Vidéo : Fonctions par morceaux

Après un récapitulatif des termes ensemble de définition, ensemble image et fonction, nous considérons les fonctions définies par morceaux, avec une collection d’ensembles de définition non superposés et des équations correspondantes associant les entrées à l’ensemble image.

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Transcription de vidéo

Fonctions définies par morceaux

Mais d’abord, nous devons nous rappeler que l’ensemble de définition, pour faire, est toujours l’axe des 𝑥 et les valeurs d’entrée, et l’ensemble image est toujours l’axe des 𝑦 et les valeurs de sortie. Nous devons également nous rappeler qu’une fonction est l’endroit où chaque élément de l’ensemble de définition est associé avec exactement un élément de l’ensemble image. Voici donc à quoi ressemble une fonction par morceaux. Et une fonction par morceaux peut être définie comme une fonction dont plus d’une formule est utilisée pour définir l’ensemble image sur différents morceaux de l’ensemble de définition. Donc, cela signifie que cette formule n’est qu’une partie de l’ensemble image. Ce n’est qu’une partie de la fonction si 𝑥 est dans cette partie de l’ensemble de définition, et la même chose avec la formule deux et la formule trois. Maintenant, il peut y avoir autant de formules dans une fonction par morceaux que nous devons faire partie de la fonction. Il n’y a évidemment pas de maximum, mais le minimum est bien sûr deux. Parce que sinon, ce ne sera qu’une fonction. Maintenant, une autre chose importante à noter, c’est qu’une seule formule peut être appliquée à un ensemble de définition. Et cela aura plus de sens lorsque nous examinerons cet exemple suivant.

La fonction 𝑓 de 𝑥 est définie par 𝑓 de 𝑥 est égale à cinq moins deux 𝑥, si 𝑥 est inférieur à un, et 𝑥 au carré plus trois, si 𝑥 est supérieur ou égal à un. Trouvez l’ensemble de définition et l’ensemble image. Donc, en regardant ces inégalités, nous pouvons voir ce que j’ai dit juste avant, qu’une seule fonction peut être appliquée à une partie de l’ensemble de définition. Nous pouvons donc voir pour la première fonction que tout est inférieur à un, puis pour la deuxième fonction, tout est supérieur ou égal à un. Ils ne peuvent pas tous deux être égaux. D’accord. Commençons donc par trouver l’ensemble de définition et l’ensemble image. La première chose à faire est d’esquisser les deux courbes individuellement, puis de les combiner sur un axe. Je vais aller de l’avant et les combiner immédiatement sur un axe.

Voici donc la courbe 𝑓 de 𝑥 égal à cinq moins deux 𝑥. Et voici la courbe 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 au carré plus trois. Vous remarquerez maintenant ces cercles. Nous l’avons fait parce que nous avons dit dans ce cercle qui est coloré, cela signifie que la fonction est également incluse dans cette coordonnée, alors que ce cercle n’est pas coloré, donc il n’est pas également inclus. Et cela revient à la façon dont nous agissons sur les droites numériques.

D’accord. Trouvons donc l’ensemble de définition et l’ensemble image. Eh bien, nous savons que l’ensemble de définition est chaque valeur d’entrée possible dans l’axe des 𝑥. Donc, quel que soit 𝑥, nous savons que 𝑥 peut être n’importe quel nombre réel, car 𝑥 peut être n’importe quel nombre moins la fonction cinq moins deux 𝑥, et le 𝑥 peut être n’importe quel nombre positif de 𝑥 au carré plus trois. On nous donne également cela dans la question, car on nous dit que 𝑥 va être strictement inférieur à un et aussi strictement supérieur à un. Par conséquent, l’ensemble de définition est juste 𝑥 dans l’ensemble des nombres réels. Ou pourrait-on dire, chaque 𝑥 valeur de l’infini à l’infini positif, si vous préférez la notation ensemble.

En regardant maintenant l’ensemble image, nous savons que l’ensemble image correspond à toutes nos valeurs de sortie ou à l’axe des 𝑦. Et nous pouvons voir que nous allons recevoir chaque valeur 𝑦 supérieure à trois. Maintenant, c’est important à noter. Il est supérieur à trois, car cette coordonnée n’est pas réellement incluse dans la fonction. Donc 𝑓 de 𝑥 est supérieur à trois.

D’accord. Donc, pour récapituler, une fonction par morceaux, après que nous l’avons ici, est une fonction qui a plusieurs formules pour définir l’ensemble image sur différentes pièces de l’ensemble de définition donné. Et nous savons que l’ensemble de définition est l’axe des 𝑥, toutes nos valeurs d’entrée. Et l’ensemble image est l’axe des 𝑦, toutes nos valeurs de sortie. Et ce que nous devons faire quand on nous donne une fonction par morceaux, c’est de la dessiner et les trouver.

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