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Vidéo de question : Détermination de la longueur d’onde des électrons sortant d’un accélérateur de particules Physique

Un accélérateur de particules accélère les électrons à travers une différence de potentiel Δ𝑉 = 550 V, comme indiqué sur la figure. Trouvez la longueur d’onde des électrons lorsqu’ils sortent de l’accélérateur. Utilisez une valeur de 1,60 × 10⁻¹⁹ C pour la charge des électrons, une valeur de 9,11 × 10⁻³¹ kg pour la masse des électrons et une valeur de 6,63 × 10⁻³⁴ J⋅s pour la constante de Planck.

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Transcription de vidéo

Un accélérateur de particules accélère les électrons à travers une différence de potentiel Δ𝑉 égale à 550 volts, comme le montre la figure. Trouvez la longueur d’onde des électrons lorsqu’ils sortent de l’accélérateur. Utilisez une valeur de 1,60 fois 10 puissance moins 19 coulombs pour la charge des électrons, une valeur de 9,11 fois 10 puissance moins 31 kilogrammes pour la masse des électrons, et une valeur de 6,63 fois 10 puissance moins 34 joules secondes pour la constante de Planck.

Sur notre figure, nous imaginons que ceci est un accélérateur de particules. Un électron commence dans l’accélérateur à cette extrémité, puis est accéléré à travers une différence de potentiel Δ𝑉 de sorte qu’il quitte l’accélérateur ici. L’électron sortant a un certain vecteur vitesse, et cela correspond à la longueur d’onde de cet électron. Ici, nous voulons déterminer cette longueur d’onde en utilisant les informations données.

La première chose à laquelle nous pouvons penser est cette différence de potentiel, Δ𝑉. En général, une différence de potentiel - nous l’appellerons Δ𝑉 - est égale à l’énergie potentielle électrique, c’est ce que signifie EPE ici, par unité de charge, où 𝑞 est notre charge. Lorsque notre électron est à l’extrême droite de l’accélérateur, il a son énergie potentielle électrique maximale. Nous pouvons imaginer que cet électron partant du repos puis étant accéléré à travers la différence de potentiel Δ𝑉 et ayant toute l’énergie potentielle électrique de l’électron ici convertie en énergie cinétique de l’électron ici. En d’autres termes, à travers cet accélérateur, un transfert d’énergie se produit. L’énergie potentielle électrique initiale de l’électron devient l’énergie cinétique.

En commençant par notre équation pour Δ𝑉, multiplions les deux côtés par la charge 𝑞, ce qui annule ce facteur à droite, ce qui signifie que la charge de notre particule 𝑞 fois Δ𝑉 est égale à l’énergie potentielle électrique de cette charge. Nous venons de voir comment l’énergie potentielle électrique de nos électrons est convertie en énergie cinétique. Et rappelant que l’énergie cinétique en général est égale à la moitié de la masse d’un objet fois son vecteur vitesse au carré, nous pouvons l’ajouter à notre équation de sorte que nous ayons 𝑞 fois Δ𝑉 égale l’énergie potentielle électrique, ce qui est égal à la moitié 𝑚 fois 𝑣 au carré, où 𝑚 et 𝑣 se réfère à nos électrons sortants.

Nous pouvons maintenant écrire ceci d’une manière légèrement plus simple en supprimant l’énergie potentielle électrique de cette ligne. Nous trouvons que la charge d’un électron 𝑞 fois la différence de potentiel Δ𝑉 à travers laquelle cette charge est accélérée est égale à la moitié de la masse d’un électron 𝑚 fois le vecteur vitesse de sortie 𝑣 de cet électron au carré. L’énoncé de notre problème nous demande de déterminer la longueur d’onde des électrons sortants.

Rappelons que d’après la relation de Broglie, la longueur d’onde d’un objet est égale à la constante de Planck divisée par la masse de cet objet 𝑚 multipliée par son vecteur vitesse. Notez que si nous multiplions les deux côtés de cette équation par 𝑣 divisé par 𝜆, alors sur la gauche, la longueur d’onde 𝜆 s’annule. Et à droite, le vecteur vitesse 𝑣 s’annule. Nous trouvons que le vecteur vitesse 𝑣 est égale à la constante de Planck divisée par 𝑚 fois 𝜆. Cette relation nous est utile car nous pouvons l’utiliser pour remplacer 𝑣 dans cette équation que nous avons générée précédemment.

Avec avoir effectué cette substitution, nous savons que la constante de Planck divisée par 𝑚 fois 𝜆 le tout au carré est égale à la constante de Planck au carré divisée par 𝑚 au carré fois 𝜆 au carré. Notez qu’un facteur masse de l’électron 𝑚 s’annule au numérateur et au dénominateur. Cela nous donne cette équation. Et rappelons que c’est la longueur d’onde 𝜆 que nous voulons déterminer. Pour commencer, multiplions les deux côtés de l’équation par 𝜆 au carré, en supprimant 𝜆 au carré à droite, puis multiplions les deux côtés par un divisé par 𝑞 fois Δ𝑉. Lorsque nous faisons cela, à gauche, le 𝑞 au numérateur et au dénominateur s’annulent, tout comme le Δ𝑉 au numérateur et au dénominateur.

Nous trouvons que 𝜆 au carré est égal à la moitié de la constante de Planck au carré divisée par 𝑚 fois 𝑞 fois Δ𝑉. Et enfin, en prenant la racine carrée des deux côtés, à gauche, la racine carrée et le carré de 𝜆 s’annulent, tandis que du côté droit l’équation devient la constante de Planck divisée par la racine carrée de deux fois 𝑚 fois 𝑞 fois Δ𝑉.

Dans notre scénario, 𝑞 est 1,60 fois 10 puissance moins 19 coulombs, la charge d’un électron. 𝑚 est 9,11 fois 10 puissance moins 31 kilogrammes, la masse d’un électron. Et Δ𝑉, on nous a donné, comme étant de 550 volts. Sachant cela et ayant une valeur à utiliser pour la constante de Planck, libérons de l’espace à l’écran et passons à la substitution des valeurs qui apparaissent sur le côté droit de cette équation.

Nous avons la constante de Planck au numérateur, la masse de l’électron, la charge de l’électron et la différence de potentiel dans la racine carrée du dénominateur. Et lorsque nous calculons le résultat, nous trouvons une réponse de 5,2359 et ainsi de suite fois 10 puissance moins 11 mètres. Nous pouvons choisir d’écrire notre réponse à une décimale près. En arrondissant notre résultat à ce niveau de précision, nous avons 5,2 fois 10 puissance moins 11 mètres. Il s’agit de la longueur d’onde des électrons lorsqu’ils sortent de l’accélérateur.

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