Transcription de vidéo
Dans cette vidéo, nous allons travailler avec les matrices, et vérifier une preuve qui prétend que la matrice un, un, zéro, zéro est égale à la matrice un, zéro, zéro, un.
Commençons par dĂ©finir la matrice đŽ par un, un, zĂ©ro, zĂ©ro. Et si je multiplie đŽ par elle-mĂȘme, je commence par multiplier un par un, puis jâajoute un fois zĂ©ro pour obtenir ce terme-lĂ . Puis je multiplie un par un et jâajoute un fois zĂ©ro pour obtenir ce terme-lĂ . Puis zĂ©ro fois un et zĂ©ro fois zĂ©ro pour obtenir ce terme. Et enfin, zĂ©ro fois un et zĂ©ro fois zĂ©ro pour obtenir ce terme.
Un fois un égale un. Un fois zéro égale zéro. Un et zéro égale un. Et un fois un égale un. Un fois zéro est zéro. Un et zéro égale un. Zéro fois un égale zéro. Zéro fois zéro est zéro. Zéro plus zéro est zéro. Et encore une fois, zéro fois un est zéro. Zéro fois zéro est zéro. Zéro plus zéro est zéro.
Cela veut dire que si multiplie la matrice đŽ par la matrice đŽ, autrement dit par elle-mĂȘme, jâobtiens comme rĂ©sultat la matrice đŽ. Maintenant je peux prĂ©multiplier les deux membres de mon Ă©quation par lâinverse de la matrice đŽ. Et puisque la multiplication des matrices est associative, alors peu importe si je multiplie lâinverse de đŽ par le rĂ©sultat de đŽ fois đŽ, ou si je multiplie le rĂ©sultat de đŽ inverse đŽ par la matrice đŽ. Dans les deux cas, nous obtiendrons le mĂȘme rĂ©sultat.
Maintenant la dĂ©finition de la matrice inverse de đŽ est que lorsque je multiplie đŽ par son inverse, jâobtiens la matrice identitĂ© un, zĂ©ro, zĂ©ro, un. Et je fais cela ici et lĂ . Donc la matrice identitĂ© fois đŽ Ă©gale la matrice identitĂ©. Et puisque prĂ©multiplier par la matrice identitĂ© ressemble Ă multiplier un nombre par un, ça nous donne un rĂ©sultat qui est Ă©gal Ă la matrice initiale, câest-Ă -dire que đŽ Ă©gale đŒ.
Et Ă travers une sĂ©rie dâĂ©tapes logiques, nous avions prouvĂ© que la matrice un, un, zĂ©ro, zĂ©ro est Ă©gale Ă la matrice un, zĂ©ro, zĂ©ro, un. Tout cela Ă©tait plausible, mais je peux vous assurer que la matrice un, un, zĂ©ro, zĂ©ro nâĂ©gale pas la matrice un, zĂ©ro, zĂ©ro, un. Mettez la vidĂ©o en pause maintenant. Jetez un coup dâĆil. Et cherchez oĂč notre logique avait craquĂ©. Bien ! Dâabord je vais mettre un peu dâordre pour avoir de lâespace pour Ă©crire davantage.
Ă la premiĂšre ligne, la matrice đŽ est dĂ©finie comme un, un, zĂ©ro, zĂ©ro. Câest une matrice tout Ă fait correcte, donc aucun problĂšme ici. Et Ă la ligne suivante, on multiplie la matrice đŽ par elle-mĂȘme et on obtient le rĂ©sultat un, un, zĂ©ro, zĂ©ro. Pour multiplier deux matrices deux-fois-deux, on prend ce terme et on le multiplie par ce terme et puis on ajoute ce terme multipliĂ© par ce terme. Et cela nous donne ce terme comme rĂ©sultat qui est đ fois đ plus đ fois đ.
Puis pour obtenir ce terme ici, je fais đ fois đ plus đ fois â. Et pour obtenir ce terme, je fais đ fois đ plus đ fois đ. Et pour ce terme, je fais đ fois đ plus đ fois â. Et en fait lorsque jâapplique cette logique Ă un, un, zĂ©ro, zĂ©ro fois un, un, zĂ©ro, zĂ©ro, jâobtiens un fois un plus un fois zĂ©ro, un fois un plus un fois zĂ©ro, zĂ©ro fois un plus zĂ©ro fois zĂ©ro, et zĂ©ro fois un plus zĂ©ro fois zĂ©ro, qui est en fait un, un, zĂ©ro, zĂ©ro. Donc cette deuxiĂšme ligne est correcte.
Et en reprĂ©sentant les matrices par leurs lettres, on peut dire que đŽđŽ ou đŽ fois đŽ Ă©gale en fait đŽ. Dans la ligne suivante, on commence Ă parler de lâinverse de đŽ, đŽ Ă la puissance moins un, lâinverse de la matrice đŽ. Et ce que veut dire le mot inverse ici câest la matrice par laquelle je dois multiplier đŽ pour obtenir la matrice identitĂ© un, zĂ©ro, zĂ©ro un. Donc si notre matrice đŽ avait commencĂ© comme đ, đ, đ, đ, alors lâinverse de đŽ est lâinverse de cette matrice. Cela est donc un sur đđ moins đđ fois la matrice đ, moins đ, moins đ, đ.
Maintenant đđ moins đđ est une valeur que nous appelons le dĂ©terminant de la matrice. Et il est facile de le calculer pour une matrice deux-fois-deux. Câest un peu plus compliquĂ© pour les matrices de plus grande taille. Mais restons sur la matrice deux-fois-deux pour le moment. Et puis dans la matrice elle-mĂȘme, vous pouvez voir quâon a permutĂ© le đ et le đ ici. Et on a pris la valeur nĂ©gative de đ et đ. Alors lorsquâon dĂ©finit lâinverse de la matrice ainsi, on trouve que lâinverse de đŽ fois đŽ nous donne la matrice identitĂ© un, zĂ©ro, zĂ©ro, un.
Voyons cela en action. Avec la matrice đŽ dĂ©finie par đ, đ, đ, đ et lâinverse de đŽ par un sur le dĂ©terminant fois đ, moins đ, moins đ, đ, on a đŽ inverse đŽ Ă©gale tout ce qui prĂ©cĂšde. Câest tout simplement une constante multipliĂ©e par chaque terme de la matrice rĂ©sultante. Multiplions alors ces deux matrices lâune par lâautre en utilisant la mĂ©thode dont nous avions parlĂ© plus tĂŽt.
Nous allons faire đ fois đ plus moins đ fois đ pour ce terme du haut. Puis đ fois đ plus moins đ fois đ pour ce terme-lĂ . Puis moins đ fois đ plus đ fois đ pour ce terme du bas. Et enfin, moins đ fois đ plus đ fois đ ici. Maintenant đ fois đ est la mĂȘme chose đ fois đ. Et si nous additionnons moins đ fois đ, câest la mĂȘme chose que soustraire đ fois đ. Je peux ainsi réécrire ce terme comme đđ moins đđ.
Puis đđ, en ajoutant moins đ fois đ, câest la mĂȘme chose que đ fois đ moins đ fois đ, ce qui est nul ou zĂ©ro. Ensuite moins đđ plus đđ, đ fois đ est la mĂȘme chose que đ fois đ. Donc câest moins đđ plus đđ. Câest encore une fois zĂ©ro. Puis ici, moins đđ est la mĂȘme chose que moins đđ. Et si jâĂ©cris ces deux-lĂ dans un ordre diffĂ©rent, jâobtiens alors đđ moins đđ. Et maintenant, je dois multiplier chaque terme de cette matrice par le terme constant Ă lâextĂ©rieur.
Et bien sĂ»r zĂ©ro divisĂ© par đđ moins đđ est zĂ©ro. Et đđ moins đđ divisĂ© par đđ moins đđ est un. Alors en gĂ©nĂ©ral, oui, lâinverse de đŽ fois đŽ nous donne cette matrice identitĂ©, đŒÂ : un, zĂ©ro, zĂ©ro, un. Mais regardons le cas spĂ©cifique oĂč la matrice đŽ est un, un, zĂ©ro, zĂ©ro. Lâinverse de đŽ sera un sur le dĂ©terminant fois â il faut permuter le zĂ©ro et le un ici. Et il faut ajouter le signe nĂ©gatif au un et au zĂ©ro ici.
Bien sĂ»r, moins zĂ©ro câest zĂ©ro. Je vais Ă©crire cela ici et ainsi je pourrai trouver le dĂ©terminant. Câest un fois zĂ©ro moins un fois zĂ©ro. Et un fois zĂ©ro est zĂ©ro. Cela donne un sur zĂ©ro moins zĂ©ro. Et Ă©videmment zĂ©ro moins zĂ©ro câest zĂ©ro. Et on vient juste de dĂ©clencher lâalarme de la division par zĂ©ro ! Un divisĂ© par zĂ©ro est indĂ©fini. Donc nous essayons de multiplier cette matrice par un nombre indĂ©fini.
Donc il sâavĂšre que lâinverse de la matrice đŽ est indĂ©finie. On appelle đŽ une matrice non inversible ou singuliĂšre. Et câest tout simplement une matrice carrĂ©e qui nâa pas dâinverse et dont le dĂ©terminant est nul. Retournons donc Ă notre soi-disant preuve, en multipliant par lâinverse de đŽ, nous multiplions par un nombre indĂ©fini. Et Ă partir de cet instant-lĂ , câest un non-sens total. Puisque lâinverse de đŽ est indĂ©finie, alors on ne peut plus poursuivre nos calculs avec des nombres indĂ©finies. Nous nâavons pas prouvĂ© que un, un, zĂ©ro, zĂ©ro Ă©gale un, zĂ©ro, zĂ©ro, un. CâĂ©tait une fausse preuve.