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Vidéo question :: Trouver l’Angle Entre Deux Vecteurs Mathématiques • Troisième secondaire

Déterminez la mesure de l’angle 𝜃 formé par les vecteurs 𝐕 = ⟨7 ; 2 ; −10⟩ et 𝐖 = ⟨2 ; 6 ; 4⟩. Arrondissez le résultat au dixième près.

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Transcription de la vidéo

Déterminez la mesure de l’angle 𝜃 formé par les vecteurs 𝐕 égale sept, deux, moins 10 et 𝐖 égale deux, six, quatre. Arrondissez le résultat au dixième près.

Dans cette question, on nous demande de trouver l’angle thêta entre deux vecteurs : le vecteur 𝐕 sept, deux, moins 10 et le vecteur 𝐖 deux, six, quatre. Nous devons donner une réponse avec une précision d’une décimale. Pour répondre à cette question, commençons par rappeler comment trouver l’angle entre deux vecteurs. Nous rappelons que si thêta est l’angle entre deux vecteurs, le vecteur 𝚨 et le vecteur 𝚩, alors le cosinus de thêta sera égal au produit scalaire entre le vecteur 𝚨 et le vecteur 𝚩 divisé par la norme du vecteur 𝚨 multipliée par la norme du vecteur 𝚩. Il convient également de souligner que l’inverse est vrai. Si thêta satisfait cette équation, alors on peut dire que thêta est l’angle entre les deux vecteurs 𝚨 et 𝚩.

Par convention, lorsque nous disons l’angle entre deux vecteurs, nous entendons normalement la plus petite valeur non négative de thêta. Nous pouvons trouver cela en prenant simplement l’arccosinus des deux côtés de l’équation. Par conséquent, pour trouver la valeur de thêta qui nous est donnée dans cette question, nous devons trouver le produit scalaire entre nos deux vecteurs, 𝐕 et 𝐖, et nous devons trouver les normes du vecteur 𝐕 et du vecteur 𝐖. Commençons par trouver le produit scalaire. Nous devons trouver le produit scalaire entre les vecteurs 𝐕 et 𝐖. C’est le produit scalaire entre le vecteur sept, deux, moins 10 et le vecteur deux, six, quatre.

Rappelez-vous, pour trouver le produit scalaire entre deux vecteurs, nous devons trouver le produit des composantes correspondantes des deux vecteurs, puis additionner les résultats ensemble. Dans notre cas, nous obtenons que le produit scalaire entre le vecteur 𝐕 et 𝐖 est sept fois deux plus deux fois six plus moins 10 multiplié par quatre. Et si nous calculons cette expression, nous voyons qu’elle est égale à moins 14.

Ensuite, nous allons devoir calculer la norme du vecteur 𝐕 et la norme du vecteur 𝐖. Pour ce faire, rappelons que la norme d’un vecteur est égale à la racine carrée positive de la somme des carrés de ses composantes. En d’autres termes, la norme du vecteur 𝐚, 𝐛, 𝐜 sera égale à la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré. Nous pouvons l’utiliser pour trouver la norme des vecteurs 𝐕 et 𝐖. Commençons par la norme du vecteur 𝐕. La racine carrée de la somme des carrés des composantes du vecteur 𝐕 est la racine carrée de sept au carré plus deux au carré plus moins 10 au carré. Et si nous calculons cela, nous voyons que la norme du vecteur 𝐕 est égale à la racine carrée de 153.

Nous pouvons faire exactement la même chose pour le vecteur 𝐖. La norme du vecteur 𝐖 sera la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes. C’est la racine carrée de deux au carré plus six au carré plus quatre au carré. Et si nous calculons cette expression, nous voyons que la norme du vecteur 𝐖 est la racine de 56. Nous sommes maintenant prêts à remplacer ces valeurs dans notre formule impliquant thêta, l’angle entre les vecteurs 𝐕 et 𝐖. Nous savons que si thêta est l’angle entre les vecteurs 𝐕 et 𝐖, le cosinus de thêta sera égal au produit scalaire entre le vecteur 𝐕 et 𝐖 divisé par la norme du vecteur 𝐕 multipliée par la norme du vecteur 𝐖.

Nous avons déjà calculé le produit scalaire entre le vecteur 𝐕 et le vecteur 𝐖. Nous avons trouvé qu’il était égal à moins 14. De même, nous avons également trouvé que la norme du vecteur 𝐕 était la racine 153 et que la norme du vecteur 𝐖 était la racine 56. Par conséquent, le cosinus de l’angle thêta sera égal à moins 14 divisé par racine de 153 multipliée par racine de 56. Nous pourrions simplifier cette expression. Cependant, ce n’est pas nécessaire. Il suffit de trouver la valeur de thêta. Et pour ce faire, nous devons prendre l’arccosinus des deux côtés de cette équation. Nous voyons que thêta sera l’arccosinus de moins 14 divisé par 153 fois la racine 56.

Nous pouvons ensuite utiliser notre calculatrice pour évaluer cette expression. On ne nous dit pas d’utiliser des degrés ou des radians dans cette question, nous allons donc simplement utiliser des degrés. Nous obtenons 98,699 et ainsi de suite en degrés. La question veut que nous donnions notre réponse à une décimale près. Pour ce faire, nous remarquons que la deuxième décimale de notre expansion est neuf. Cela signifie que nous allons devoir arrondir. Et cela nous donne notre réponse finale. La mesure de l’angle thêta entre les deux vecteurs 𝐕 sept, deux, moins 10 et, 𝐖 deux, six, quatre à une décimale près est de 98,7 degrés.

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