Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

VidĂ©o Pop : Fausse preuve que matrice 𝐮 = matrice đŒ

Dans cette vidéo, nous allons faire des opérations matricielles pour examiner une preuve qui prétend qu'une matrice est égale à une autre matrice différente.

09:08

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons travailler avec les matrices, et vérifier une preuve qui prétend que la matrice un, un, zéro, zéro est égale à la matrice un, zéro, zéro, un.

Commençons par dĂ©finir la matrice 𝐮 par un, un, zĂ©ro, zĂ©ro. Et si je multiplie 𝐮 par elle-mĂȘme, je commence par multiplier un par un, puis j’ajoute un fois zĂ©ro pour obtenir ce terme-lĂ . Puis je multiplie un par un et j’ajoute un fois zĂ©ro pour obtenir ce terme-lĂ . Puis zĂ©ro fois un et zĂ©ro fois zĂ©ro pour obtenir ce terme. Et enfin, zĂ©ro fois un et zĂ©ro fois zĂ©ro pour obtenir ce terme.

Un fois un égale un. Un fois zéro égale zéro. Un et zéro égale un. Et un fois un égale un. Un fois zéro est zéro. Un et zéro égale un. Zéro fois un égale zéro. Zéro fois zéro est zéro. Zéro plus zéro est zéro. Et encore une fois, zéro fois un est zéro. Zéro fois zéro est zéro. Zéro plus zéro est zéro.

Cela veut dire que si multiplie la matrice 𝐮 par la matrice 𝐮, autrement dit par elle-mĂȘme, j’obtiens comme rĂ©sultat la matrice 𝐮. Maintenant je peux prĂ©multiplier les deux membres de mon Ă©quation par l’inverse de la matrice 𝐮. Et puisque la multiplication des matrices est associative, alors peu importe si je multiplie l’inverse de 𝐮 par le rĂ©sultat de 𝐮 fois 𝐮, ou si je multiplie le rĂ©sultat de 𝐮 inverse 𝐮 par la matrice 𝐮. Dans les deux cas, nous obtiendrons le mĂȘme rĂ©sultat.

Maintenant la dĂ©finition de la matrice inverse de 𝐮 est que lorsque je multiplie 𝐮 par son inverse, j’obtiens la matrice identitĂ© un, zĂ©ro, zĂ©ro, un. Et je fais cela ici et lĂ . Donc la matrice identitĂ© fois 𝐮 Ă©gale la matrice identitĂ©. Et puisque prĂ©multiplier par la matrice identitĂ© ressemble Ă  multiplier un nombre par un, ça nous donne un rĂ©sultat qui est Ă©gal Ă  la matrice initiale, c’est-Ă -dire que 𝐮 Ă©gale đŒ.

Et Ă  travers une sĂ©rie d’étapes logiques, nous avions prouvĂ© que la matrice un, un, zĂ©ro, zĂ©ro est Ă©gale Ă  la matrice un, zĂ©ro, zĂ©ro, un. Tout cela Ă©tait plausible, mais je peux vous assurer que la matrice un, un, zĂ©ro, zĂ©ro n’égale pas la matrice un, zĂ©ro, zĂ©ro, un. Mettez la vidĂ©o en pause maintenant. Jetez un coup d’Ɠil. Et cherchez oĂč notre logique avait craquĂ©. Bien ! D’abord je vais mettre un peu d’ordre pour avoir de l’espace pour Ă©crire davantage.

À la premiĂšre ligne, la matrice 𝐮 est dĂ©finie comme un, un, zĂ©ro, zĂ©ro. C’est une matrice tout Ă  fait correcte, donc aucun problĂšme ici. Et Ă  la ligne suivante, on multiplie la matrice 𝐮 par elle-mĂȘme et on obtient le rĂ©sultat un, un, zĂ©ro, zĂ©ro. Pour multiplier deux matrices deux-fois-deux, on prend ce terme et on le multiplie par ce terme et puis on ajoute ce terme multipliĂ© par ce terme. Et cela nous donne ce terme comme rĂ©sultat qui est 𝑎 fois 𝑒 plus 𝑏 fois 𝑔.

Puis pour obtenir ce terme ici, je fais 𝑎 fois 𝑓 plus 𝑏 fois ℎ. Et pour obtenir ce terme, je fais 𝑐 fois 𝑒 plus 𝑑 fois 𝑔. Et pour ce terme, je fais 𝑐 fois 𝑓 plus 𝑑 fois ℎ. Et en fait lorsque j’applique cette logique Ă  un, un, zĂ©ro, zĂ©ro fois un, un, zĂ©ro, zĂ©ro, j’obtiens un fois un plus un fois zĂ©ro, un fois un plus un fois zĂ©ro, zĂ©ro fois un plus zĂ©ro fois zĂ©ro, et zĂ©ro fois un plus zĂ©ro fois zĂ©ro, qui est en fait un, un, zĂ©ro, zĂ©ro. Donc cette deuxiĂšme ligne est correcte.

Et en reprĂ©sentant les matrices par leurs lettres, on peut dire que 𝐮𝐮 ou 𝐮 fois 𝐮 Ă©gale en fait 𝐮. Dans la ligne suivante, on commence Ă  parler de l’inverse de 𝐮, 𝐮 Ă  la puissance moins un, l’inverse de la matrice 𝐮. Et ce que veut dire le mot inverse ici c’est la matrice par laquelle je dois multiplier 𝐮 pour obtenir la matrice identitĂ© un, zĂ©ro, zĂ©ro un. Donc si notre matrice 𝐮 avait commencĂ© comme 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, alors l’inverse de 𝐮 est l’inverse de cette matrice. Cela est donc un sur 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐 fois la matrice 𝑑, moins 𝑏, moins 𝑐, 𝑎.

Maintenant 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐 est une valeur que nous appelons le dĂ©terminant de la matrice. Et il est facile de le calculer pour une matrice deux-fois-deux. C’est un peu plus compliquĂ© pour les matrices de plus grande taille. Mais restons sur la matrice deux-fois-deux pour le moment. Et puis dans la matrice elle-mĂȘme, vous pouvez voir qu’on a permutĂ© le 𝑎 et le 𝑑 ici. Et on a pris la valeur nĂ©gative de 𝑏 et 𝑐. Alors lorsqu’on dĂ©finit l’inverse de la matrice ainsi, on trouve que l’inverse de 𝐮 fois 𝐮 nous donne la matrice identitĂ© un, zĂ©ro, zĂ©ro, un.

Voyons cela en action. Avec la matrice 𝐮 dĂ©finie par 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 et l’inverse de 𝐮 par un sur le dĂ©terminant fois 𝑑, moins 𝑏, moins 𝑐, 𝑎, on a 𝐮 inverse 𝐮 Ă©gale tout ce qui prĂ©cĂšde. C’est tout simplement une constante multipliĂ©e par chaque terme de la matrice rĂ©sultante. Multiplions alors ces deux matrices l’une par l’autre en utilisant la mĂ©thode dont nous avions parlĂ© plus tĂŽt.

Nous allons faire 𝑑 fois 𝑎 plus moins 𝑏 fois 𝑐 pour ce terme du haut. Puis 𝑑 fois 𝑏 plus moins 𝑏 fois 𝑑 pour ce terme-lĂ . Puis moins 𝑐 fois 𝑎 plus 𝑎 fois 𝑐 pour ce terme du bas. Et enfin, moins 𝑐 fois 𝑏 plus 𝑎 fois 𝑑 ici. Maintenant 𝑑 fois 𝑎 est la mĂȘme chose 𝑎 fois 𝑑. Et si nous additionnons moins 𝑏 fois 𝑐, c’est la mĂȘme chose que soustraire 𝑏 fois 𝑐. Je peux ainsi réécrire ce terme comme 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐.

Puis 𝑑𝑏, en ajoutant moins 𝑏 fois 𝑑, c’est la mĂȘme chose que 𝑏 fois 𝑑 moins 𝑏 fois 𝑑, ce qui est nul ou zĂ©ro. Ensuite moins 𝑐𝑎 plus 𝑎𝑐, 𝑐 fois 𝑎 est la mĂȘme chose que 𝑎 fois 𝑐. Donc c’est moins 𝑎𝑐 plus 𝑎𝑐. C’est encore une fois zĂ©ro. Puis ici, moins 𝑐𝑏 est la mĂȘme chose que moins 𝑏𝑐. Et si j’écris ces deux-lĂ  dans un ordre diffĂ©rent, j’obtiens alors 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. Et maintenant, je dois multiplier chaque terme de cette matrice par le terme constant Ă  l’extĂ©rieur.

Et bien sĂ»r zĂ©ro divisĂ© par 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐 est zĂ©ro. Et 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐 divisĂ© par 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐 est un. Alors en gĂ©nĂ©ral, oui, l’inverse de 𝐮 fois 𝐮 nous donne cette matrice identitĂ©, đŒÂ : un, zĂ©ro, zĂ©ro, un. Mais regardons le cas spĂ©cifique oĂč la matrice 𝐮 est un, un, zĂ©ro, zĂ©ro. L’inverse de 𝐮 sera un sur le dĂ©terminant fois – il faut permuter le zĂ©ro et le un ici. Et il faut ajouter le signe nĂ©gatif au un et au zĂ©ro ici.

Bien sĂ»r, moins zĂ©ro c’est zĂ©ro. Je vais Ă©crire cela ici et ainsi je pourrai trouver le dĂ©terminant. C’est un fois zĂ©ro moins un fois zĂ©ro. Et un fois zĂ©ro est zĂ©ro. Cela donne un sur zĂ©ro moins zĂ©ro. Et Ă©videmment zĂ©ro moins zĂ©ro c’est zĂ©ro. Et on vient juste de dĂ©clencher l’alarme de la division par zĂ©ro ! Un divisĂ© par zĂ©ro est indĂ©fini. Donc nous essayons de multiplier cette matrice par un nombre indĂ©fini.

Donc il s’avĂšre que l’inverse de la matrice 𝐮 est indĂ©finie. On appelle 𝐮 une matrice non inversible ou singuliĂšre. Et c’est tout simplement une matrice carrĂ©e qui n’a pas d’inverse et dont le dĂ©terminant est nul. Retournons donc Ă  notre soi-disant preuve, en multipliant par l’inverse de 𝐮, nous multiplions par un nombre indĂ©fini. Et Ă  partir de cet instant-lĂ , c’est un non-sens total. Puisque l’inverse de 𝐮 est indĂ©finie, alors on ne peut plus poursuivre nos calculs avec des nombres indĂ©finies. Nous n’avons pas prouvĂ© que un, un, zĂ©ro, zĂ©ro Ă©gale un, zĂ©ro, zĂ©ro, un. C’était une fausse preuve.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.