Vidéo : Fausse preuve que matrice 𝐴 = matrice 𝐼

Dans cette vidéo, nous allons faire des opérations matricielles pour examiner une preuve qui prétend qu'une matrice est égale à une autre matrice différente.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons travailler avec les matrices, et vérifier une preuve qui prétend que la matrice un, un, zéro, zéro est égale à la matrice un, zéro, zéro, un.

Commençons par définir la matrice 𝐴 par un, un, zéro, zéro. Et si je multiplie 𝐴 par elle-même, je commence par multiplier un par un, puis j’ajoute un fois zéro pour obtenir ce terme-là. Puis je multiplie un par un et j’ajoute un fois zéro pour obtenir ce terme-là. Puis zéro fois un et zéro fois zéro pour obtenir ce terme. Et enfin, zéro fois un et zéro fois zéro pour obtenir ce terme.

Un fois un égale un. Un fois zéro égale zéro. Un et zéro égale un. Et un fois un égale un. Un fois zéro est zéro. Un et zéro égale un. Zéro fois un égale zéro. Zéro fois zéro est zéro. Zéro plus zéro est zéro. Et encore une fois, zéro fois un est zéro. Zéro fois zéro est zéro. Zéro plus zéro est zéro.

Cela veut dire que si multiplie la matrice 𝐴 par la matrice 𝐴, autrement dit par elle-même, j’obtiens comme résultat la matrice 𝐴. Maintenant je peux prémultiplier les deux membres de mon équation par l’inverse de la matrice 𝐴. Et puisque la multiplication des matrices est associative, alors peu importe si je multiplie l’inverse de 𝐴 par le résultat de 𝐴 fois 𝐴, ou si je multiplie le résultat de 𝐴 inverse 𝐴 par la matrice 𝐴. Dans les deux cas, nous obtiendrons le même résultat.

Maintenant la définition de la matrice inverse de 𝐴 est que lorsque je multiplie 𝐴 par son inverse, j’obtiens la matrice identité un, zéro, zéro, un. Et je fais cela ici et là. Donc la matrice identité fois 𝐴 égale la matrice identité. Et puisque prémultiplier par la matrice identité ressemble à multiplier un nombre par un, ça nous donne un résultat qui est égal à la matrice initiale, c’est-à-dire que 𝐴 égale 𝐼.

Et à travers une série d’étapes logiques, nous avions prouvé que la matrice un, un, zéro, zéro est égale à la matrice un, zéro, zéro, un. Tout cela était plausible, mais je peux vous assurer que la matrice un, un, zéro, zéro n’égale pas la matrice un, zéro, zéro, un. Mettez la vidéo en pause maintenant. Jetez un coup d’œil. Et cherchez où notre logique avait craqué. Bien ! D’abord je vais mettre un peu d’ordre pour avoir de l’espace pour écrire davantage.

À la première ligne, la matrice 𝐴 est définie comme un, un, zéro, zéro. C’est une matrice tout à fait correcte, donc aucun problème ici. Et à la ligne suivante, on multiplie la matrice 𝐴 par elle-même et on obtient le résultat un, un, zéro, zéro. Pour multiplier deux matrices deux-fois-deux, on prend ce terme et on le multiplie par ce terme et puis on ajoute ce terme multiplié par ce terme. Et cela nous donne ce terme comme résultat qui est 𝑎 fois 𝑒 plus 𝑏 fois 𝑔.

Puis pour obtenir ce terme ici, je fais 𝑎 fois 𝑓 plus 𝑏 fois ℎ. Et pour obtenir ce terme, je fais 𝑐 fois 𝑒 plus 𝑑 fois 𝑔. Et pour ce terme, je fais 𝑐 fois 𝑓 plus 𝑑 fois ℎ. Et en fait lorsque j’applique cette logique à un, un, zéro, zéro fois un, un, zéro, zéro, j’obtiens un fois un plus un fois zéro, un fois un plus un fois zéro, zéro fois un plus zéro fois zéro, et zéro fois un plus zéro fois zéro, qui est en fait un, un, zéro, zéro. Donc cette deuxième ligne est correcte.

Et en représentant les matrices par leurs lettres, on peut dire que 𝐴𝐴 ou 𝐴 fois 𝐴 égale en fait 𝐴. Dans la ligne suivante, on commence à parler de l’inverse de 𝐴, 𝐴 à la puissance moins un, l’inverse de la matrice 𝐴. Et ce que veut dire le mot inverse ici c’est la matrice par laquelle je dois multiplier 𝐴 pour obtenir la matrice identité un, zéro, zéro un. Donc si notre matrice 𝐴 avait commencé comme 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, alors l’inverse de 𝐴 est l’inverse de cette matrice. Cela est donc un sur 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐 fois la matrice 𝑑, moins 𝑏, moins 𝑐, 𝑎.

Maintenant 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐 est une valeur que nous appelons le déterminant de la matrice. Et il est facile de le calculer pour une matrice deux-fois-deux. C’est un peu plus compliqué pour les matrices de plus grande taille. Mais restons sur la matrice deux-fois-deux pour le moment. Et puis dans la matrice elle-même, vous pouvez voir qu’on a permuté le 𝑎 et le 𝑑 ici. Et on a pris la valeur négative de 𝑏 et 𝑐. Alors lorsqu’on définit l’inverse de la matrice ainsi, on trouve que l’inverse de 𝐴 fois 𝐴 nous donne la matrice identité un, zéro, zéro, un.

Voyons cela en action. Avec la matrice 𝐴 définie par 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 et l’inverse de 𝐴 par un sur le déterminant fois 𝑑, moins 𝑏, moins 𝑐, 𝑎, on a 𝐴 inverse 𝐴 égale tout ce qui précède. C’est tout simplement une constante multipliée par chaque terme de la matrice résultante. Multiplions alors ces deux matrices l’une par l’autre en utilisant la méthode dont nous avions parlé plus tôt.

Nous allons faire 𝑑 fois 𝑎 plus moins 𝑏 fois 𝑐 pour ce terme du haut. Puis 𝑑 fois 𝑏 plus moins 𝑏 fois 𝑑 pour ce terme-là. Puis moins 𝑐 fois 𝑎 plus 𝑎 fois 𝑐 pour ce terme du bas. Et enfin, moins 𝑐 fois 𝑏 plus 𝑎 fois 𝑑 ici. Maintenant 𝑑 fois 𝑎 est la même chose 𝑎 fois 𝑑. Et si nous additionnons moins 𝑏 fois 𝑐, c’est la même chose que soustraire 𝑏 fois 𝑐. Je peux ainsi réécrire ce terme comme 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐.

Puis 𝑑𝑏, en ajoutant moins 𝑏 fois 𝑑, c’est la même chose que 𝑏 fois 𝑑 moins 𝑏 fois 𝑑, ce qui est nul ou zéro. Ensuite moins 𝑐𝑎 plus 𝑎𝑐, 𝑐 fois 𝑎 est la même chose que 𝑎 fois 𝑐. Donc c’est moins 𝑎𝑐 plus 𝑎𝑐. C’est encore une fois zéro. Puis ici, moins 𝑐𝑏 est la même chose que moins 𝑏𝑐. Et si j’écris ces deux-là dans un ordre différent, j’obtiens alors 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. Et maintenant, je dois multiplier chaque terme de cette matrice par le terme constant à l’extérieur.

Et bien sûr zéro divisé par 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐 est zéro. Et 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐 divisé par 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐 est un. Alors en général, oui, l’inverse de 𝐴 fois 𝐴 nous donne cette matrice identité, 𝐼 : un, zéro, zéro, un. Mais regardons le cas spécifique où la matrice 𝐴 est un, un, zéro, zéro. L’inverse de 𝐴 sera un sur le déterminant fois – il faut permuter le zéro et le un ici. Et il faut ajouter le signe négatif au un et au zéro ici.

Bien sûr, moins zéro c’est zéro. Je vais écrire cela ici et ainsi je pourrai trouver le déterminant. C’est un fois zéro moins un fois zéro. Et un fois zéro est zéro. Cela donne un sur zéro moins zéro. Et évidemment zéro moins zéro c’est zéro. Et on vient juste de déclencher l’alarme de la division par zéro ! Un divisé par zéro est indéfini. Donc nous essayons de multiplier cette matrice par un nombre indéfini.

Donc il s’avère que l’inverse de la matrice 𝐴 est indéfinie. On appelle 𝐴 une matrice non inversible ou singulière. Et c’est tout simplement une matrice carrée qui n’a pas d’inverse et dont le déterminant est nul. Retournons donc à notre soi-disant preuve, en multipliant par l’inverse de 𝐴, nous multiplions par un nombre indéfini. Et à partir de cet instant-là, c’est un non-sens total. Puisque l’inverse de 𝐴 est indéfinie, alors on ne peut plus poursuivre nos calculs avec des nombres indéfinies. Nous n’avons pas prouvé que un, un, zéro, zéro égale un, zéro, zéro, un. C’était une fausse preuve.

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