Video Transcript
Déterminez les valeurs de 𝑎 et 𝑏 qui rendent 𝑓 continue en 𝑥 égale moins deux et 𝑥 égale deux, où 𝑓 de 𝑥 est égale à trois 𝑥 moins cinq si 𝑥 est inférieur ou égal à moins deux et 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑎𝑥 plus 𝑏 si 𝑥 est supérieur à moins deux et inférieur à deux et 𝑓 de 𝑥 est égale à deux 𝑥 au carré moins trois si 𝑥 est supérieur ou égal à deux.
Dans cette question, on nous donne une fonction définie par morceaux 𝑓 de 𝑥, qui contient deux inconnues, 𝑎 et 𝑏. Nous devons déterminer les valeurs de ces inconnues 𝑎 et 𝑏 pour lesquelles 𝑓 est continue en 𝑥 égale moins deux et 𝑥 égale deux. Et il existe différentes façons de répondre à cette question. Nous pourrions, par exemple, répondre à cette question graphiquement. Nous pourrions esquisser la première et la deuxième sous-fonction sur leurs sous-ensembles de définition. Et puis nous observerions que la deuxième sous-fonction de 𝑓 de 𝑥 est une fonction linéaire. Et que 𝑥 égale moins deux et 𝑥 égale deux sont les extrémités de son sous-ensemble de définition.
Nous pourrions donc noter que pour que notre fonction soit continue en moins deux et en deux, notre fonction linéaire devrait relier l’extrémité de la première sous-fonction à l’extrémité de la troisième sous-fonction. Cependant, dans cette vidéo, nous allons adopter une approche plus rigoureuse de la définition de la continuité. Nous rappelons que nous disons qu’une fonction 𝑓 est continue en 𝑥 égale 𝑎 si les trois conditions suivantes sont remplies. Premièrement, 𝑓 évaluée en 𝑎 doit être définie. En d’autres termes, 𝑎 doit être dans le domaine de définition de notre fonction 𝑓.
Ensuite, nous avons besoin que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 existe. Enfin, la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 doit être égale à la fonction évaluée en 𝑎. Nous avons besoin de ces trois conditions. En fait, puisque nous avons besoin que notre fonction soit continue en moins deux et en deux, nous avons besoin que les trois conditions soient valables pour deux valeurs différentes de 𝑎. Commençons par rendre notre fonction continue en 𝑥 égale moins deux.
Tout d’abord, nous devons vérifier que 𝑓 évaluée en moins deux est définie. Nous pouvons le faire directement à partir de la définition par morceaux de notre fonction. Nous pouvons voir que moins deux est dans le premier sous-ensemble de définition, donc notre fonction est définie en 𝑥 égale moins deux. Cependant, il convient de noter que nous avons besoin de 𝑓 évaluée en moins deux pour valider la troisième condition. Évaluons donc cette valeur. Puisque 𝑥 est égal à moins deux dans le premier sous-ensemble de définition, nous substituons moins deux dans la première sous-fonction.
Et ainsi 𝑓 évaluée en moins deux est trois fois moins deux moins cinq, c’est-à-dire moins 11. Nous voulons maintenant vérifier la deuxième condition de continuité lorsque 𝑥 vaut moins deux. Nous devons vérifier que la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux de 𝑓 de 𝑥 existe. Et nous le ferons en notant que moins deux est l’un des points extrêmité de nos sous-ensembles de définition. Nous allons donc le faire en vérifiant que les limites à gauche et à droite sont égales. Commençons par la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux à gauche de 𝑓 de 𝑥. Puisque nous prenons la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux à gauche, nos valeurs de 𝑥 seront inférieures à moins deux. Et nous pouvons voir que lorsque 𝑥 est inférieur à moins deux, notre fonction est égale à trois 𝑥 moins cinq, ce qui signifie que leurs limites lorsque 𝑥 tend vers moins deux à gauche seront égales.
En particulier, comme il s’agit d’une fonction linéaire, nous pouvons l’évaluer par substitution directe. Et c’est bien sûr la même chose que 𝑓 évaluée en moins deux. Nous obtenons trois fois moins deux moins cinq, c’est-à-dire moins 11. Nous pouvons maintenant suivre le même processus pour évaluer la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux à droite de 𝑓 de 𝑥. Premièrement, puisque 𝑥 tend vers moins deux à droite, nos valeurs de 𝑥 sont supérieures à moins deux. Nous écrirons cela comme moins deux est inférieur à 𝑥. Et c’est parce que le deuxième sous-ensemble de définition de notre fonction comprend 𝑥 supérieur à moins deux et inférieur à deux.
Rappelez-vous, lorsque nous prenons la limite d’une fonction, nous voulons que nos valeurs de 𝑥 tendent vers le point limite. Donc, en particulier, nous pouvons choisir nos valeurs de 𝑥 comme étant inférieures à deux. Et cela signifie que cette limite doit être égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux à droite de la deuxième sous-fonction, 𝑎𝑥 plus 𝑏. Et c’est encore une fois une fonction linéaire, nous pouvons donc évaluer cette limite par substitution directe. Et si nous substituons 𝑥 égale moins deux, nous obtenons moins deux 𝑎 plus 𝑏.
Mais rappelez-vous, nous essayons de montrer que la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux de notre fonction 𝑓 de 𝑥 existe. Et pour que cette limite existe, nous avons besoin que les limites à gauche et à droite lorsque 𝑥 tend vers moins deux de 𝑓 de 𝑥 soient égales. Nous avons donc besoin que moins deux 𝑎 plus 𝑏 soit égal à moins 11 pour que la deuxième condition de continuité soit vraie. Cela définit ensuite la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux de notre fonction 𝑓 de 𝑥 comme égale à moins 11, que nous pouvons voir comme étant égale à 𝑓 évalué à moins deux. Ainsi, les trois conditions de continuité seront remplies pour notre fonction 𝑓 en 𝑥 égale moins deux, à condition que moins deux 𝑎 plus 𝑏 soit égal à moins 11. Mais ceci est une équation à deux inconnues, nous ne pouvons donc pas trouver 𝑎 et 𝑏.
Donc, au lieu de cela, faisons de la place et utilisons le fait que notre fonction doit être continue en 𝑥 égale deux. Nous pouvons appliquer le même processus dans notre définition. Premièrement, nous avons besoin que notre fonction soit définie en 𝑥 égale deux. Encore une fois, nous pouvons le voir directement à partir de la définition de 𝑓 de 𝑥. Deux est dans le troisième sous-ensemble de définition de notre fonction, donc nous substituons 𝑥 égale deux dans 𝑓 de 𝑥 pour obtenir que 𝑓 évaluée en deux est deux fois deux au carré moins trois, ce qui fait cinq. Ainsi, la première condition pour la continuité en 𝑥 égale deux est vraie.
Nous suivrons le même processus pour vérifier la limite. Nous vérifierons les limites à gauche et à droite lorsque 𝑥 tend vers deux. Commençons par la limite lorsque 𝑥 tend vers deux à droite de 𝑓 de 𝑥. Les valeurs de 𝑥 sont supérieures à deux. Et cela signifie que la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à sa troisième sous-fonction. Donc, cela équivaut à la limite lorsque 𝑥 tend vers deux à droite de deux 𝑥 au carré moins trois. Et comme il s’agit d’un polynôme, nous pouvons évaluer cette limite en utilisant une substitution directe. Nous obtenons deux fois deux au carré moins trois, ce qui équivaut à cinq.
Voyons maintenant la limite lorsque 𝑥 tend vers deux à gauche de 𝑓 de 𝑥. Puisque 𝑥 tend vers deux, nous pouvons restreindre les valeurs de 𝑥 entre moins deux et deux. Et pour ces valeurs de 𝑥, notre fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑎𝑥 plus 𝑏. Par conséquent, nous avons juste besoin d’évaluer la limite lorsque 𝑥 tend vers deux à gauche de 𝑎𝑥 plus 𝑏. Et comme il s’agit d’une fonction linéaire, nous pouvons le faire en utilisant la substitution directe. Nous remplaçons 𝑥 par deux, et nous arrivons à 𝑎 plus 𝑏.
Et maintenant, puisque nous voulons que notre fonction 𝑓 de 𝑥 soit continue lorsque 𝑥 égale deux, nous avons besoin que la limite lorsque 𝑥 tend vers deux à droite de 𝑓 de 𝑥 soit égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers deux à gauche de 𝑓 de 𝑥. Nous avons besoin que deux 𝑎 plus 𝑏 soit égal à cinq. Et avant de résoudre ce système, il convient de noter que si deux 𝑎 plus 𝑏 égale cinq, alors les limites gauche et droite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑓 de 𝑥 sont égales. La deuxième condition de continuité est donc vraie. Et cinq est également égal à 𝑓 évaluée en 𝑎. Ainsi, la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑓 de 𝑥 sera égale à cinq, c’est-à-dire à 𝑓 évaluée en 𝑎.
Par conséquent, ce que nous avons montré est que si nos valeurs de 𝑎 et 𝑏 satisfont à la première équation, alors notre fonction 𝑓 est continue en 𝑥 égale moins deux. Et si nos valeurs de 𝑎 et 𝑏 satisfont à la deuxième équation, alors notre fonction est continue en 𝑥 égale deux. Nous avons donc juste besoin de trouver des valeurs de 𝑎 et 𝑏, qui satisfont aux deux équations.
Et nous le ferons en additionnant les deux équations. Moins deux 𝑎 plus deux 𝑎 est égal à zéro et 𝑏 plus 𝑏 est égal à deux 𝑏. Donc, le membre de gauche de notre équation est deux 𝑏, et moins 11 plus cinq fait moins six. Nous obtenons donc deux 𝑏 est égal à moins six. Nous divisons ensuite l’équation par deux pour voir que 𝑏 est égal à moins trois.
Nous pouvons alors déterminer 𝑎 en substituant 𝑏 égal moins trois dans l’une ou l’autre de nos équations. Nous allons substituer cela dans notre première équation. Nous obtenons moins deux 𝑎 moins trois est égal à moins 11. Et nous pouvons alors trouver 𝑎. Nous ajoutons trois aux deux côtés de l’équation pour obtenir moins deux 𝑎 est égal à moins huit. Et puis nous divisons par moins deux. Nous obtenons 𝑎 est égal à quatre, ce qui nous donne notre réponse finale.
Par conséquent, nous avons pu montrer que pour que notre fonction 𝑓 soit continue en 𝑥 égale moins deux et 𝑥 est égale deux, la valeur de 𝑎 doit être égale à quatre et la valeur de 𝑏 doit être égale à moins trois.
