 𝐺. Bien que cela ne soit pas explicitement demandé dans cet exemple, nous pouvons tracer une droite qui passe par ces trois points. Et ainsi nous avons la droite représentant la fonction 𝑓 de 𝑥 égale huit 𝑥 moins 11.

Et nous avons terminé. Les valeurs indiquées dans notre tableau sont moins 19, moins 11 et moins trois. Et les trois points qui se trouvent sur cette droite sont 𝐼, 𝐻 et 𝐺, respectivement.

Dans cet exemple, nous avons montré comment trouver l’image d’une fonction en fonction de son expression et cela nous a permis de dessiner sa représentation graphique. Dans le prochain exemple, nous utiliserons des valeurs connues pour identifier la représentation graphique d’une fonction affine, puis nous utiliserons la représentation graphique pour identifier toutes les valeurs inconnues.

Le tableau suivant représente les valeurs d’une fonction affine Laquelle des figure suivantes représente cette droite? Trouver les valeurs de 𝑎 et de 𝑏. Écrire l’équation de la droite sous la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑚𝑥 plus 𝑐.

Rappelez-vous que lorsque nous créons un tableau de valeurs pour une fonction affine, nous créons essentiellement un groupe de couples ordonnés. Et chaque couple ordonné est un point sur la droite représentative de la fonction. Nous avons ici seulement deux couples ordonnés complets. Le premier a une valeur 𝑥 de zéro et une valeur 𝑦 de un. Donc, le couple ordonné est zéro, un. Le second a une valeur 𝑥 de un et une valeur 𝑦 de trois, donc le couple est un, trois. Et en fait, bien que ce soit une bonne pratique d’écrire plus de deux couples ordonnés, deux couples ordonnés suffisent pour identifier ou tracer la représentation graphique d’une fonction affine.

Commençons par tracer le point de coordonnées zéro, un sur chacune des figures. Nous voyons que nous avons déjà seulement deux droites qui satisfont ces coordonnées. Ce sont celles des figures (A) et (E). Pour pouvoir identifier laquelle de ces courbes représente la droite, nous allons positionner le point de coordonnées un, trois. Ainsi, nous voyons que nous pouvons également ignorer la figure (A). Et donc la figure(E) est la représentation graphique de notre fonction affine. Nous pouvons maintenant utiliser cette figure pour trouver les valeurs de 𝑎 et de 𝑏.

On voit dans le tableau que 𝑎 est la valeur de 𝑦 qui correspond à une valeur 𝑥 de deux. Nous pouvons donc tracer un segment vertical à partir de 𝑥 égale deux jusqu’à atteindre la droite, puis un segment horizontal jusqu’à atteindre l’axe des 𝑦. Ainsi, nous trouvons que l’image de deux est cinq, donc 𝑎 est égal à cinq. Répétons cela pour déterminer la valeur de 𝑏. Cette fois, l’abscisse 𝑥 est trois. Nous dessinons donc un segment vertical à partir de trois jusqu’à atteindre la droite, puis un segment horizontal jusqu’à ce que nous touchions l’axe des 𝑦. Il n’y a pas de valeur ici, mais c’est une échelle assez simple. Chaque grand carré représente un, donc 𝑏 doit être égal à sept. Et donc les valeurs de 𝑎 et de 𝑏 sont respectivement cinq et sept.

La dernière question nous demande d’écrire l’équation de la droite. Et ce sous la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑚𝑥 plus 𝑐. En d’autres termes, nous devons relier chaque valeur de 𝑥 à chaque valeur de 𝑦. Un couple de valeurs judicieux à choisir serait lorsque 𝑥 est égal à zéro. Lorsque 𝑥 est égal à zéro, notre fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑚𝑥 plus 𝑐 est 𝑓 de zéro, ce qui est égal à 𝑚 fois zéro plus 𝑐. 𝑚 fois zéro est zéro. Nous voyons donc que 𝑓 de zéro est égal à 𝑐. Mais bien sûr, 𝑓 de zéro est notre sortie, qui dans ce cas a une valeur de un. On peut donc dire que 𝑐 doit être égal à un. Et donc l’équation de notre droite sera de la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑚𝑥 plus un.

Maintenant que nous avons la valeur de 𝑐, utilisons le deuxième couple pour trouver la valeur de 𝑚. En substituant 𝑥 égal un dans l’équation 𝑓 de 𝑥 égale 𝑚𝑥 plus un, nous obtenons que 𝑓 de un est égal à 𝑚 fois un plus un, ce qui est simplement 𝑚 plus un. Maintenant, bien sûr, 𝑓 de un est la sortie de la fonction lorsque l’entrée est un. Et nous voyons sur le tableau que c’est trois. Nous pouvons donc réécrire ceci comme trois égale 𝑚 plus un. Ensuite, nous pouvons résoudre cette équation en soustrayant un des deux côtés. Et cela nous donne 𝑚 égale deux. Et donc l’équation de notre droite est 𝑓 de 𝑥 égale deux 𝑥 plus un.

Maintenant que nous connaissons les valeurs de 𝑎 et de 𝑏, nous pourrions vérifier ce résultat en substituant 𝑥 égale deux et en vérifiant que nous obtenons bien cinq ou en substituant 𝑥 égale trois et en vérifiant que nous obtenons bien sept. Dans les deux cas, nous confirmons que l’équation de notre droite est 𝑓 de 𝑥 égale deux 𝑥 plus un.

Dans les deux exemples précédents, nous avons vu une fonction affine très simple ainsi que sa représentation graphique et son tableau de valeurs. Nous avons vu dans le premier exemple que lorsque les valeurs de 𝑥 sont consécutives, leurs valeurs de 𝑦 ou les images correspondantes augmentent ou parfois diminuent du même nombre à chaque fois. En fait, cette quantité correspond au coefficient de 𝑥. Dans cet exemple, le coefficient de 𝑥 était de deux et nos valeurs de 𝑦 augmentaient de deux à chaque fois. Dans l’exemple précédent, le coefficient de 𝑥 était de huit et les valeurs de 𝑦 ou 𝑓 de 𝑥 augmentaient de huit à chaque fois. Bien qu’il soit hors de portée de cette leçon d’étudier cela plus en détail, cela peut servir de vérification facile pour nos résultats.

Prenons un autre exemple, mais cette fois, avec un coefficient de 𝑥 négatif. Cela entraînera une diminution des images correspondantes et une représentation graphique de la fonction décroissante.

Soit la fonction affine 𝑓 de 𝑥 égal cinq moins deux 𝑥. Nous pouvons tracer une droite pour représenter cette fonction. Compléter le tableau pour trouver les coordonnées des points sur la droite. Laquelle des figures suivantes représente la fonction?

Et il y aura une troisième et dernière question que nous examinerons dans un instant. Nous avons une fonction affine 𝑓 de 𝑥 égal cinq moins deux 𝑥. Nous savons que la représentation graphique de cette est une droite non verticale. Nous allons trouver un ensemble de couples ordonnés qui satisfont à l’équation de cette fonction affine en substituant moins deux, moins un, zéro, un et deux à 𝑥 dans l’expression cinq moins deux. Nous allons commencer par prendre 𝑥 égal moins deux. Nous calculons donc 𝑓 de moins deux, ce qui est cinq moins deux fois moins deux. Cela fait cinq plus quatre, ce qui vaut bien sûr neuf. Et donc la première valeur dans notre tableau est neuf.

Pour trouver le prochain couple, la valeur suivante dans notre tableau, nous allons calculer 𝑓 de moins un en substituant moins un dans l’expression cinq moins deux 𝑥. Cela nous donne cinq moins deux fois moins un, soit cinq plus deux, ce qui vaut bien sûr sept. Répétons ce processus avec 𝑥 égale zéro. Lorsque nous le faisons, nous obtenons cinq moins deux fois zéro. Cela fait cinq moins zéro, ce qui vaut cinq. Maintenant, nous pourrions continuer de cette manière à calculer 𝑓 de un et 𝑓 de deux. Mais c’est une fonction affine, et nous devrions donc pouvoir repérer un motif qui se répète pour les valeurs 𝑓 de 𝑥 tant que les valeurs 𝑥 sont consécutives.

On voit ici qu’entre chaque valeur 𝑥 on augmente bien d’une unité. Et nous remarquons que les valeurs 𝑓 de 𝑥 diminuent de deux à chaque fois. Cela signifie que nous pouvons trouver la valeur de 𝑓 de un en soustrayant deux de cinq ce qui nous donne trois. De la même manière, nous pouvons soustraire deux à trois pour obtenir 𝑓 de deux égale un. Et on a donc rempli notre tableau.

Nous avons maintenant suffisamment d’informations pour trouver la représentation graphique correcte de notre fonction. Les coordonnés des points qui se trouvent sur la représentation graphique de la fonction sont moins deux, neuf; moins un, sept; zéro, cinq; et ainsi de suite. Ceux-ci sont simplement tirés du tableau. Nous plaçons chacun de ces points sur chaque repère. Et nous voyons que la seule figure qui contient la bonne droite est la (D). (D) représente la courbe représentative de 𝑓 de 𝑥 égal cinq moins deux 𝑥.

Nous allons maintenant libérer de l’espace et répondre à la troisième question.

Il est demandé, lequel de ces points n’est pas sur la droite? Est-ce six, moins six; moins trois, 11; moins quatre, 13; trois, moins un; ou quatre, moins trois?

Nous avons deux techniques ici. Nous pourrions, bien sûr, simplement positionner chacun de ces points dans notre repère et regarder lequel ne se trouve pas sur la droite. Ou alors, nous pouvons substituer la valeur 𝑥 dans la fonction 𝑓 de 𝑥 égal cinq moins deux 𝑥 et voir si l’image résultante est bien la même que la valeur 𝑦 dans le couple. En d’autres termes, pour notre premier couple, nous substituons six à 𝑥. Cela nous donne cinq moins deux fois six ou cinq moins 12, ce qui est bien sûr égal à moins sept. Et donc, lorsque 𝑥 est égal à six, 𝑦 est égal à moins sept et non à moins six. Donc, la réponse doit être (A).

Pour être sûr, nous allons vérifier les autres points. 𝑓 de moins trois est 11 comme requis, et 𝑓 de moins quatre est 13. Nous pouvons tracer le point (D) directement sur la figure, et nous voyons qu’il se trouve bien sur cette droite, tout comme le point (E). Quatre, moins trois se trouve bien sur la droite. Et donc le point qui ne se trouve pas sur la droite est six, moins six.

Maintenant, avant de terminer cette leçon, nous allons examiner un cas très particulier de fonction affine. Nous avons dit qu’une fonction affine a une courbe qui est une droite non verticale. Le cas particulier, qui est en fait une fonction constante, est de la forme 𝑦 est égal à 𝑎 ou, bien sûr, en notation de fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑎, avec 𝑎 un nombre réel. Dans ce cas, la fonction est représentée graphiquement par une droite horizontale.

Par exemple, supposons qu’on nous demande de tracer la représentation graphique de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale trois. Nous voyons que l’image de cette fonction est indépendante de la valeur de 𝑥. Quelle que soit la valeur que nous substituons à 𝑥, nous obtiendrons toujours une image de trois. Et donc nous traçons une droite dont la coordonnée 𝑦 est toujours égale à trois. C’est une droite horizontale qui coupe l’axe des 𝑦 en trois. De la même manière, la représentation graphique de 𝑦 égal moins un ou 𝑓 de 𝑥 égale moins un est la suivante. C’est une droite horizontale qui coupe l’axe des 𝑦 en moins un.

Nous allons maintenant récapituler les points clés de cette leçon. Dans cette leçon, nous avons appris que la courbe représentative d’une fonction affine est une droite non verticale. Et lors de la représentation graphique d’une fonction, les coordonnées de chaque point de la courbe ont pour coordonnées 𝑥, 𝑓 de 𝑥 - antécédent et image. Et nous avons appris un cas particulier quand la fonction est égale à une constante réelle 𝑎, 𝑓 de 𝑥 égal 𝑎 ou 𝑦 égale 𝑎. Dans ce cas, nous avons simplement une droite horizontale où toutes les coordonnées 𝑦 sont égales à 𝑎.